A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


z:=arctan(x/y):diff(z,x,y);diff(z,y,x)


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet32/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   ...   39

 z:=arctan(x/y):diff(z,x,y);diff(z,y,x);

2 v2
J ____
+ .
v4( l  + - )
v ‘  
V*
2 2 .4 -m iso l.  Ushbu
x 2  + 
y 2  *
o,
X ’  + y ‘

,  x 2  + 
у
  = 0
fun ksiyanin g  5—  v a 
aralash   x u su siy  h o silalarin in g  m„(0,0)  nuqtada 
дудх 
дхду
m avju d ligi  va ularn in g b ir-b iriga teng em asligin i  ko ‘ rsating.
Y e c h ilis h i. B irin ch i tartib li  x u su siy h o silalam i topam iz:
y ( x 4 - y 4 + 4 x 2y 2)^ 
х г + у
2
ф 0 '
д и
I T
bo‘ lgan i  uchun,
(x2 + r ) !


x 2  + y 2  = 0
du  .
 
_ о и   .
О 2 
~Z~ lx=0. v*0  a  lx=0, y-0
A_!Lu = i,m Sx----- ;----- ax-------- = 
_ K
д удх  y. о  г-*’ 
у
Xuddi  shunday,  —
1„0  y_0=i  ekan ligin i  topam iz.  Shunday  qilib,
дхду
л/„(о,о)  nuqtada  8u   *  8  u  ekan.
дхду  
дхду
273

2 2 .2 -tc o re m a.  и = /(x„x,,....xm)  fu n k siya  {М\а1Г  ochiq  to‘ p lam da 
aniqlangan,  bu  to 'p la m d a  m um kin  boMgan  ham m a  (и - i ) -   tartibgacha 
xusu siy  h o silalarg a  va  н-tartibli  aralash   h o silalarg a  e g a   boMib,  bu 
h o silalar  {л/}  to 'p lam d a  u zlu k siz  boMsa,  u  holda  ix tiy o riy   «-tartib li 
aralash  ho silan in g ifo d asi,  hosilani  topish tartib iga bogMiq  boMmaydi.
22.2. 
Y u q o ri 
t a r t ib li 
d if f e r e n s ia lla r . 
K o'p 
o 'z g aru v ch ili 
fun ksiyanin g yuqo ri  tartibli  d ifferen siali  tushunchasini  kiritish d an   avval, 
fu n ksiyanin g  «  m arta  d ifferen siallan u v ch an ligi  tushunchasini  kiritam iz.
н = /(*,,x,,...,x,J = /(m)  fu n k siya  {M)
  ochiq  to 'p la m d a  berilgan  
boMib,  M(,[x°,x",...,xl)e{M}  boMsin.  « = / ( * „ x j   fu n k siy a  {
m
)  to‘ plam da 
x u su siy  h o silalarg a  eg a  boMsin.  A g ar 
,.,£m
  fu n k siya lar 
M„  nuqtada  d ifferen siallan u vch i  boMsa,  f(M)  fu n k siya  л/„  nuqtada  ikki 
marta  differensiallanuvchi d eyilad i.
A g ar 
f(.u) 
fu n k siy a  
{
m
}  to 'p lam d a  ( л—l )—tartib li 
xu su siy 
h o silalarg a  e g a   boMib,  bu  x u su siy  h o silalar  M0  nuqtada  d iffe re n sia lla ­
nuvchi  boMsa,  f(\f)  fu n k siy a  «  marta differensiallanuvchi deb atalad i.
2 2 .3 -te o re m a .  A g ar  (Д / (с Г   ochiq  to 'p lam d a  f(M)  fu n k siyan in g 
«-ta rtib lig a c h a   barcha  x u su siy   h o silalari  m avjud  v a  Л/0е{Л/}  nuqtada 
uzluksiz  boMsa,  f(,w)  fu n k siya  \t0  nuqtada  «-m arta  d ifferen siallan u vch i 
boMadi. 
и =
 /(x,,x,,...,xm)=
f ( M )
 
fu n k siya 
( А / [ с Г  
ochiq  to 'p la m d a  b erilgan 
boMib,  xt  nuqtada  d ifferen siallan u vch i  b o 'lsa ,  u  holda,  u n in g w  
nuqtadagi  d ifferen siali
k o 'rin ish d a  b o 'la d i,  bunda  dx,,dx,,...,dxm
  Iar 
o 'z g aru v ch ilarn in g
ix tiyo riy o rttirm alaridir.
F araz  q ila y lik ,  /(л/)  fu n k siya 
Me{M)  nuqtada  ikki  m arta 
d ifferen siallan u vch i  boMsin. 
j
(
m
)  fu n ksiyan in g  м   nuqtadagi  differen ­
siali  df{M)  n ing d ifferen siali,  b erilgan  f(M )  fu n k siyan in g  ikkinchi tartibli 
differensiali  deb  atalad i  v a   u  d2f  = d(df)  kabi  b elg ilan ad i. 
(2 2 .1 ) 
form ulani  e ’tiborga  olib,  d ifferen siallash   fo rm ulalaridan   fo yd alan sak. 
q u yid agin i  topam iz:
(
2 2
.
1
)
(2 2 .2 )
274

и = /(х,,Х;,...,*,)=/(м)  funksiyaning  uchinchi,  to'rtinchi  va  hokazo 
tartibli  differensiallari  ham  xuddi  yuqoridagidek  ta’riflanadi.  Shunday 
qilib,  /(ay)  funksiyaning  м  nuqtadagi  (« -
1
)-  tartibli  differensialf  d";'u 
ning  differensialiga berilgan 
f(M)
  funksiyaning 
n-tartibli  diffcVcnsiali 
deyiladi  va 
d"u = d{d“~'u) 
kabi  belgilanadi.  (22.2)  formuladan  ko'rinadiki, 
yuqori tartibli differensialning tartibi oshgan sari uning xususiy hosilalar 
orqali  ifodasi  murakkablashib  boradi.  Shu  sababli,  yuqori  tartibli 
differensiallarni soddaroq shaklda ifodalash uchun,  /(л/)  funksiyaning
differensialini,  simvolik  ravishda  (u  ni  formal  ravishda  qavsdan 
tashkariga chiqarib), quvidagicha
kabi yozilishi  mumkin.  Bunda,  simvolik ravishda. qavs  ichidagi уig‘indi 
kvadratga  ko‘tarilib,  so‘ngra  и  ga 
« к о
'paytirUadi»,  bunda  daraja 
ko‘rsatkichlari  xususiy  hosilalarning  tartibi, 
deb  qaraladi.  Xuddi 
shunday, simvolik ravishda, funksiyaning n-tartibli differensiali
kabi yoziladi.
Xususiy  holda,  *  va 
у
  erkli  o'zgaruvchilarga  bog‘liq  bo‘lgan 
и
 = 
f(x ,v )
 
funksiyaning 
ikkinchi 
va 
uchinchi 
tartibli 
to‘ liq 
differensiallarini, quyidagi
= u~,d:
c’ 
+?>u'la>,dx2dy+'iu„ydxdy' +u\,dyl . 
ko'rinishlarda  yozish mumkin.
22.9-misol. Ushbu  и = x! -y2 In—  funksiyaning ikkinchi tartibli
dx. 
dx,
 

dx:
yozamiz.  Unda funksiyaning ikkinchi tartibli differensial
= u :dx7
 + 
lu^dxdy + u\dy: ,
(22.3)
у
to'liq differensialini toping.
275

Yechilishi.  Dastlab  berilgan  funksiyaning  birinchi  tartibli  xususiy 
hosilalarini  topamiz:  — = 2*--  ,  — = -2v——  .  Ikkinchi  tartibli xususiy
ox 

dy 
y
hosilalarini topib, (22.3)  formulaga keltirib qo‘yamiz:
d2u
 
Л
 
_ L  
д2ц-n
dx2 
+ x 2
 
’  
d l
--2
 
+  
у 2  ’ 
дх2 ~  + X2
 
’  
dxdy~
d 2u = и 2dx2 + 2u„,dxdv + u  ,dv2  =
 (2 + -L) -tix2 + (Ц --2) ■
 A ,:.
у  ■
 
x< 
у
2
22.3.  M urakkab  funksiyaning  yuqori  tartibli  differensiallari.
Biz yuqorida qaragan,  « = /(x,,x,,...,xj (x, 
  murakkab 
funksiyaning  yuqori tartibli differensialini topamiz.
M a’lumki, 
x,=p,(r,,t2, ...,ft),(/ = i,
2
, f u n k s i y a l a r n i n g  
har 
biri 
nuqtada  differensiallanuvchi  bo‘ lib,  u = /(x,,x2,...,xj 
funksiya 
esa, 
mos 
ravishda, 
А/0(х ",^ ,...,ж ")е {д ^ }сЛ “ 
nuqtada 
differensiallanuvchi  bo‘lsa,  u  holda,  21.3-teoremaga  asosan,  murakkab 
funksiya 
N()
 e 
{с  
nuqtada differensiallanuvchi bo‘ ladi va differensial 
shaklining  invariantlik  xossasiga  asosan,  murakkab  funksiyaning 
differensiali,

du  . 
du  . 
du  ,
du = — dx, +-—ax, + ... +--dx
dx

d X j 
'  
dxm
ko'rinishda 
bo'ladi. 
Faraz 
qilaylik, 
x,= 
2,.. .,ft),(/ = i,
2
,.. ,m) 
funksiyalarning  har  biri  v,((,/!... ij jE W c i i 1  nuqtada  ikki  marta  diffe­
rensiallanuvchi, 
/(x,,x,„  ,x,„) 
funksiya 
esa, 
unga 
mos, 
M0(x".x",...,x“)e [N] с  /г  nuqtada, ikki marta differensiallanuvchi bo'lsin. U 
holda  murakkab  funksiya  ham,  A^V",...,t")  nuqtada  ikki  marta 
differensiallanuvchi  bo‘ladi.  Differensiallash  qoidalaridan  foydalanib, 
funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini topamiz:
d 2u = d ( d u ) ^ d x ,  + ^ d x 2
 




+

+  + 
+ -^-dx2
 +... + -^-a!xm)  u+ 
(22.4)
8
x

{dx„J 
8xM
 
^dx 

8xm 
J
8u 
du 
Su  j2
+ — rf‘ x, + --
d'x
,  + ... +--- rf  x„
Эх, 
3x, 
*
Xuddi  shunday  usulda  murakkab  funksiyaning,  keyingi,  yuqori 
tartibli differensiallari ham topiladi.
(22.1) 
va  (22.4) 
formulalarni  solishtirish  natijasida,  ikkinchi 
tartibli 
differensiallarda 
differensial 
shakli 
invariantligining 
saqlanmasligini  ko‘ramiz.
276

22.5-eslatma. 
Agar 
x,   =  * > , ( * „ ( / =
1
,2 ,..  , m )  
funksiyalarning  har 
biri, 
o'zgaruvchilaming
X 1 
+  Д12^2  + ' " +<3l t f fc  + ,  A ’
* «  = am/l + < W 2 + •••+«.*'*  + 
P.,
chiziqli  funksiyalari  bo‘lsa, u holda,  f(x,,x2....
x j  
murakkab funksiyaning
yuqori  tartibli  differensiallari  shakli  invariantligi  saqlanishini  ko‘rish 
qiyin emas.
22.10-misol.  Ushbu  »' = /(«,
v),  u(x,y) 

xsiny, v(x,y) 

ycosx 
murakkab 
funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini toping.
Yechilishi.  M a’lumki, 
w = f{u ,v )
 
funksiyaning  birinchi  tartibli 
differensiali  dw = f j u +fjv .  murakkab  funksiyaning  ikkinchi  tartibli 
differensiali esa,
d 2W
 = 
d(dW)
 = 
d (£d u
 + 
fldv) = ( f ' J u
 + 
f'mdv)dtt
 + /„'-rf2a + ( / > <  + 
f 'rdv)dv
 + 
f v
 • rf’ v. 
ko‘rinishda boMadi, bunda 
du =
 sin у 
dx+
 xcosy 
dv,  dv =
 -y s in x
dx
+cos
xdy, 
d 'u  =
 2 cos у 
dxdy-xsinvd2 у, d'v
 = -cos xc/2x- 2sin 
xdxdy.
Endi,  bu  ifoda-lami  murakkab  funksiyaning  ikkinchi  tartibli 
differensialini topish formulasiga keltirib qo‘yamiz:
d  lV
 = [ / ’, (siny 
dx
 + x cos у 
dy) +
 
у sin x <& + cosx4v)l(siny 
dx л
 x cos у 
dy) +

f[ -{icasy  dxdy-xsmyd7y f
 +[/„".(siny dx + xcosy 
dy)+
+ /^.(- ysinx  <& + cosxo[y))](-ysinx 
dx + cosxdy) + f v
  (-cosx= [sin’  v
- 2ysin xsiny - /’, + y2 sin! x-/„  -ycosx  / v] 
dx2
  +
+ fxsin2 v / „ ’„ + 2(sinycosx-ri’sinxcosy)-/^. - y s in 2 x /„ . + 2 (c o s y /1 - sin x • /„ 
\dxdy
 + 
+ [x’ cos’ 
y-
f  
'm
 + 2xcosxcosy 
+ cos" x ■
 
- xsin y  / J  Л ’2.
22.4. 
0 ‘ rta qiymat haqidagi teorema. 
и
 = /(x,,x;,  ,xm) = /(m) 
funksiya  {m}  ( jM\  to'plamda  berilgan  boMsin.  Bu  to‘plamda 
shunday 
A{a„a2,...,am)
 
va 
B(bvb: ,...,bm)
 
nuqtalarni  olaylikki,  bu  nuqtalarni 
birlashtiruvchi,
E
 
= {(x1,x2,...,x„)e 
Rm
 : a, 
+t(bt
 -a,),x,  = 
a2 +l(b2 - a 2
xm
 = a . +f(6m - a Bl); 0 < f < l} 
to‘g‘ri chiziq kesmasi, shu 
{m}
 
to‘plamga qarashli, ya’ni 
E
 <= 
м
 
boMsin.
22.4-teorema.  Agar  /(m)  funksiya  £  kesmaning 
a
 
va  s 
nuqtalarida  uzluksiz  boMib,  kesmaning  qolgan  nuqtalarida  differen­
siallanuvchi  boMsa,  u  holda,  £  kesmada  shunday  с   nuqta  topiladiki
(C = C(C1,C2,...,0), 
Лв)-ЛА) = Л , Ш
-«,) + /„ (cXb
-a2) + ... + fJC\bn-am)
boMadi.
277

Д 
“ = du\„
  +— 
d'u\,,
  + 
■+—,d nu\J
  + 7—- Tv6/"'tj|v 
( 2 2 .5 )
22.5.  Ko‘ p  o'zgaruvchili  funksiyaning  Teylor  formulasi.
u = /(ay)  funksiya 
\
m
}
cl
R‘"
  to'plam da berilgan bo'lsin. 
f(M)
  funksiyaning
ay e ( ayj  nuqtadagi  a-tartibli differensialini 
dku\
 
deb belgilaymiz.
Ш
22.5-teorema. 
и
 = /(х,,х2,...,х„) = /(м ) 
funksiya 
M„(x“,x“,...,x^) 
nuqtaning  (ay0 e {Л-f})  biror 
US{M„)
  atrofida  и + i  marta  differensialanuvchi 
bo'lsin.  U  holda.  berilgan  funksiyaning 
ay0(x,°,x",...,x")  nuqtadagi 
д
u =
 /(ay)-/(a/„)  to'liq orttirmasi  quyidagi
<
1
. /   _ r 
« I , ,   т . . . -r 
— a
  m i . .  
7
 
7
 
rv.
U/0  2! 
^0 
n\
 
(/i + l)
ko'rinishda  tasvirlanadi,  bunda 
N - U s(Ma) 
atrofdagi  M(x,,x,...
x j
nuqtaga  bog'liq  bo'lgan  biror  nuqta,  A  
va 
dn + \
i\
 
ifodalarda
\M„
 
w
qatnashuvchi 
dx,
 
lar  Дх, =x,-x“  ga teng.  (22.5)  formulaga  

f(x ,,x 2,...,x„) 
funksiyaning 
Teylor formulasi
 deb ataladi.
Agar  Дх, =x,-x°(/ = i, 
deb belgilab.  A  
(* = 1, 2
, 1)  to'liq
I
M 0
differensial  ifodani  ochib yozsak,  u holda,  (22.5) formulani  quyidagicha 
yozish m umkin:
/(x,,x3,...,x j = /(AY„) + ^ ^ ( x ,  - x,“) +... + 
Щ ^ - К Х .
 — 
x l
) +
4 

(22.)
1  a \ g O ( 
0)J + 
_ xor + K t i   s p J Xi^ 2.... x J + R tl,
2! 
dx, 
n\
 
dxm
bunda  p„(x,,xj....,x„)  -  x,,x2,...,x„  o'zgaruvchilarga  bog'liq  bo'lgan 
n
darajali  ko'phad,  й,1+
1 = — !—
dn + li
qoldiq  ko'phad.  /,„(x,,x,,...,x„) 
-
Oi + l)! 
W
ko'phadga 
Teylor ko'phadi
 deyiladi.
/1 = 0  bo'iganda, 
(22.6)  formula, 
ko'p  o'zgaruvchili  funksiya
uchun chekli orttirmalar haqidagi 
Lagranjformulasi
 deyiladi, u quyidagi
f ix
|° + Дх,,х? + Дхг,...,х°  + Axm) - / ( AY„)-  - / M Ax, +...+ * ^ ^ Ax„
5x, 
5xm
ko'rinishga ega.
Ushbu 
p = р(м0,м) = 
ax
?
 + Дх; +... + Дх;  belgilashni  kiritsak,  u  holda
(22.6)  formuladagi  qoldiq  had 
Peano  ko'rinishdagi  qoldiq
hadga ega bo'ladi.
22.6-misol.
  Ushbu/(x,j-)=x5
-2xy! +y3 + 4x
 
funksiyani  /f(i;-i)  nuqta 
atrofida Teylor formulasi bo'yicha yoying.
278

Yechilishi.  Dastlab  berilgan  funksiyaning 
-4(l;-l) 
nuqtadagi 
qiymatini  hisoblaymiz:  /(i; i)= 
1
-
2 - 1
 + 
4
 = 
2
.  Endi  berilgan  funksiyaning 
xususiy  hosilalarini  topib,  ularning 
-4(1;-1) 
nuqtadagi  qiymatlarini 
hisoblaymiz:
/ ;  (v, 
v)
 = 
ix 2
 

2yz
 + 4, 
f[
 (1; - 1) = 5;
/,' ( r >
y) 
-  
-4xy
 
+ 3 y 3.  / v(l:  — l) =  7; 
fj{x ,y ) = 6x,  f\{
 1,-1) = 6;
/\ (.v,y)= -4;t + 6y, 
(1  i!  -10;
/ >   .' )  -  "4.1 ■
.  / ; ( 1,-1)=4, 
f\(x,y) = 6,  f 'A
l,- l)= 6 ;
/„',(*,.>') = 6,  / ;  (1,-1) = 6; 
f ny( x , y )  = -A,
  /;,(l,- l) = -4
Berilgan  funksiyaning  qolgan 
xususiy  hosilalari 
nolga  teng. 
Teylor  formulasi  bo‘yicha  quyidagi  izlanayotgan  yoyilmaga  ega 
boiamiz:
f{x.
 y) = 2 + 5(r -
1
) + 7(v +
1
) + 3(x - 1)! + 4(дг - 1X.V + 1) - 
5
(
1
’ + 1)' +

- 2(x-!X.v + l) ;  + 0 + 1 ) ’.
Mustaqil yechish uchun misollar
Quyidagi  funksiyalarning  ko‘rsatilgan  tartibdagi  xususiy  hosila­
larini toping:
*>*> 
1
 
8  и
 

d^u
 

-
^
4
 
4
 
d*u
 
n
LL.
 I .  
и
 = sin да-— г—  = ?.  ----r  = ? 
l l . l .   u = x
  cosv + y   cosx,  — -— - = ?
дхду 
дхду-
 
’ 

дхАду*
22.3. 
и
 = sin
х
cos2v,  —т—тг = ?. 
22.4. 
и = хту", 
———?.

дх*ду

йс“ф'"
22.5.  u = 
( r + y ) V ,   ^ Л  
= ?. 
22.6.  „ =
Х + У  
д " " и
 
„  
с Г и = 1
х - у  
дхтду" 
'  ду

22.7. 
ц = 1п  , 

^ —  = ?
V(x - £)‘  + (у - пУ  дхдУд£  дЧ
22.8.  e = (r» + vJW - ^ ! -  = ? 
22.9.
ox'dy"
и
 - 
f(x ,y ) = ex
  sinу, 
/^*.“>(0,0) =
 ?■
Quyidagi  funksiyalarning ko‘ rsatilgan nuqtalardagi  ikkinchi tartibli 
xususiy hosilalarini toping:
2 2 .1 0 . 
„ = ——— , (l;0). 
2 2 .1 1 .  u = 
(0;l).
x + y
279

22.14. 
и
 
= arc 
sin ■
 
, (l;-l). 
22.15. 




— , (l
; l).
V-v
2
+ y
2
 

у
22.16.
 
и
 = лг+ 
xy-5x*
 
+ ln(x
3
 +l), (l;l).
2 2 .1 7 .  / ( * ; , ) = H
?
T ? ’  {x'yU {0 fi)  bo%anda'
(o, 
(jc,y) = (
0
,
0

bo'lganda
funksiya  (
0
,
0
)  nuqta  uzluksiz  ekanligi  ma’ lum  (ko‘rsating!).  U  holda, 
uning /„(o,o) va f yy(
0
,
0
) xususiy hosilalarini toping:
Quyida berilgan 
f(x ,y )
 
funksiyaning ko‘rsatilgan nuqtada ikkinchi 
tartibli differensialini toping:
22.18.
 
и
 = 
f(x.
 v) = e " ,  (l;- l) 
22.19. 
u = f(x,v)=-e'\
  (
0
;l).
У
2 2
.
2 0

и
 = / ( x ,y )  = xcosxy, ^ ~ ; - l j .
2 2
.
2 1

и = f(x ,y) = arctg(x2-2y\
  (l;
0
).
22.22.  « = 
( s in * ) - '. 
22.23.  « = «*',  (1,1, l).
Quyidagi  funksiyalarning  ko‘rsatilgan  tartibdagi  differensial-larini 
toping.
22.24. 
и
 = 
хг
 + y 3
-3xy(x-v\  d 2u
 = ? 
22.25. 
u = sin(x3+y2), rf3u = ?
22.26. 
и 

\n(x‘yy z'\  dAu 

f
 
22.27. 


e °"b',d " u  
= ?
22.28.  и = Л'(у)-К(у), 
= ?. 
22.29.  u = sinx сЛу, Ды = ^-у + ^-у-?
c*x 
dy
Quyidagi  murakkab  funksiyalarning  birinchi  va  ikkinchi  tartibli 
differensiallarini  toping 
(x ,v  
va 
г 
lar-erkli o‘zgaruvchilar):
22.30.  u = f(f\  t = 
x+v.
 
22.31.  u = rt\t = L -
X
22.32. 
и
 = 
f { . p T 7
) . 
22.33.
и
 = /(?),  r = x2 + 
у 2 + z2.
22.34. 
u = 
£
 = 
ax,


by.
 
22.35. 
PF 
=  
и
 

^-(x‘  - y 3), 


xy.
1
 
(*-*)' 
5
 
^2
22.36. Ushbu к = 
л°'‘  funksiyaning ush b u— = a2—^  issiqlik
2
 
a J u t  
8t 
8x-
o‘tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantirishini ko‘rsating.
22.37.Ushbu  и = —,  /• = дДх - a)2 + Cv - б)3 + (r - c)2  funksiyaning,  /•*()
Г
bo‘ lganda,  Ди = ^4-+^4 + ^   Laplas  tenglamasini  qanoatlantirishini
<3x~ 
dy 
dz
isbotlang.
22.12. 
и
 I
ii(л:2 
+ у), (0;l). 
22.13. 
и =
 ysin 
—, 
(2;;г).
280

22.38.Ushbu 
и 
^ — +c? _   funksiya,  bunda 
r = J x 2+y2+:'\c„c2
Г
o'zgarmas sonlar, quyidagi  ~  + ^ r + ^ -  = Cu  Gelbmgolbs
dx' 
dy'
 
or'
tenglamasini qanoatlantirishini isbotlang.
22.39. Ushbu 
u{t,x)=-\=e“ :'{,l)
 
funksiyaning  ^ + | ^ = 0
С/ 
cx
Shiyodinger tenglamasini qanoatlantirishini isbotlang.
22.40. 
f - r  
argumentning 
ikki 
marta  differensiallanuvchi
funksiyasi,  bunda 
r = J x 2 + v2+ :2
,  boMsin  va 
/„ + /„.+ / = = 
0  munosabat 
o‘rinli  boMsin.  U  holda,  qandaydir  a  va  b  o‘zgarmaslar  uchun, 
f(r) = -+b  ekanligini ko‘rsating.
V
Quyidagi  ixtiyoriy 
va  hokazo  funksiyalarni  istalgan  marta 
differensiallanuvchi,  deb  faraz  qilib,  quyida  berilgan  tengliklami 
tekshiring:
22.41.
 
y ^ - x —
 
= 0,  
= p{x2 + v').
dx 
dy
22.42.  x2— -xv— + y2 = 0,  : = £  + 
dx 
dy 
Зд:
л-i 
xdu 
du 
„  du 
„  f  у
z z .4 .} . 
---+ a v —  
+/ t
 —  = 
пи, 
u = x  m
dx 
'  dy 
dz 
U   :
22.44.  ^-%- = a2^-^-,  w = 
 - at + (p(x + at))..
<5r 
S x '
т Л  i  

d  u
 

d  и
22.45. 
x - —
- + 
2 x i---- +
дх- 

дхду
Berilgan 
f(x,y)
 
funksiyani  berilgan  nuqta atrofida Teylor formu- 
lasi bo‘yicha yoying:

Katalog: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r

Download 9.01 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling