A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet9/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   39

sin  ,rcos  xdx -  —  sin' x-sin* 2xdx = — -------------------------- dx =

4

4 J 
2
 
2
= — J(l - c o s 4 x - c o s 2 x  + cos2xcos4x)c&- =
= — x -  — sin 4x~ — sin 2x + —  f (cos 2x + cos 6x)dx =
16 
64 
32 
1 6 J
= — x - — sin 2 x - — sin4x + — sin2x + —5—sin6x + C =
16 
32 
64 
64 
162
= — .
t
 - —  sin 2 , r - — sin 4 x + —!—sin 6,v +C.
16 
64 
64 
192
2
)
Jsin’ x-cos2 xdx 
integralni  hisoblashda  II  holdagi  almashtirishdan
foydalanam iz:  bunda 
«  = 3, 
y a ’ ni  u  toq  bo'lgan i  uchun, 
cosx = r
almashtirishni  bajarib,  q u y id a g ig a  e g a  bo'lam iz:
j s i n ’ x - cos2 xdx 

- J s i n 2 
.v
cos2 x d cosx 
= - J ( l  
-  cos2 x)cos: xdcosx 
=
17
 

cos’ x 
cos5x 
_
= - J  (cos-  x - c o s   xjdx = — —
+ + --------+ C.
6 6

3) 
integralda 
n
 = 
-3,  m
 = 
-5  bo‘ lib,  |n|  v a  |m|  la m in g  ikkalasi  ham  toq 
boMgani  uchun,  III  holga  asosan, 
agx = t
  almashtirishni  bajarib,
1 + crg\t = -
formuladan foydalangan  holda  hisoblaym iz:



dx
________ _  _____
dclgx
.  2 
COS 
X
 
.  6 
.  5
Sin 
X
--
r —   SH I  X  
Ctg 
X-
sin  x
r (\ + ctg2 x)' dctgx  _  (l + /ц: )Sdu

rta^
 y 
h’
(l 
+ ctg2x f
C tg   X 
It
l  + l  + ub u
 
= f + fL _  + 2 , ^ - 3 i n | „ | - ! L  + 
c
и  
а  
и
1
 
1
u=cigx

1
- 3 ln|c£&x|
c t g   с
,  ...r v i  
-+c.

ctg  x
 

ctg'x
 
2
4)  integralda  « = 
5,  

-
2
,
 
y a ’ ni  »  -  toq, 
-  butun  manfiy  boMgani 
uchun,  VI  holga  asosan, 
cos* = / 
almashtirish  olam iz  va 
sm2 x = i - c o s 3 x 
formulani qo ‘ llab,  integralni  hisoblaymiz:
r
 s in

x ^  _
1*s in ■* 
xdcosx
•(t - c o s : 
X

d
 cos 
x
\X~ 2u l+ u A du
cos2  X
c o s : X
COS
X  ~  
~
и
*
5)
-  + 2 u -  —  + C 
и
 
3
dx

cos 
x
------ + 2 cos .T-----------+ С .
cosx 
3
sin  x
foydalanib,  uni  quyidagi
,  
ctr
integralni  hisoblashda.
sinx = i s m —cos-
formuladan

du
' sm'  v 
24  sin5 - c o s 5 -  
24  sin  » cos5“ 
2
 
2
ko'rin ish ga  keltiramiz.  K eyingi  integralda 
n --5, m = -5
  bo'lib, 
и
  va 
m 
larning  ikkalasi  ham 
toq  bo‘ lgani  uchun, 
111
  -  holga  asosan, 
ctgx
 = 
t 
almashtirishni  olish q u lay bo‘ ladi:

dx
 
1  r 
dctgu
 
Г 



1  rfl + r 2)4  ,
— r -  = r -   —
~ ~ r -  =
 
1
 + 
ct
8
’« = —— = —  -----
--  d:
J  sin'  x 
2 4
J  
c t g  
и  sin'  и 
(_ 
sin* и j  
16J 
г
i  f l+ 4.- : + 6 r 4 +4.-'’ +:
16-1
- d z
  =
I.  64 

8  11  8 
64 
J
6
)  integralda  «=---
2
, «i = 3,  y a ’ni 
n
  -  butun  manfiy, 
m  -
  toq  boMgani 
uchun,  V  holga  asosan, 
sm x 
= <  almashtirish  olam iz  v a 
cos! x = i - s i n 2x 
formuladan  foydalanib,  integralni hisoblaym iz:
67

rcos’ x ^  
r(l — sin~ x)tfsinx _  г (1 - u 2)du 
J  sin2  x 
•* 
sin2 

u2
— Jti~2d u - J d u
 = ^ - i - u  + c j
■sinx + C  .
7)  integralda 
n = - 2 .  w = - 3  
y a ’ ni  «  va 
m 
manfiy  sonlar bo‘ lib, 
\m\ 
toq 
b o ig a n i  uchun,  IV  holga  asosan, 
sinx =  « 
almashtirishni  olib,  integralni 
xisoblaym iz:
J
  S i n  
X
COS 

J
 
_  f 
du
» 2( l - I , ) : (l+I/):  ■
d sin x
sin2 x  cos4 x 
J  sin2 x ( l - s i n 2)2 
u 2( l - u 2)2
= b
du
M ustaqil yechish  uchun  m isollar
Integrallarni  hisoblang:
5.1. 
J c o s:  xdx.
5.2. |
cos’ pxdx.
5.3. J 
sin 
’ 
pxdx.
5.4. | 
cos4  pxdx.
5.5. 
Js in ’ xdx.
5.6. 
j i g 3d\
5.7. | 
cr'xdx.
5.8. 
 cos5 xdx.
5.9. J 
sin4  pxdx.
5.10. | 
cos7 xdx.
5 .1 1 . 
jc t g 4xdx.
5.12. | 
sh2 xdx.
5.13. | 
.sh’ xdx
5.14. |
ch'x  shxdx.
5.15. 
JcA2xdLv.
5.16. 
|i/i4xcix.
5.17. | 
ch' xdx.
5.18. J 
ch* xdx.

sin px cos qx dx, 

sin px sin qx dx, 

cos px  cos qx dx 
ko‘ rinislldagi 
integrallarni  hisoblang:
5.19. J 
cos  5xcos9xdx.
5.21. j  
cos4xcos*  dx.
5.23. 
| sin3xcos5x dx.
5.25. J 
sin pxsmqx dx.
5.27. J 
s in x sin 2x sin 3x A .
5.29. fsinxsin— sin— 
dx.
J 

3
5 .3 1 .J 
sin’ 2xcos2 3xa!x.
5.33. J
sh2xsli5x  dx.
5.35. 
sli3xch5xdx.
5.20. J 
sin5xsin3xciv.
5.22. J 
sin7xcos3x dx.
5.24. j  
cos pxcosqx dx.
5.26.  J 
sin pxcosqx dx.
5.28. J 
cosx  cos  cos5x dx
5.30. J 
cos2 ax cos2 bxdx.
5.32. J 
cos x cos 2x cos 5x dx.
5.34. J 
chixchlxdx.
5.36.  ji/i(2x 
3)sh(2x + 5)dx.
dx
sin  л: 
J
 cos 
x
k o ‘rinishdagi  integrallarni hisoblang:
6 8

5.37. f - * - .  

sin x
5.38. f  *   .
J  sin  x
5.39.  J  *
J  sin 
j
:
5.40. Г  *   .
J  sin'  x
5.41.  f  *   .
J  Sin 
X
 

5.42.
J   C O S X
5.43. f  *   .
J   COS 
X
5.44.  f  *   .
J   COS 
X
5.45. f  *   .
J  COS  X
5.46. f  *   .
COS 
X
5.47. Г-4-.
sh  x
5.48. f - 4 - .
J  sh4x
5.49. 
\ ~ .
■* 
ch  x
5.50. f * L

’ 
c/r  X
5.51. Г£*!£л . 

c / t r
f C0S" V   f
^ J -d x
  ko'rinishdagi  integrallarni  hisoblang:
«* 
r  
J   С .О Ч 4  Y
5.53.
J  COSX
5
.
5 5
. f
r
'-dx.
'  cos' X
г  s in 3
X
’’  COS'

X
5.59. f^L idr.
J  COS  X
5 . 6 1 . ( 5 2 ^ * .
1
  sinx
5 .6 3 .
\ ™ L l d x .

sinx
5.65. Г ^ л .  
5.66. Г ^ л .
J  sin 
x
 
J sin‘ x
5.68. f
^ d x .
 
5.69.
J  sin  r  
J  cin  r

\^-^dx
  ko'rinishdagi  integrallarni  hisoblang:
1  chqx
5.70. f £*!*&.

chx
5.71. Г£^£л . 
J  с/гх
5.72. j
5.73. Г
J  ей  x
5.74. Г ^ л .
J   d l * X
5.75. J
5.76.
J   d r  
i
5
.
7 7
.

ch  x
5.78. J
5
.
7 9
. Г£^£л .
J  shx 
*
5.80. f—
1  shx
5.81. J
5.82. f— Л.

л
/
tjc
5.83.
S  sh'x
5.84. J
sh'x  ,
------ dx.
cltx
sh2x 
— —dx. 
ch>x
sh2x  , 
— r-dx. 
ch  x
ch^x
------ dx.
shx
ch^x 
, 
— :dx. 
sh  x
69

5.85. 
5.86.f£^
5.87.
1  s h   x 
1  sit  x 
1  s h   x
5.88. f
~ x~dx. 
5 .8 9 .
\c
- ^ d x .
*  s h   x
 
J
s h   x
j"sin''xcos
* x d x
  ko'rinishdagi  integrallarni  hisoblang:
5.90. j  sin2 ,v cos * 
dx.
 
5.9 1. J sin2 ,rcosJ 
xdx.
5.92. J sin2 xcos'1 
xdx.
 
5.93. J sin’ 
x c o s x d x
5.94. j  sin' xcos2 
xdx.
 
5.95. J sin’ 
x c o s x d x .
5.96. J sin4 xcos 
xdx.
 
5.97. J sin4 xcos2 
x dx.
5.98. J sin4 
x  c o s 3 xdx.
 
5.99. J sin4 xcos4 
x dx.
|
s h 1'x ch " x d x
  ko'rinishdagi  integrallarni  hisoblang:
5.100. 
js l t x c l i x   dx.
 
5 .10 1. 
j s l r x c h : x dx.
5.102. JsA2xc/i4xdr 
5.10 3 . Js/г’х 
c l r x .
5.104. 
j s h ' x  c h 3xdx.
 
5.10 5 . 
j  s h 3 x c l r  x d x .
5.106. 
j s h 3x c h Ax  dx.
 
5.107. 
j s h 4x c h t x  dx

—-   k o ‘ rinishdagi  integrallarni  hisoblang:
5.108. Г— ^ — . 
5.109. f

.
 
5 .110 . f 
dx
J sinxcosx 
J  sin cos- v 
J
sin 
x
cos 

J
 sin cos' 

J
 sin 
д:
cos 
x
5 .1 1 3 .J —
•'em
sin cos 
X  
■'sin 
X C O S  
X
dx
s i n *   X C O S   X
.
 
5 .1 1 5 . f

■ 
.
sin4 cos* x 
J
 sin" xcos  x
5 .116 . f -
J
dx
sin  xcosx
dx 
:   n o   [ 
dx 
с 
1 1
n  г 
dx
5 .1 1 7 . f  ,  , 
,  . 
5 .118 . f  
/ r  ,  .  5 .119 . f
J  sm  cos' x
 

sin  xcos  x 
1  sin4xcosx
5.12 0 . f 
4 A   ,  . 
5 .12 1. 
4  . 
5.122. f 
^
  ,  .
J sin  xcos  x 
J
 sin  xcos  x 
J sin  xcos  x
f— ——   k o ‘ rinishdagi  integrallarni  hisoblang:
3  s h px c h qx
dx  
e  
1
ЧЛ  f  
dx 
с  ,

dx
5.123. f — -—. 5.12 4 . f—
5. 125.  f-
J  shxchx  J  shx ch  x 
J  s_____________________ _
5. 1 26. J —
5. 127.  r - A - .  
5.12 8 . Г—
.
s h x   c h   x xh 
y
 rhY
 
•> 
vh~Y
  /~/»2 v
70

5.129. Г - ^ —. 
5.130. f— ^ — . 
5.131. f 
dx
J  sh  xchx 
J  sh  x ch  x 
1 sh‘ x  ch  x
5.132. f - £ —. 
5.133. Г  -  ^   ,  . 
5 .1 3 4 . f- A ,   ■
1  sh  chx 
J  sh  x ch  x 
-1  sh  xch  x

s(sin-v.  cos)dx, 
(bunda 
R -  
rasional 
fu n ksiya ) 
ko'rinishdagi 
integrallarni  hisoblang:
5.135. r— * — . 
5.136. f—
d
JL

*  3 + 5 cos 
'  10 + 8 cos x
dx 
с   n o   с 
dx
5,
5 + 4cos.v 
J 13 + 5sinv
dx 
г  
1
 

dx
. 1 3 9 .   f — r l —  
5 . 1 4 0 .   f
J 4 4 Я sin v 
J
Зч  Ssin.v 
J  5 + 3sinx
5.141. f— * — . 
5.142. f— —— .
1  a  + b cos-x 
J a+/>sitix
dx 
с  
1
 
1 1
  r 
dx
5.143. f------- — -------- . 
5.144. f—
J  4rn«s r  4- 4sin  r  4- S 
•'sin
1  4 c o s x  + 3 s in x  + 


s in x  + 3 c o s x  
+ 5
5.145. f ----- A ---------. 
5.146. f 3sin-v~2cosjr^.
J  5 - 4 s i n x  + 
2 c o s x  

1 + co s.t
5.147. j — — —--------.--------------- 5.148. f 
dx
-
  7  s i n   r  4- 4  r n s   V 4- 
j
5.149.}
2sinx + 3cosx + 3 
J  3 s i n x - 4 c o s x
dx
a + ftcosx + csinx
5.150.  Ushbu 
J„
 = f------- - v------ --(л
2
 +/r 
?o,ne,\)
  integral  uchun
(acosx + 6 sinx)"
1------------------ | 
a s i n x - f t c o s x  


'l 
=7---- —7----- n h ---------------- r-T + VI_
2
K - ’  |.
( ( ! - 1 д я ‘  hb  J ^ a c o s x  + fesinx)" 
J
rekurrent formulani  isbotlang,  uning yo rdam ida
./,  -   f------- - ----- -  integralni  hisoblang.
(2 cos x + sinx)
5.151.  Ushbu 
J„ =
  f - — - - —-r  (wi?!/>|. 
ne
 .v)  integral  uchun
(cicosx + 6)"
y "  = 7 — й П — л л !   Г — - ^
r -  (2« -  3 R - ,   + (« -  2)J„_2 \  n > 1
(/г--1дл  -b  
(acosx + bj 
J
rekurrent formulani  isbotlang,  uning yordamida
« ) { , - — — —
tt
,( 0 <
c
< 1). 
* ) | - ---- — — ^ , £ > 1
(1  +  £ C O S . t ]  
J   ( 1  •+■ 

 COS 
X )
71

i n t e g r a lla r n i  h is o b la n g .
5.1 
ЛГ + —sin2x + 

5 .2 . —sin 
p x
——sin3 /?x + C .5 .3 .—  cos3 
p x - —c o s  p x  + C.
2
 


3p 
3p  
p



1
5 . 4 . - X  + — sin 4 / « + C.  5 . 5 . - c o s x  + —cos3 x —  cos5 x + 
C.


' 

5
5 .6 . 
6)  - / g 3x + ln|cosx| + 
C .5 .7 .-  
ctg2  -ln|sinx| + C.
5 .8 . sin x - —sin ’ x + is in 5 x + C. 5 .9 . — -  —  sin 
2 p x
 + —— sin 
4
ox + C.



np 
32 
'
3
-
1
 


5 .1 0 . 
s i n x - s i n 3 x + - s i n ’ x — sin7 x + C. 
5 .1 1 . 
cfex— ctg’ x + x + C.


s  
j   «
5 .1 2 . - s / ? 2 x - - + c .  5 . 1 3 .  — 
clix +
 — 
ch3 
X
 
+ C.


3
5 .1 4
. —ch4x +
 C. 5 .1 5 . 
—sh2x
 + — 

C.
 
5 .1 6 . 

x -  
— 
shx chx
 + — 
sh
3 x 
chx
 + 
C.





4
5 .1 7  
s/ix + — sit* x + C. 
5 .1 8 . 
3 x+  -shxchx + —shx ch'x + C.



4
5 .1 9 . 
- s i n  4x + — sin 4x + C. 
5 .2 0  
. —sin 2x -  — sin 8x + C.

28 

16
5.21 
. -  sin 3x + —  sin 5x + C. 
5 . 2 2 .-  
- c o s 4 x - —  coslOx + C.

10 

20
5 .2 3 .-
 — cos 8x + —cos 2x + C.
16 
4
5 . 2 4 . sin(p
 + 
g)x 

s|n ( p - g) x + 
^  
2ч 
2(p + q) 
2 ( p - q )  
}
5 . 2 5 -
sin(p + g)x + sin( ? - p ) x  + c ,  ( _ w
)
2 (p + q ) 
2 ( q - p )
5
.
2 6
. - C0
x  5>27>c o s 6 x _ c o s 4 x _ c o s 2 x
2(p + q) 
2 ( p - q )  
 
'  
24 
16 
8
с  
sin9x 
sin7x 
sin3x 
sinx 
_
5 .2 8 .
— -— + --------+ -------- + -------+ C.
36 
28 
12 
4
с   л п   3 


5x 

7x 

1 lx
J . Z y .  —cos-------- cos------ -— cos —  + — cos—— + C.


10 

14 

22 
6
С  ЧП  x 
s>n 2ax 
sin2fcx  g  s i n 2 ( a - 6 ) x  
sin2(a + 6)x  ^
3.JU .---
1
 
l  
h-----------г---
1
 
j-----г---h С 
.

8a 
b 
16 ( a - b )  
\6(a + b)


1
3
 
1
5 . 3 1 .-  
— cos 2x н-----cos 4x ч----- cos 6 x ------- cos 8x + ----- cos 2x + C.
16 
64 
48 
128 
192
5 .3 2  

-sin  2x 

—sin4x +

sin 6x + — sin 8 
x + C. 
5 .3 3  
.

sft7x - —sh3x 
+ C.

16 
24 
32 
14 
6
M u sta q il yechish  uchun  m isollarning j a v o b l a r i
72
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   39




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling