A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet8/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   39

J/?(x,Va2 - x 2)& 
ifodalarni 
integrallash usulidan  foydalanib,  hisoblang:
4.44. f 
h - x 2dx.
4.45. | 
\l9 - \ 6 x 2 dx.
4.46. 
j V a 2  - b 2x'~dx.
4.48. j-  
dx
4.47. J
JX
dx
■J(a2 - b 2x 2)
4.50. Jx^/(a2 
- Ь ‘ х~У
icit.
4.52. Jx: V 4-x! A. 
4.54. | 
\l4 + x : dx.
4.56. J-J(9 + x2)’ rfx.
4
-
4
M - r ^ T T -
XV Я  - 0   X
4 .5 1
. | x ‘ \Ja2  -  b~x2 dx
4 . 5 3 . \ x ' y l ( a 2 - b 2x 2)" 
4.55. |Vo: + ft:x! rfx. 
4.57. |
dx.
+ * 2x : )  dx.
4.59.

r
4.61.
4.58.  J д'-у(t/

+ b2x 2)‘"dx.
4.60. f
e
.
J  
X
4.62.

X
Q u yidagi  integrallarni  hisoblang:
dx 
г 
x : a!x
4.63. J
X*
л/ 4 + x 2
dx.
4.64. J
Va 
—bx
4.65. | 
4.67. J
V25-X-’ ’
л/4-
=*/x.
59

4.68. J
sla 2 - b 2
-dx.
4.69. J
4.70. r _ * _ .
x 2\la2  - b 2x 2
4 .7 1 .J
J a 2 - b 2x 2 
dx
dx.
x AJ a 2  - b 2x 2
M ustaqil yechisli  uchun  m isollarning ja v o b la ri
4 .1.  2 V I
-
4V* 

4 InjVx 
+
1| 

C.
 
4.2. 
6[i.V I-^ V I+ V I-in | i+ V I| ]+ c
4.3.  2-У1+Т -
2
ln|VI77 +1| + 
C .
4 .4 ..y +1 - 2VI+T + 2 ln|VI+T + 2| + 
C.
4.5.2V I- 

VI -  8 VI 
+ 6 
VI 

48 'VI + + 

ln(l + 'Vl)+ 
у  
ln(VI 
-  
'VI + 
2
)-
171 
2 ' V x - \  

- 7 > arctg^
r + c-
4.6.
 
6 t - i t 2  + ^ l A
 + j / 5 
- j i 2
 +31n(l + r)-6 o / cfg f + C, 
t = 4 x  +
1.
4.7.
 
x+4Vx+l + 41n|Vx+l 
-l| + C. 
4.8.  ^x2 -LyVx2 
-1 + —ln|.x +
Vx2 
-l| + C.
4 .9 .
6 [Vic -  2 In V I + ln(VI + 1)- 
arctg'4~x]
 + С
4.10. in
l + f
4 . 1 1 .-in
4
l - r  
1 - 2
-  2arctgt 
+ C, 
1
t + 2
9t
( i
x - 2  
x + 2
4 x - 5
4 .12 . 
1 - — V l- x 2  -  arcsin 
x + C.
4 .1 3
, - l E H
 + C.
 
4.14.4 
V I - 6  Vic+ 12 VI+ 21n|jr|-361n(Vic
+ l)+C.
4.15. — 7(4^3)r + - V 4 ^ 3 ----- Д =  + С.
96 
16 
32V4.Y-3
4.16.
  ln(x + l + Vx2 +2*+ 
2)4
-----------2 
=  + C
.Y  
+ 2 + л/.y2  +2.Y+2
4.17  ‘  i n ^ ± ^ 5 :+ 4-r +3 - ^  + c.  4 .1 8 .- 2 arC/g1 + x W l + JC- x : +c. 
V3 
2x + V 4
jc
!  + 4
x
 + 3 + V3 
*
4.19.21n|f|-iln|(-
•—— -ln|/+l|+c,  bunda  < = — ..* + | —
r
+1
 
2
 
1
 
1
 
Y
4.20  'in
V5
•J
x
2 -
x
 + 5 +  
x
-
t
/5
V x 2x + 5 + x + л/5
+ C.
4 .2 1.8
ln|2r 
+1|- 
Iin | (-i| -yln | /  
+ i|+-^j-+c,  bunda
. V
2
 + x - x
2
  +V
2
 
1 


2
V
2
•Jx2 - x  +
 
4 + 2
4 . 2 2 . - - Lin
V
2
4 .2 4 .— f I -
2
( -  — l + c.  bunda 
t
27  < 
3
  1
+c.  4.23.  , 2(x~2)  - У.6? - * - * ’ 
+C. 

б л г - 8 - . Y 2 
x - 2
V 7 * -1 0 -x 2
x - 2
6 0

4 .2 5 .1(з 
- x U i  - 2 x - x 2 
+2o;-csin^-j!l + 
C.
2
 
__ VI
4 .2 6 . 
x J x '  - 2 x  + 5 -  5 ln(x- 1  + л/х2  - 2 x  + 
5
)+ C.
4 .2 7 .1 4 a/rsin 

 
- 1  
(3x
- 1
9)л/3- 2 x - x 2  + C. 
4 . 2 8 . i x 7'3 + — .
t
'1'6 
+ 3x 4'3 

C 



11'
4 .2 9 .6  
^  + - \ n
л/х
- 1
3
4 .3 1 .3   In
Гх
Vx + i 
1
ь----
r=
i+VT
+ c 
4 .3 0 .
4 .3 3 .
- i n
6
1
 + Vx
\l{\+x')2
  , 
,,
3
( ^ -
1
)’ 
(V ^ - i) ' 
+c. 
4 .3 2 .
2(1
+ V x),/: 
+c.
■+c.
-In 1
л/Г

2\l\ + x 3  +x
+S arc,s^
^
-
,1 + л/х3 
+C.
4 .3 5 .
- i n
3
л/l + 
x3  -1
л
/1
 + х
3
  +1
4.37.V(2.
t
-3,
j
+
i
)
j
  +
c
.  4 . 3 8 . 1
+ c. 
4 .3 6 .—
+— +c. 
r = V T 3 7 .
42 
24
f
- 1
t + 1
-amgr + 
c, 
bunda  г=л/Г
4 .3 9 .
- i n
4
l + r
l - r

4/ l  , 
4
-
- a r c t g

C, 
bunda  f = - — —

x
4 .4 0 .1 ? 4
- - t 0
 +c, 
bunda 
t - J
i+ l.  4 .4 1 . 



X
f
 
-3 
_________
4 .4 2 .—
+-t- +t + c,
  bunda  / = 
л/х2-
1
.

5
2
(VT+i
)3
•+c.
4.43.16) 
- - + — - - + C ,  
bunda 
10 

2

л/l + x 
^  ^   хл/9-х 

.  x  „ 
t =
---- ;—

4 .4 4 .---------- +
-a rc s i n  — + C.
x- 
2
 
2
 
1
4
  i r  
л/9 - 1 6 x ‘ 

.  3x 

хл/а2  - 6 2x 2 
a 2 
.  6x  „
4 .4 5 .x ----- ------ +
- a rc s in  
— + 
C. 
4 .4 6 .--------------- + —
arcsin
— 
+ C.





a
4 .4 7 .
4л/4-х2
+ С  4 .4 8 .
а 2л/а2 - 6 2x2
+ C. 
4 . 4 9 .- I ln
- л/а‘ 
- b 2x 2
bx
+ C.
4 .5 0 .
V(a2- 6 2x2)"
f - + c . 
4.51,
262x3 - a 2x
ГГТ 

.  bx  ^



--------------
л/а  - O x  
+—r arcsin— + C.
(m + 2)6‘ 
86' 
86 
а
^/(а2  - b 2x~)"*4 
a 2yj(a2  - 6 : x 2)' 
(m + 4)  6 4 
(m + 2)  6 4
4 .5 2 .

arcsin—
( 2 - x 3)V4 - x :  +C. 
4 .5 3 .-
- + C.
4 .5 4 .
хл
/4
 + х
2
+ 2 lnlx + V4 + x‘ I + 
С .
 4 .5 5 .
хл/я2 + 62x2 
a
+ —I 
26
п^х+л/а
2
+ 6  x  +C.
4 . 5 6 .4S* +
л/9ТР~+ 1 2 1  lnlx+
S 7 7 \
+c. 
8
 
8
 
1
 
I
6 1

4 57
J a 2  + b2x 7  + 
n\bx + J a 2  + b2x 21 + C.
x
x
x
c.
  4.64.  ■
  .  * 
+c.
4 9 - X 2
arcsin — + C. 
a
4 . 6 7 4 . 6 8 . -
— arcsin —  + C.
3
4.70.  -  
~6 V + c.  4.71 
. - a '‘ 
+ ] ЬУ   J a 2  - Ь 2х 2  +C.
3 a  x
5-§.  T arkibida  trigonom etrik fu n k siyalar qatnashgan  ifodalarni
integrallash
5.  1. 
|/?(sin*;cos.r)Ar 
ko‘ rinishdagi  in teg rallarn i  hisoblash.  Ushbu
integralni  qaraymiz.
1 ) «(sin.v:cos.x)  -  sin
x
  v a   cos.v  larning  rasional  funksiyasi  boMsin.  Bu
holda (5.1)  integralda  r = 
(-n
 almashtirish  olinib,  uni
j
.
hisoblash, 

g a   nisbatan  rasional  funksiyaning  integralini  hisoblashga 
keltiriladi.  Haqiqatan  ham,  quyidagi
munosabatlarni  e ’tiborga olsak,  (5.1)  integral,
ko ‘ rinishga  keladi.
2) 
R (- sin 
дг; 
cos*) = -/?(sin 
дг; 
cos 
дг) 
boMsa, 

holda,  r = 
cos*,  , r e ( 0 ; ; r )  
almashtirish  bajarilsa, (5 .1 ) integral  ostidagi  ifoda,  г  ning  rasional 
fun ksiyasiga keltiriladi.
j
 
/f(sin .v ; cos x)dx
(5.1)
62

3 )  ft(sinx;-cosx) = -ft(sinx;cosx) 
b o 'lsa , 

holda, 
r = sinx,
almashtirish  bajarilsa,  (5.1) integral  ostidagi  ifoda,  г  ning rasional 
fun ksiyasiga keltiriladi.
4) 
r
( -
 
sinx- cos 
дг) 
= ft(sin x; cosx)  bo‘ lsa,  u  holda,  г = 
tgx, x
 e 
; y j   yoki
r = cos2x 
almashtirishlardan  biri  bajarilsa, 
(5 .1 ) 
integral  ostidagi  ifoda. 

ning  rasional  funksiyasiga keltiriladi.
5.1-m isol.  Ushbu  f--------—-------   integralni  hisoblang.
J sinx + 2cosx + 6
Y e c h ilis h i. 
t = tg^
  universal  almashtirish  olib  v a (5.2)  formulalarga
asosan,  uni 
t 
g a   nisbatan  rasional  funksiyaning  integralini  hisoblashga 
keltiramiz:

f 
n [  
dt 
I f  
dt 


l
Jsin x + 2cosx + 6 ”  M (3+2r + 8 ~ 2 V   + i V   3i  _ 7зТа,СГЯ7зГ  + 4 ^
v  + 4 

+ 16


x 
l , 

= “7 =  arc/g - ; =  ( t g  -  + - )  + С  .
V H  
Й
 

4
5.2-m isol.  Ushbu  f—
---- integralni  hisoblang.
J sin 
X
COS 
X
Y e c h ilis h i.  A gar 
— —1------
ifodada 
cosx 
ni 
-cosx 
g a almashtirsak,  u
sin  д:cosx
holda,  uning  ishorasi,  qaram a  -  qarshi  ishoraga  o'zgaradi.  Shuning 
uchun, 
-
 sin x,  x e f - ^ ;  
y ja lm a s h tir is h n i  olish qulay  boMadi.  Bunda,


arcsin(, 
dx -  —= 2 = d t ,  
cosx 
J\
 
-  
sin3 x 
J ]  - f   ,
V l - r
va
dx 




г 
dt

d x __ _  r ___ i_______ i___ 

at
sin1 x cosx 
-J  f ' j i - t 1  7 l - ( 2 
t' (l -  <  ) 
r dt 
r di 
r  d t  

I ' ,
=  —+  —+  ---- -.- =----Г — + -ln
V   J r  
J l - r  
3t 
t 
2

1
 - 
1
 
,
+ C = -----------T - ——  + —ln
3sinx 
sinx 
2
1 + sin x
I -  sin x
+ C
.
5.3-m isol.  Ushbu  f—
i nt egral ni   hisoblang.
J  sin  x c o sx X
Y e c h ilis h i.  Integral ostidagi  ifodada 
sinx 
ni 
- s i n x  
ga 
almashtirgan-da,  u o 'z  ishorasini teskarisiga almashtiradi.  Bu  holda 2) 
almashtirishni, y a ’ ni  i = 
cosx, 
x e ( o ;i )   deb olish  qulay  bo'ladi.  Bunda,
x = arccosr,  dx = —  
dt,  sinx = Vl -  cos2 x  = s l l - t 2 ,  sin3 x = -y/u~ cos' x)3  =
v a
63


dx 
'  sin' ,vcos: 
дг
1  1 ,
= -  - + -  In
l
 
2
‘  f 
~ r = = =
---
r~  - 
-
  f "V7~—rvrff =  f 
-7
dt 
+
 f —L-
dt -
! t
2
{\-r) 
h
2
 
J l
- / 2


f
+ C - -  
1
 

1  In
1 + COS 
X
1 - /
cos x
 
2

-  cos x
5.4-misoI.  Uslibu  J-
sin xdx
+ C.
integralni  hisoblang.
2sin.v + 3cos*
Yechilishi.  Integral  ostidagi  ifoda. 
sin 
a

v a 
cos.i- 
larni  ,mos  ravishda,
- sin ,v 
va  —
 
cos 
x
  larga  almashtirganda,  o ‘ z  ishorasini  o ‘ zgartirm aydi.  Bu
holda
t  = tgx,  x 
e
к  к
1 ' 2
almashtirish  bajarilib,  berilgan  integral  ostidagi
d t
ifoda 
t 
ning  rasional  funksiyasiga keltiriladi: 
x = arctgt,  dx = 
-^ -4
  va
b
sin xdx
_________ = Г 
f
2sin.Y + 3cos.v 
■* 2rgx + 3 
*  (2t + 3)(l + r )

,  t o 'g ‘ ri  rasional  kasrni,  nom a’ lum  koeffisientli  (3.6)
(2f + 3)(l + f 3) 
fo 
'
ko ‘ rinishdagi  sodda kasrlar y i g ‘ indisi  shaklida tasvirlaym iz:
I 


Bt + C 
(2r+ 3)(l + r )  ~  2 f + 3 +  1 + r  
Undagi 
nom a'lum  
koeffisientlarni 
topish 
uchun, 
yuqorida 
ko'rsatilgan  nom a’ lum  koeffisientlar  usulidan  foydalanib,  chiziqli 
algebraik  tenglam alar sistemasini  y ech a m iz:
tdt
t  =  /l(l + t 2)+(Bt + C)(2t + 3) 
sin.rciv 
r,  A
h
в< + с и  
+-----
—]dt
Л + 
2
Й = 
0

ЗВ + 2C =  1, 
A + 3C = 0,
6
  r 
d t
— J-
n  J :
Л = - —,B = —,C = —, 
13 
13 
13
1
  r 3/ + 
2
+ —   ----- rdt =
"   J   1 +  Г
2sin.v + 3cosx 
J ‘ 2r + 3 
1 + r   J 
1 3 J  2f + 3 
1 3 J


1
 
1
 


2
= ----- In 2r+ 3| н----- In 1 + t 2  + — arcigt + C = ------ ln|2sin.v + 3cosl + —  x + C.
13  1 
1  26  1 

13 
13  1 

13
5.2. 
|sinor.rcos/?.rdr,  js in a x s in / lx d x ,  Jc o s a x c o s flx d x  
ko‘ rinisllidagi 
in teg rallarn i  hisoblash.  Bu  integrallar ostidagi  ifodalarda,  quyidagi
sin ax cos px = ^[sin(ar + p ) x + s m ( a -  p)x\ 
( * )
sin a* sin Px = ^-[cos(ar -  p ) x -c o s ( a  + p)x\ 
cos ax cos px = i  [cos(a + ft)x + cos(tr -  p)x\
formulalardan  foydalanib,  ularni  integrallash  mumkin.
5.5-m isol.  Ushbu 
Jsinaxcos/JrciY 
integralni  hisoblang. 
,
Yechilishi.  (* )  formuladan  foydalanib,  integralni  hisoblaym iz:
64

5.3.  j
sin“ xcos" xdx (n, m & Z) 
ko'rinishdagi  integrallarni  hisoblash.
I. 
n,m  -
  lar  m anfiy  boMmagan  juft  sonlar  bo‘ lgan  hoi.  Bu  holda, 
darajani  pasaytirish, y a ’ ni
formulalar qoMlaniladi.
II. 
n.m  -
  lar  natural  sonlar  boMib,  hech  boMmaganda  ularning 
birortasi  toq  boMgan  hoi.  Bu  holda,  misol  uchun, 
m 
toq  boMganda, 
sinx 



n 
toq 
boMganda  esa, 
cosx = / 
almashtirish  olinadi  va 
l - c o s
2
 x = sin
2
 x 
yoki 
l -  sin
2
 x = cos
2
 x 
formulalarning  biridan  foydalanishga 
to‘g ‘ ri  keladi.
III. 
n,  m
  -  larning  ikkalasi  ham  butun  m anfiy  boMib,  |«|  va 
jmj 
sonlar juft yoki  toq  boMgan  hoi.  Bu  holda 
tgx = t
  yoki 
agx
 = 
t
  almashtirish 
olinib.
IV.
  n,  m  - 
butun  m anfiy  sonlar  boMib,  |«|  va  |«z|  sonlam ing  biri  toq 
boMgan  hoi. 

holda,  agar 
]ш| 
-  toq  boMsa, 
sinx 

r ,   |«j- 
toq  boMganda 
esa, 
cos
x —
 
t
  almashtirish  olish  m aqsadga  muvofiq  boMadi.  B a ’zi  hollarda 
\n\
  v a 
|mj 
larning 
darajalari 
katta 
boMganda 
integral 
ostidagi 
fu nksiyaning  suratida  i  ni 
sin2x+cos2x 
yigMndi  bilan  almashtirish  qulay 
boMadi.
V. 
n  -
 juft  son, 

-
  esa,  butun  manfiy  son  boMgan  hoi.  Bu  holda 
sin2 x = l-c o s 2 x 
formuladan foydalanib,  integral

•>
 
1
 

1
 
*
1 + tg ' X = ---- -—  ,  1 + Ctg  X = ----
7
cos'  x 
sin'
formulalarning biridan foydalaniladi. 
Ushbu
J —
:—-— ,n > 0  ea  j ---- —  ,  m > 0
sin  x 
cos
integrallar  ham, 
III
  holga keltirilib  hisoblanadi. 
Haqiqatan  ham.
sin"x 
2"'1
sm
2
 
2
65

f _ * _ ,  
aeN 
1  cos" 
X
ko'rinishdagi  integralga keltiriladi.
m-
  ju ft  son, 
n-
  esa,  butun  manfiy  b o 'lgan d a 
c o s 2 x  =  i - s i n 2 x  
formuladan  foydalanib,  hisoblanishi  kerak bo 'lgan   integral,
f ■
 - -  -  ,  a   e  N 
J  si n" 
x
ko'rinishdagi  integralga  keltiriladi.
V i. 
n
  -  
toq,  son 
m  -
  esa,  butun  m anfiy  son  b o 'lsa ,  bu  holda 
c o s
x = t
 
almashtirish  olib, 
s i n 2 x  =  i - c o s 2 x  
formuladan  foydalanish  kerak.
m
 
-  toq, 
n
 
-  
esa,  butun  m anfiy  son  b o 'lg an d a  almashtirish  olib, 
c o s 2  x  = 
I —
 sm - *  formuladan  foydalanish kerak.
B a ’ zi  hollarda,  y a ’ ni 
\n\
  va  |m| 
d arajalar  etarli  katta  bo'lgan 
integral  ostidagi  funksiyaning  suratidagi  l  ni 
s i n 2  x + c o s 2 
x g a   almashtirish 
qulay  bo'ladi.
5.6 -  m isol.  Quyidagi  integrallarni  hisoblang:
'  s i n J 
x
c o s J д:
1)  f s i n 4 
x
c o s 2 
xdx;
 
2)  f s i n 3 c o s 2 
xdx;
 
3) f — г-------- -—
dx;

J
 
J  sin  atcos 
x
4 ) J - —
5— <&■; 
6 ) l ^ d x ;
 
7 ) J - - • - • l
J
 
cos 

J
  sin 
X  
J
  Sill 

3
  S i n ‘   JtC O S   X
Y e ch ilis h i.  l ) B u e r d a   /? = 4, 
m =
 
2
  boMgani  uchun,  1  - holga asosan,
s i n : jt = i ( i - c o s 2 x )  
formuladan  foydalanib,  integralni  hisoblaym iz:
r   •  4 


1  f  
■» 
• 

1  f   1 - C O S  
I X
  1 - C O S 4 A '
Katalog: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r

Download 9.01 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling