A. Y. N a r m a n o V analitik geometriya


birorta dekart koordinatalari sistemasida


Download 3.6 Mb.
Pdf ko'rish
bet10/13
Sana21.03.2020
Hajmi3.6 Mb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

birorta dekart koordinatalari sistemasida
y 2 - b 2 =
 0 
12)
49-chizma. 
Elliptik silindr.
50-chizma.  Giperbolik 
silindr.
ko‘rinishda  yozish  mumkin  boisa  ,  u  ikkita 
parallel  tekislikdan  iborat  boiadi.
Ikkinchi tartibli  sirt  tenglamasni biorta dekart 
koordinatalari  sistemasida

53-chizma.
ko‘rinishda yozish mumkin bo'lsa  ,  u  ikkita ustma-ust 
tushuvchi  tekislikdan  iborat  bo'ladi.
5 -§ .  Ikkinchi tartibli  sirtning urinma  tekisligi
ттд
Bizga  ikkinchi tartibli  sirt 
F ( x , y , z )  = 0 ( l)
tenglam a 
bilan 
berilgan 
b o 'lsa , 
unga 
52-chizma. 
,  , /  
\
t e g i s h l i  
M { x 0, y 0, z 0 )
nuqtadagi urinma tekislik tushunchasini kiritamiz.
10- ta ’r i f   Ikkinchi  tartibli  sirtda  yotuvchi
va M
q
  nuqtadan  о ‘tuvchi  hamma  chiziqlaming 
shu  nuqtadagi  urinmalari  yotuvchi  tekislik 
Sirtning M
q
  nuqtadagi  urinma  tekisligi deyiladi.
Urinm a  tekislik  tenglam asini  keltirib 
chiqaramiz.  Buning  uchun 
M
q
 
nuqtadan 
o‘tuvchi   tekislik  bilan  sirtni  kesganimizda  hosil  bo‘Igan  kesimni 
(chiziqni)  /   bilan, uning  M q   nuqtadagi urinmasini    bilan belgilaymiz.
Urinmaga  tegishli  nuqtani
M ( x , y , z )  
bilan, 
у  
chiziqda 
M
q
nuqtaga yetarli yaqin nuqtani  ДГ  bilan belgilab, 
M
q
 
va ]\[  nuqtalardan
to‘g‘ri  chiziq o ‘tkazamiz.  Bu  to‘g‘ri chiziqda 
M { x , y , z )  
nuqtaga eng
yaqin  nuqta 
M'{x' , y ' ,z'^) 
bo‘lsin.  ДА  nuqtaning  koordinatalarini
XN  =  X
q
  +  
- X
q
)
y N   = У
о
+ К
у
' - У
о
)
z N  = z Q+ t ( z ' - z 0) 
ko'rinishda  yozish  mumkin.

Koordinatalar uchun bu  ifodalarni  (1)  tenglamaga  qo'ysak 
F ( x
0
  +  t ( x'  -  x),   y 0  +  t ( y '  -  y 0 ),  z
0
  +  t ( z '   -  z 0 )) =  
0
 (
1
) 
tenglikni  olamiz.  Bu  tenglikning  chap  tomonidagi  ifodada  —> 0   da 
x ' , y ' , z r o'zgaruvchilar mos ravishda  Xq , _y
0
 ? z q kattaliklaiga intiladi. 
Yuqoridagi  tenglikni/  ga  bo'lib  va  F( x0, y 0, z 0) = 0  tenglikni  hisobga 
olib,   —> 
0
  da  limitga o‘tsak
(X -  X0 )F i  (*0,  У о . ^0 ) ■

(у 
-  У  0 )F y (х О’ У о ^ о ) + ( - -  20 )F : (xO’>’
0
’ Zo ) =
0
(
14
)
tenglamani  hosil  qilamiz.  Bu  tenglama  sirtning M
q
  nuqtadagi  urinma 
tekisligi  tenglamasidir.
6
-§.  Sirtning  diametral  tekisligi
Biz  ikkinchi tartibli  chiziqlar uchun diametr tushunchasini  kiritgan 
edik.  Ikkinchi  tartibli  sirt  uchun  esa  diametr  tekislik  tushunchasini
kiritamiz. To‘g‘ri chiziq ikkinchi tartibli sirtni ikki M ,  N   nuqtada kesib
o‘tsa, M N   kesma  ikkinchi  tartibli  sirt  uchun vatar bo'ladi.
1-teorema.  Parallel vatarlaming о ‘rtalari  bir tekislikda yotadi.
Isbot.  Ikkinchi  tartibli  sirt  uchun  maxsus  tanlangan 
Oxyz 
dekart
koordinatalar sistemasi mavjudki, uning tenglamasida 
xy, 
XZ, 
y z  
ifodalar 
qatnashmaydi.  Bu  faktni  isbotlash  uchun
F { x , y , z ) =  
2
  +  а 22У2  +  (I33Z2  + 2 a n x y +  2 a 23y z  + 2 a 13xz + 

2 
a l4x  + 2 а 24У + 
2 
a 34z  + a 44
belgilash  kiritib
f { x ,  y , z ) =  
1x2
  +  a i i y l   + аъз* 2  +  2 a n X y +  2 a ^ y z  +  
2
a i3*z
x 2  + y 2  + z 2

funksiyani  qaraymiz.  Bu  funksiya hamma o‘zgaruvchilarga nisbatan bir 
jinsli  ,  ya’ni
f( Ax,  Лу, Az)
 =  
f ( x ,  y , z ) ,  
A e R 1
tenglik o‘rinlidir. Bundan tashqari   ftmksiya birlik sferada chegaralangan
va  Sferaning  birorta 
M
q
 
nuqtasida  bu  sferadagi  eng  kichik  qiymatga 
erishadi.
Funksiya bir jinsli boigani uchun, u koordinata boshidan chiquvchi 
nurlarda  funksiyaning  qiymati  o'zgarmaydi.  Demak, 
M
q
 
nuqtada 
funksiya  o‘zining  aniqlanish  sohasidagi  eng  kichik  qiymatiga  erishadi.
Koordinatalarboshinio‘zgartirmaganholda  O z   o ‘qni  O M
q
  vektor
bo‘yicha yo‘naltirib,  yangi 
Ox'y'z'
 
koordinatalar sistemasini kiritamiz. 
Yangi  koordinatalar sistemasida  funksiya

а\\х'г
  + 
а'пУ'1
  + 
а'гг2'2  + М
2
ХУ
 + 
Щ зУ2'
 + 
2a'}3x'z' 
J
 I *  
,у ,Z } —
 


,2
х  + у   +Z
ko‘rinishga  ega  boiadi.  Maxrajda  turgan  ifoda  nuqtadan  koordinata 
boshigacha boigan masofaning kvadrati boigani uchun. Uning ko‘rinishi
o ‘zgarmaydi.  Yangi  koordinatalar  sistemasida  M
q
  nuqta (0 ,0 ,Z 0 ) 
koordinatalaiga  ega va
/(o ,y ,z 0)= 
а'21У'2
  - 
аЬ 2Л .
*0  + У
tenglik  o ‘rinli.  Demak,
d f ( 0 , y f, z 0)

0
y'-o
dy'
ten g lik d a n
«23
  =  0   munosabat  kelib  chiqadi.  Yuqoridagidek

foydalanib,  a
{3
  =Otenglikni  olamiz.  Natijada  ikkinchi  tartibli  sirt 
tenglamasi
a'u x'2  + 2a[2x'y' + a22y '2  + 2a[4x’ + 2a'24y' + 2a'34z ’ + a'33z ’2  + a '44  = 0
ko‘rinishga  keladi.  Bu  yerda  faqat  x', y ’  o ‘zgaruvchilarga  bog‘liq
ifodada x'y'  ko'paytmani  yo‘qotish  uchun  koordinatalar  sistemasini 
qanday o ‘zgartirishni biz IV bobda o'rgandik. Buning uchun koordinata
boshini o'zgartirmasdan yangi,  Qx" , O y ”  o'qlarni o‘zaro qo‘shma qilib 
tanlasak, 
Oz 
0<<3
 yo‘nalishini  o'zgartirmasak,  sirt  tenglamasi
2 
2 
2 
a x jx  + а2
2
У  + 

^a \x + 2 a 2JV + 2a3z  + a = 0 (15)
ko‘rinishga  keladi.
Endi bevosita teorema isbotiga kirishamiz.  Buning  uchun 
— =  -£  =  -  
Л 
ju 
v
to‘g‘ri chiziqqa parallel vatar o'rtasining koordinatalarini 
X , y , Z  
bilan 
belgilasak  ,  uning uchi  koordinatalari  mos  ravishda
x = x + 
у  = У + jut,z = z  + vt  va  x  = x - A t *
y   =   y - f l t , z = z - v t
  ( 1 6 >
ko‘rinishda bo'ladi. Vatar uchlari sirtga tegishli bo'lgani uchun, ularning 
koordinatalari (15) tenglamani qanoatlantiradi.  Ularni  (15) tenglamaga 
qo'ysak,
a n x   + a 22y   + a33z   + 2a lx  + 2 a2 y  + 2 a3z  + a  + 2t(Aau x  + p a n y  
+ va33z  + AaI  + fja2  + va3) + t 2(auA2  + а 22/л2 + a
33
v 2)=  
0

tenglikni hosil qilamiz.  Bu tenglikda 
t 
ning ishorasini o‘zgartirsak ham, 
u  o'rinli  bo'ladi.  Demak,  birinchi  darajali  had  koeffitsienti  nolga  teng 
bo‘ladi:
Л{ап x 
+  
a {)+ 
l i { a 22 y  +  «
2
) +   v( f i 33Z +  
a3) = 0  
(17)
Bundan  esa  vatar  o ‘rtasining  koordinatalari  (17)  tenglamani 
qanoatlantirishi  kelib  chiqadi.
l l - t a ’rif.  Parallel  vatarlaming  0 ‘rtalaridan  0 ‘tuvchi  tekislik  sirtning 
diametrial  tekisligi deb  ataladi.
Diametrial  tekislikning  tenglamasini  ixtiyoriy  dekart  koordinatalar 
sistemasida yozish uchun  (16)  ifodalami
F ( x , y , z ) =  0 
tenglamaga qo‘yib,

F(x, y , z ) ±  2 t(AFx (x, y, z) + juFy (x, y, z) + vFz {x, y,z)) + 
+ t  (ап Л  + a l2ju  +<333v  + 2 а п Л(1 + 2a23//v  + 2а31иЛ) = 0
tenglikni olamiz. Bu tenglik bajarilishi uchun t oldidagi koeffitsient nolga 
teng bo‘lishi kerak.  Demak,  diametrial  tekislik tenglamasini
ЛFx  + fjFy  + XFZ  = 0 
(18)
ko'rinishda  yozish  mumkin.  Ravshanki,  agar  ikkinchi  tartibli  sirt 
simmetriya  markaziga  ega  bo‘lsa,  har  qanday  diametrial  tekislik  bu 
markazdan  o‘tadi.
Demak,  ikkinchi  tatibli  sirt  markazi
Fx = 0,  Fy = 0,  Fz = 0 
(19)
tenglamalar sistemasi  yordamida  aniqlanadi.
Paraboloidning diametrial tekisligi uning o ‘qiga parallel bo'ladi.  Bu 
holda 
033
  =  
0
  bo‘lganligi  uchun  (18)  tenglamada  ^o'zgaruvchi 
qatnashmaydi.
Elliptik  va  giperbolik  silindrlar  uchun  ulaming  0 ‘qlaridagi  hamma

nuqtalar markaz  bo‘Igani  uchun  har  qanday  diametrial  tekislik  sirt  o ‘qi 
orqali o ‘tadi.
7-§.  Sirtning simmetriya tekisligi
12-ta’r if  Bizgacc  tekislik berilgan  bo‘lib,  sirtga  tegishli ixtiyoriy 
M  nuqta  uchun  
ham  sirtga  tegishli bo ‘Isa, cc  tekislik sirtning simmetrik  tekisligi deyiladi.
Diametrial  tekislik  tenglamasidan  foydalanib,  sirtning  simmetriya 
tekisligi  tenglamasini  keltirib  chiqaramiz.  Simmetriya  tekisligiga 
perpendikulyar yo‘nalishdagi o‘zaro parallel vatarlar o'rtalari simmetriya
tekisligiga tegishli boiganligi uchun  a = {£, m, n} vektorga peфendikulyar 
simmetriya tekisligi tenglamasi  (18)  ga ko‘ra
ko‘rinishda  bo‘ladi.  Simmetriya  tekisligiga  a = { l , m, n 
vektor 
perpendikulyar boiganligi  uchun
a n £ + an m + ann  _   a2xl  + a22m + a2in  _   an i  + an m + аъъп
proposionallik  o'rinli  boiadi.  Simmetriya  tekisligiga  perpendikulyar
yo'nalishni (
20
) tenglikdan aniqlash uchun (
21
) nisbatni  A: bilan belgilab, 
ekvivalent  sistemani  hosil  qilamiz
£FX + mFy + nFz  = 0
(20)
(
21
)
m
n
(aj j -  k)£ + a i2m + al3n = 
0
•  a2l£ + (a22 -  k) m + агъп = 
0 
a3l£ + a32m + {агг -  k)n = 
0
/,  m,   n   lar bir vaqtda  nolga teng boimaganligi  uchun

a n - k
a 2\
а Ъ\
a \2 
a 22  ~   k
a
32
а \Ъ
a 23
а ъъ- к
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikdan £   ni topib, 
(22) sistemaga qo‘yamiz
va undan 
{£, m, n)  yo‘nalishni topamiz.
Biz  sirtning  simmetriya  tekisligini  bilsak,  ikkinchi  tartibli  sirt 
tenglamasini  soddalashtirish  uchun  qulay,  ya’ni  kanonik  koordinatalar 
sistemasini topish  qiyin bo'lmaydi.
8
-§ .  Mustaqil ish  uchun topshiriqlar
1.  Koordinata  boshini  sirtning  simmetriya  markaziga  ko'chirish 
yordamida  quyidagi sirtlaming  tenglamasini  soddalashtiring.
1)  x 2  + 2y 2  + 2z 2  + 2xy -  2x -  4 y  -  4 z  = 0;
2)
  у 2
  +  
Эху 
+  
2y z  
+  
zx 
+
 3 x  +  
2 y  
=  
0;
3)
  x 2 
+  
2
y 2  — 
z 2 
+  
2x 
— 
2
у  +  
2
 
+  

=  0
2 
2 
2 

у  
z
2.  Ikkinchi tartibli sirt------
1
--------
1
------ =  
1
  tenglama bilan berilgan.
25 
16 
9
Bu  sirtning  M(2,  1,  -1)  nuqtadan  o ‘tuy>chi  va  bu  nuqtada  teng  ikkiga 
bo ‘linuvchi  vatarining tenglamasini yozing.
У
3. Ikkinchi tartibli sirt------ 1--------------- =  — 1  tenglama bilan berilgan.

1
4
Bu sirtga  ( - 6;  2;  6)   nuqtada  urinuvchi tekislik  tenglamasini yozing.
2
 
2
 
2 

у  
Z
 
1
4.  Ellipsoid  —  +  —  +  —  =  1  tenglama bilan berilgan.  Uning (-2;


1

1;  - 1/ 2)   nuqtadagi  normal tenglamasini yozing.
5.  Ikkinchi tartibli sirt
2 x 2  +  5y 2  +  
8
z 2  +  Y ly z  +  6z x  +  2 x y  + 
8
x  + 1 4 у  + 18z  -  0
- 5 
у  
z
+ 1
tenglama bilan berilgan.  Bu sirtning  1) —~— -  ~  -  — ~   to ‘g ‘richiziqqa;
2) O x   o'qiga;  3)Oy  o'qiga;  4 )0 z  o ‘qiga  parallel  vatarlarga  qo‘shma 
diametrial tekisligi  tenglamasini yozing.
6. x   +  
3
z   — 
6
x y  +  
8
x  +  
5
 =  
0
  tenglama  bilan  berilgan  ikkinchi
x + 3  
у  
- 1
tartibli  sirtning  —^— = — = - ■ -  ■
  to ‘g ‘ri  chiziqdan  о ‘tuvchi  diametrial 
tekisligi  tenglamasini yozing.
7. Ikinchi tartibli sirtning bitta  A /(2,0,-l) nuqtasi, markazi C (0,0,-l) 
va 
Oxy 
tekislik bilan  kesimi
x 2  -  4 x y  
- 1
 =  
 
\ z  = 0
та ’lum  bo ‘Isa,  uning  tenglamasini  tuzing.
S. 
Ikkinchi  tartibli sirtning berilgan  tekislik  bilan  kesishishidan  hosil 
bo ‘Igan  chiziqni  tekshiring
„ 2  
, . 2

2 
2 
х  
у
9. —— — —— = z   paraboloidningdx + 2 У — 4 z  = 0  tekislikka 
16 
4
parallel bo'lgan  to ‘g ‘ri chiziqli yasovchilarini  toping.

2 
2 
X  
у  
z
10. Berilgan  M ( 6 ,
2,8) 
nuqtadano‘tuvchi va 
+  — —  y^- =  1 
sirtda yotuvchi  to‘g ‘ri chiziqlami  toping.

VI  BOB
CHIZIQLI  УА AFFIN  FAZOLAR
l-§ .  Chiziqli fazolar
Birorta  bo‘sh  bo‘lmagan  V  t  o ‘plam  berilgan  bo‘lsin.  Biz  V 
to‘plamning  elementlari  nimadan  iborat  ekanligi  haqida  ma’lumot 
bermagan  holda,  unda  quyidagi  ikkita  amal  kiritilgan  bo'lishini  talab 
qilamiz.
Birinchi  amal: 
bu  to'plamga  tegishli  har  qanday  ikkita  elementga 
berilgan  qoidaga  ko‘ra  bu  to'plamning  bitta  elementi  mos  qo'yilgan;
Biz  shartli  ravishda  V to‘plamning  a , b   elementlariga  mos  qo'yilgan
elementni  a + b  ko‘rinishda yozamiz.
Ikkinchi  amal: 
berilgan  haqiqiy  son  va  V  to'plamning  berilgan 
elementiga  V  to4plamning  bitta  elementi  mos  qo'yilgan.  Biz  shartli
ravishda  V to'plamning a elementiga va X  haqiqiy songa mos qo‘yilgan
to'plamning  elementini A a  ko‘rinishda yozamiz.
1-misol. 
Haqiqiy  sonlar  to‘plamida  aniqlangan  barcha  haqiqiy 
qiymatli funksiyalar to‘plamini  V  bilan belgilab, unda yuqoridagi ikkita
amalni  kiritaylik.  Berilgan  ikkita  f v a g   funksiyalar  uchun 
f  +   g ,  A f   funksiyalarni  quyidagi  qoidalar bilan  kiritamiz:
( f  + g \ x ) =  f ( x ) +  g{x)
( A f \ x )  =  A f { x )
Bu  tengliklarning  o‘ng  tomonida  mos  ravishda  funksiyalarning 
qiymatlari  q o‘shilgan  va  funksiyaning  qiymati  haqiqiy  songa 
ko‘paytirilgan.
Biz  birinchi  bobda  vektoming  tor  ma’nodagi  geometrik  ta’rifmi 
kiritgan  edik.  Matematikada  vektor  tushunchasi  biz  keltiigan  ta’rifga 
nisbatan juda keng. Vektoming keng ma’nodagi ta’rifmi keltirish uchun 
biz  awalo  chiziqli  fazo  tushunchasini  kiritishimiz  kerak.
1-ta’r if Berilgan  V   to ‘plamdagi yuqorida kiritilgan ikkita amal uchun

1)   Ixtiyoriy  a , b , c   elementlar  uchun  a  +  (b  +  с  )  =  ( a  +  b )  +  c  
tenglik,
2)  Ixtiyoriy  a , b  elementlar uchun  a  +  b  — b  +   a   tenglik,
3) Y   to ‘plamga  tegishli  shunday  о  element  mavjudki  har qanday  a
element  uchun 
a + 
О 
= a 
tenglik,
4)  Har  bir  a  element  uchun  shunday  —a  element  mavjudki 
a  +  ( - a )  =  o  tenglik,  .
5) Har qanday  Я , / /   haqiqiy sonlar uchun  va  va  har bir a   element 
uchun 
(Я +  
ju)a
 =  
Ла + fja 
tenglik,
6)  Har qanday  Я , JU haqiqiy sonlar uchun va har bir a  element uchun 
( l j u ) a   =   X { jia )   tenglik,
7)  H ar  qanday Д  haqiqiy  son  va  ixtiyoriy a, b  elementlar 
uchun X(a + b) =  Aa +  ЛЬ tenglik,
8)   Har  bir a   element  uchun  1 -a  = a  tengliklar  o ‘rinli  b o ‘Isa,
V   to ‘plam  chiziqli fazo,  uning  elementlari  esa  vektorlar  deb  ataladi. 
Uchinchi aksiomada mavjudligi ta’kidlangan  о  element chiziqli fazoning 
nol  elementi yoki nol’  vektor deyiladi.
Yuqoridagi misolda ko‘rish mumkinki, keng ma’noda funksiya ham 
vektor bo‘ladi. Albatta bir to‘g‘ri  chiziqda yotgan vektorlar (yo'nalishga 
ega bo‘lgan kesmalar), bir tekislikda yoki fazoda yotgan vektorlar chiziqli 

Download 3.6 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling