A. Y. N a r m a n o V analitik geometriya


-§.Vektorlarning o ‘qqa  proeksiyasi


Download 3.6 Mb.
Pdf ko'rish
bet2/13
Sana21.03.2020
Hajmi3.6 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

3-§.Vektorlarning o ‘qqa  proeksiyasi
V ektom ing o ‘qqa proeksiyasi vektom ing yo'nalishiga qarab  m usbat,
m anfiy  yoki  nolga  ten g   b o 'lg a n   son  b o 'lib , 
a
  vektom ing 
£
  o ‘q qa 
p r o e k s iy a s i  q u y id a g i  q o id a   b o 'y i c h a  
aniqlanadi:  (7-chizm a)
A g a r 
a = A B
 
b o 'l s a ,  
A
 
v a 
В 
n u q t a l a r n i n g  
£
 
o 'q d a g i   o r t o g o n a l
proeksiyalarini  m os  ravishda 
A',  B'
 
bilan
belgilaymiz. 
A'B'
 
kesm aning 
£
  o'qdagi
k a t t a l i g i  
a
 
v e k t o m i n g  
£
  o 'q d a g i  
proeksiyasi  deb  ataladi.  Proeksiya  uchun
p r ( a
a
cos (p

tenglik  o'rinli  b o 'lib ,  bu  yerda  ^ -b e rilg a n  
a
 
vektor va,^  o ‘q  orasidagi 
burchakdir.
Proeksiyaning  xossalari:
1 .  
рг,Л а  = Aprf  a  ,  X  e   R ]
2.  prf {a + b)= pr, a
 +  
pr, b
Isbot.  1.  Birinchi 
pr.Xa
 =  
Apr,  a
  tenglikni isbotlash uchun quyidagi 
hollarni  qaraymiz:
a) 
X =
  0  b o ‘lsa 
A a
  =   0   tenglik  o ‘rinli  b o'ladi  va  natijada 
A '  = B '  
m unosabatdan
pr 
_ A a
  =   0   va  pr  ( 
A a
  =  
А
рг
 /?a—0 
tengliklar  kelib  chiqadi.
b) A >  0
  bo'Isa, 
a
  T T  
b
  m unosabatdan 

 tenglik kelib chiqadi; 
bu 
(p
  yerda  va 
у/
  m os  ravishda 
a
  va/?  vektorlarning  /   o 'q   bilan
h o sil  q ilg a n   b u r c h a k l a r i d ir .  Bu  h o ld a
Aa
=  
A a
va  d e m a k
pr, \Xa
X a c o s y 7  =  /.pr, a
.
в) 
A
 <0  bo'Isa, 
A  a   va  a
  vektorlar  uchun 
a  
b
  m unosabat 
o 'r in li  b o 'la d i.  S h u n in g   u c h u n  
Ц/
  =  
(p
 +  
71
  te n g lik d a n   quyidagi 
m unosabat  kelib  chiqadi:
pr, {Xa)=  Xa\
c o s
{
 + n ) = - X  a 
c o s
(
 + тг) = Apr,, a .
2. 
pr, [а + Ь^= pr, a
 +  
pr, b
  tenglikni isbotlashni keyinroqqa qoldirib, 
skalyar  ko'p ay tm an i  o'rganishga  o 'tam iz.

4 -§ .  Vektorlaming  skalyar ko‘paytmasi
I k k i t a  
a
 
va 
b
 
v e k t o r l a m i n g   s k a ly a r   k o 'p a y t m a s i   d e b
( а ,б ) =  |а  
b coscp
  ifodaga  aytiladi.  Bu  yerda 
( p - а
  va 
b
  vektorlar
orasidagi  burchak.
Skalyar k o ‘paytm aning t a ’rifidan bevosita quyidagi fakt kelib chiqadi:
1 -xossa.  Ikkita  vektorning  skalyar  ko'paytm asi  nolga  teng  b o ‘lishi 
u chun  ularning  o 'z a ro   perpendikulyar  bo ‘lishi  zarur  va  etarlidir.
(a,b)= 0 0 ( p  = ^ ,   a l b
2 -xossa.
3 -xo ssa.  K om m utativlik 
( a   ,
  й ) =  
{b  , a j -
4 -xo ssa. 
[ X a
  , 
b ) =   A.(a  , b ) ,
  X -g R
5-xo ssa. 
(a 
+  
b ,c)=  (a,
 
c ) +   (b , 
c )
Beshinchi xossa isboti proeksiyaning ikkinchi xossasidan kelib chiqadi:
{a  +  b , c j = \ a
  +  
 
p r / a-\c\ + p rt b -\c  =  с
\ -
c  о  s 
(p
  = 
p r.• \a  + b ) c   =  pi){a + b
)
cos 
Ct
 +
c\
 c o s  
q>.
5 -§ .  Bazis  va  vektorning koordinatalari
T a ’rif.  Berilgan  |  
e
\ , в 2
e n
 }  vektorlar oilasi chiziqli erkli bo'lib,
ixtiyoriy vektorni  ularning chiziqli  kom binatsiyasi  k o ‘rinishida  ifodalash 
m um kin  b o ‘lsa,  bu  oila  bazis  deyiladi.
Quyidagi  m uhim   faktlar  o ‘rinlidir:

1-xossa.  Bir tekislikda yotuvchi 
vectorlar  uchun  h a r  qanday  ikkita 
nokollinear vektorlar bazisni tashkil 
qiladi.
2 - x o s s a .   F a z o d a   y o tu v c h i 
vectorlar  uchun  h ar  qanday  uchta 
n o k o m p ln a r   v e k t o r l a r   b a z is n i 
tashkil  qiladi.
Bu  xossalarning  birinchisi  1- 
teorem aning  bevosita  natijasidir. 
Ikkinchi  xossani  isbotlaymiz: 
B izg a  u c h t a   n o k o m p l a n a r
a , b , C
  vektorlar  berilgan  bo'lsin.
I k k in c h i  p u n k t d a   i s b o tla g a n  
teorem aga  k o ‘ra  ular  chiziqli  erkli 
oilani  tashkil  qiladi.  Endi  ixtiyoriy
d
  v e k to rn i  olib ,  uni 
a , b , C
  v e k to rla r  o rq ali  ch iziq li  ifo d alash  
mumkinligini ko'rsatam iz.  Buning uchun 
a , b , C
  vektorlaming boshlarini
О 
nuqtaga  joylashtiram iz  va 
d
  vektom ing  oxiridan 
a , b
  vektorlar 
tekisligiga, 
a, с
  vektorlar tekisligiga  va 
C,b
  vektorlar tekisligiga  paral­
lel  tekisliklar  o'tkazam iz.  0 ‘tkazilgan  tekisliklarning 
a , b , C
  vektorlar 
yotgan  to ‘g ‘ri  chiziqlar  bilan  kesishish  nuqtalarini  m os  ravishda 
A,B,C 
harflar  bilan  belgilaym iz.V ektorlarni  q o ‘shish  qoidasiga  ko ‘ra
d  = OA + OB + OC
tenglikni  olam iz.  Bu  yerda 
OA,  OB,  OC
  v ek to rla r  m os  ravishda
a , b , C
  vektorlarga  kollinear  b o ‘lganligi  uchun  shunday 
X, ju, v
  sonlar 
mavjudki
OA
  =  
Ла
 > 
OB
  =  
jLib,  OC
  =  
vc

tengliklar  o ‘rinli  bo'lad i.  Bu  tengliklarni  hisobga  olib
d  = Ла + jub + v c
tenglikni  olam iz.
Ta’r i f
  Bizga  j
e \ , e
2
, — , e n \
  bazis  berilib, д   vektor  uchun
a
  =   «j 
e x  + a 2e2  + ... + a nen
tenglik o ‘rinli b o ‘lsa, 
[ax, a 2, . . . , a n \
 
sonlar 
a
 
vektom ing ko ordina­
talari  deyiladi.
6 -xossa.  H ar bir vektor berilgan bazisda o'zining koordinatalari bilan 
yagona  ravishda  aniqlanadi.
Berilgan 
a
 
vektor  uchun  ikkita
a
 =  
a le ]  + a 2e 2  + . . .  + a ne n
a  =  b l e l  + b 2 e 2  + . . .  + b n e n 
tengliklar  o'rinli  b o ‘lsa  ularning  birini  ikkinchisidan  h adm a-h ad  ayirib
(a t  - b l)e] + ( a 2 - b 2)e2 + . . .  + (a n - bn)e„  = о
tenglikni hosil qilam iz.  Bazisni tashkil qiluvchi 
jvek torlar
chiziqli  erkli  boMganligi  uchun
a, 
- bj  =
 0 , 
a 2 - b2
  =  0 , 
an - bn
  =  0 
m unosabat  hosil  b o ‘ladi.
6 -§ .  Affin  koordinatalar  sistemasi
F azoda yoki  tekislikda  affin  koord in atalar sistem asini  kiritish  u chu n 
birorta  bazis  va  bitta  n u qta  tan lan ad i.  Agar 
{ e v e2, e , }
  bazis  va 
О
n u q ta   b e r ilg a n   b o 'l s a , 
O M
 
v e k to m i n g   j e , , e 2, e , }   b a z is d a g i 
koordinatalari 
M
 
nuqtaning  affin  koordinatalari  deyiladi.
NAMANGAN DAVLAY  ]7
UNIVERSITETI
AhboroS-rssurs  markazi

1 - ta ’rif. 
Berilgan 
,
 e 2 ,.... 
, e n
 }
С
bazis  uchun
к
bajarilsa, 
, . . . , e n j   ~ortonor­
mal bazis  deyiladi.
— ortonor-
9-chizma.
2 - t a ’r if .  
Ort onormal   bazis 
yordam ida  berilgan  koordinatalar
sistemasi to ‘g ‘ri burchakli yoki dekart
____________________________ _ 
koordinatalar sistemasi  deb  ataladi.
Teorema

Dekart  koordinatalar 
sistem asida  v e kto m in g   berilgan  bazisdagi  koordinatalari,  uning 
koordinatalar о ‘qlariga  tushirilgan proeksiyalari  bilan  ustma-ust  tushadi.
Isbot.  Bizga 
i , J , k
  orto n o rm al  bazis  berilgan  b o ‘lsa,  ularnin g
boshlarini 
О
 
nuqtaga  joylashtirib 
OXYZ
 
k o o rd in talar  sistem asini 
kiritaylik.  Agar
a   = x i  + у  j
 +  
z k
  b o ‘lsa, 
a
  v e k to m in g   b o sh in i  k o o rd in a ta
boshiga  joylashtirib,  uning  oxirini 
M
 
bilan  belgilaym iz.  Agar 
 
nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal  proeksiyalarini 
А, В, С
 
harflari
bilan  belgilasak 
O A  = x i ,  O B
 =  
y j

О С  = z k
  tengliklarni  hosil 
qilamiz.  Ikkinchi  tom o ndan 
O A ,   O B ,   О С
  kesm alarning  kattaliklari 
m os  ravishda 
X , y , Z
  sonlarig a  teng   b o ‘lgani  u ch u n  
x  = pr( h a , 
У
 =  
P roy  Cl 
-  p ra.  a
  m unosabatlarni  hosil  qilamiz.
1-natija.  p r  i  [ a +  V )  - p r  j a  + р Г [ Ъ
Isbot.  Bizga 
f,
 o ‘q  berilgan  bo'lsin:  shunday 
OXYZ
  koordinatalar

sistemasi  kiritamizki, 
OX
 koordinata o ‘qi 
£
  bilan  ustm a-ust tushsin.  Agar 
a   =   x a i +  y a j  +  z a k ,  b  =  x b i +   y b j  +  z b k ,
a
 +   =  ( х а + ь У  
( у  a + b
 
1 /  +  (z a + b
bo ‘lsa,  teorem aga  k o ‘ra 
prla = 
Xa
 
va 
prt = x h,  p rl [a 

~b)= x u+h 
tengliklami hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo'shganda ularning koordinatalari 
mos  ravishda q o ‘shilgani  uchun p r ; 
(a + b j=  x a
 +  
x h
  munosabatni  olamiz.
7 -§ .  Vektor  va  aralash  ko‘paytmalar
1 -ta ’rif.  Tartiblangan
  j a ,  6 , c j  
u chlikdac  vektor  oxiridan  a ,b
vektorlar  tekisligiga  qaraganimizda a   dan b   ga  qisqa  burilish  yo ‘nalishi 
soat  mili  yo'nalishiga  qarama-qarshi  y o ‘nalgan  b o ‘Isa,  bu  uchlik  o ‘ng 
uchlik deb  ataladi.  Agar bu yo ‘nalish  soat mili yo ‘nalishi bilan  ustma-ust
tushsa,
  {
a , b , c )   uchlik chap  uchlik  deyiladi.
Quyida 
[ a , b , c ]
  o ‘ng  va 
\ b , a , c \
  chap  uchliklar  ko‘rsati!gan. 
S h u n d a  
{ a , b , c }   [ b , c , a ]   [ c , a , b ]
  u c h l i k l a r   o ‘n g ,  |
b , a , c ] ,  

a , c , b ] ,
  {
c ,b ,a \
  uchliklar  chap  uchlik  hosil  qiladi.

2 -ta ’rif.
  Ikkita a   va 
Jj
  vektorlarning vektor ko‘paytm asi deb shunday 
vektorga  aytiladiki,  bu  vektor 
kabi  belgilanadi  va:
1) 
[ a ,b \
  ning uzunligi 
a
  va 
b
  vektorlarga qurilgan parallelogram m
yuziga  tengdir:  | 
\a ,b \  \
  =   | 
a
  |  | 
b
  | sin 
q),  ( p ^ a ^ b ;
2) 
\ a , b \
  vektor 
a
  va 
b
  vektorlarga  perpendikulyar bo'Iishi  kerak:
\ a , b \ l a ^
 
[ a ,6 j ± 6 ;
3
)  a ,  b
  vektorlar  va  vektor  k o 'p a y tm a 
\ a , b \
  o ‘ng  uchlik  hosil 
qiladi:
V ektor ko'paytm aning  xossalari:
1)  [ a , ^ J = = -   [ b ,o J ;
2 )   [ А я , & ]   =   А [ я , & ] = - [ л & , й г ] ,  
A e R ;
3) 
\a
 

b , c \ =
 
[a ,c j+  
\ p , c \
4)  [ я , б ] = 0   <=^> 
a l l b .
l-tasdiq.
  (Y ordam chi  fakt).  Berilgan 
OL
  tekislikda  С. vektor va unga
perpendikulyar  birlik 
e
  vektor  berilgan  b o ‘lsin.  A g a r g   vektor 
a
tekislikka 
perpendikulyar
v & e , C , g
  o ‘ng  u c h lik  
b o ‘ls a , 
a
  t e k i s l ik d a
yotuvchi  h a r  qanday 
 
v e k t o r  
u c h u n
[a,c\=  pr_a- с g  
tenglik  o'rinlidir.

Isbot. 
l)V ektorlar tengligini  k o 'rsa tish   u ch u n   ularning  yo'nalishlari 
bir xil va uzunliklari tengligini ko'rsatam iz. V ektor ko‘paytm aning ta ’rifiga
k o ‘ra  uninig  uzunligi  a   va  с   vektorlarga qurilgan  parallelogram m ning
yuziga  tengdir:  | 
\a ,c\
  | 
= S -
  C h ap   tom ondagi  vektom ing  uzunligi  esa

prca
  | 
С
 
ga  ten g d ir.  A gar  p a ra lle lo g ra m m n in g   asosi  sifatid a 
с
vektorni  olsak,  uning  yuzasi  |cj 
h
 ga  tengdir.  Bu  yerda 
h
  balandlik
b o ‘lib,  | 
pr-a  \= h
 
tenglik  o 'rin lid ir.  D em ak,  vektorlam ing  uzunligi 
tengdir.  E ndi  ularning  y o ‘nalishi  bir  xil  ekanligini  ko ‘rsatam iz.  A gar
Cl ,C, g
 - o ‘ng uchlik b o ‘lsa, 
g
  va | a , c j   vektorlar b ir xil yo ‘nali£hga ega. 
Bu  holda 
a
  va 
e
  vektorlar 
с
  vektom ing   b ir to m o n id a joylashgan  va 
prea>
 
0  b o ‘la d i.  A g a r 
a , c , g
 
-c h a p   u c h lik   b o ‘lsa, 
prea 
<
 0  va
p r eu
РГеа
N atijada
g
  vektor 
g
  vektorga  qaram a-qarshi  y o ‘nalgandir.  D em ak, 
c | 
g
  vektor yo‘nalishi 
\ a , c \
 vektor yo‘nalishi bilan bir xil b o ‘ladi. 
[a,c]= 
pr.a-
g
 
tenglikni  hosil  qildik.
3 - ta ’r i f   Uchta  a , b , C   vektorlam ing  aralash  ко ‘paytm asi  deb, 
miqdorga  aytilad i  va  quyidagi  к о ‘rinishda  belgilanadi:
a b c  =   ^ a , b \ c \
2-tasdiq.  Berilgan  nokomplanar (chiziqli e r k li)a ,b ,C   vektorlar o ‘ng
uchlikni  tashkil  qilsa,  ularning  aralash  к о ‘paytmasi  ularga  qurilgan 
parallelipipedning  hajmiga,  aks  holda  esa  hajmning  manfiy  ishora  bilan 
olinganiga  tengdir.

Isbot:  Biz 
a , b , C
  vektorlarga  qurilgan  parallelipipedning  hajm ini 
V
  b ila n   b elg ilaym iz.  A gar 
S
  b ilan  a   va 
b
  v ek to rla rg a  q u rilg an  
parallelogrammning yuzasini belgilasak, 
\a, b\
 =  
S e
  tenglik o ‘rinli bo'ladi.
Bu  yerda 
e
  vektor  ja ,b ]   k o 'p a y tm a   bilan  b ir  xil  y o ‘nalgan  birlik 
v e k to rd ir.  S k a ly a r  k o ‘p a y tm a n i  p ro e k s iy a   y o rd a m id a   y o z s a k ,
a b c - S
p r-c
  tenglikni  hosil  qilamiz.
Bu yerda 
p r - c
  absolyut qiymati bo'yicha 
vektorlarga qurilgan
va  asosi 
a

b
  v e k to rla rg a   y asalg an   p a ra lle lo g ra m m d a n   ib o ra t 
parallelipipedning balandligiga tengdir. Agar 
a , b , C
  o ‘ng uchlikni tashkil
qilsa, 
p r - c  = h ,
  agar 
a ,b ,C
  chap  uchlikni  tashkil  qilsa, 
pr- с = - h  
tenglik  o 'rin li  b o 'la d i.  Bu  y erda 
h
  qaralayotgan  p arallelip ipedn ing
balandligidir.  S hunin g u ch u n  
v ( a , b , c j =  S h
  form ulani hisobgaolsak
biz  bevosita  tasdiq  isbotini  olam iz.
Endi  biz  vektor k o ‘paytm a  xossalarini  isbotlashga  kirishamiz.

1-xossa  isboti  a , 6 ,[ o ,b J   va  «,& ,[& ,a ]   uchliklarning orientatsiyalari 
h a r  xil  ekanligidan  kelib  chiqadi:  birinchi  uchlik  o ‘ng  orientatsiyaga, 
ikkinchi  uchlik  chap  orientatsiyaga  egadir.
2 -xossan i  isbotlash  u ch u n   ikkita  holni  k o ‘ram iz  Д   >  0  
va 
A <
 
0  •
Birinchi h olda 
a
 
va 
Aa
 
vektorlar b ir xil y o ‘nalishga ega va shuning 
u ch u n  
a,b\Xa,b\va a,b,[a,b\
 
vektorlar  b ir  hil  orientatsiyaga  ega.
D em ak,  [ 
Aa , b
 j va 
я [  a, b
 j vektorlar uzunliklari teng va b ir xil yo‘nalishga 
ega.
Ikkinchi  holda 
a
 
va 
A a
 
vektorlar  yo'nalishlari  qaram a-qarshi  va
a,b\Xa,b\vaa,b,[a,b\
 
vektorlar  uchliklari  h a r  xil  orientatsiyaga  ega
bo'ladi.B undan esa 
[ Л а , ь \
  va 
\ a , b \
 vektorlar qaram a qarshi yo'nalishga
ega  ekanligi  kelib  chiqadi.  D em ak,  [ Я а .б ]   va 
vektorlar  b ir  xil
y o'nalishga  ega  va  uzunliklari  tengdir.
3 -x o ssa  isbotini  keltiram iz.
a) 
a , b ,
 
va 
~
c
 
k o m p l a n a r
v e k to rla r, 
e , c , g   ~
  o ‘ng  u c h lik
b o ‘lib , 
e , g
  v e k t o r l a r   1- t a s d i q  
shartlarini qanoatlantiruvchi vektorlar 
b o ‘lsa,  ik k ita  v e k to r  k o 'p a y tm a n i 
quyidagi k o ‘rinishda yozish m um kin:
[ a , c ] = p r - a c \ g
 
va
[ b , c   ] = p r -   b c \ g   ■
14-chizma.
E ndi  proeksiya  xossasidan  foydalanib,
[ a
 + 
b ,с
  ] =  
pr-e
  (
a + b )  
g
 =  
p r   a
 |c| 
g
  + 
pr~  b

tenglikni  hosil  qilamiz.
b) 
a, b,
  va  с  kom planar vektorlar  emas;
Bu  h o ld a  
[ a  + b , c \ , [ a , c ] [ b , c \
  v e k to rla m in g   b a r c h a s i c
vektorga perpendikulyar bo'lganligi  u ch u n  u lar kom planar oilani tashkil 
etadi.  D em ak,  ular  chiziqli  bog'lanishli  b o 'lad i,  ya’ni  kam ida  bittasi
noldan  farqli 
X
,, 
X 2, X
}
 sonlari  mavjud  b o ‘lib
A , [ a  + b , c
  ] 
+ X 2[ a , c
 

+ X \ b , c
 

= 0
tenglik  o ‘rinli  bo'ladi.B u  tenglikdan
X   \ a  + b ,c
  ] = - Я 2[ а , с   ] - Я 3[ й , с  
J
tenglikni  hosil  qilib,  uning  ikkala to m o n in i 
b
  ga  skalyar k o ‘paytiram iz 
va
X,(a + b)c b = -X} acb
tenglikni  hosil  qilam iz.  Yuqoridagi  aralash k o 'p ay tm a haqidagi tasdiqqa 
k o ‘ra
{a
 +  
b) с  b
  va 
a c b
aralash  ko'pay tm alarning  absolyut  qiym atlari  m os  ravishda 
V(a+b)cb
 >
V(JCi)
  parallelipiped  hajm lariga  tengdir.
Bu  p arallelipipedlarning  asoslari  sifatida  m os  ravishda 
a  + b ’ b
va 
a ,b ,
  v e k to rla rg a   q u rilg a n   p a ra lle lo g ra m m la rn i  o lsak ,  u la m in g
b a la n d lig i  te n g lig in i  k o 'r a m iz .  S h u n in g   u c h u n  
Vacb
  =  
S \ h
  va
V{a+b)cb  ~   $ 2 h
  te n g lik la rd a n   va  u larn in g   aso slari  yu zalari  h am  
tengligidan  bu  hajm lam ing  tengligi  kelib  chiqadi.
Endi 
(a  + b) с b
  va 
a c b
  aralash  k o ‘paytm alar b ir  xil  ishoralarga

ega b o ‘lishi, 
a  + b, c, b
  uchlik orientatsiyasi 
a  , c, b
  uchlik orientatsiyasi 
bilan ustm a-ust tushishidan kelib chiqadi.  D em ak, 
( a + b ) c b  
a   c b -  
B undan  esa 
Л{  = —Л
7  m un o so b atn i  hosil  qilam iz.  X uddi shunday usul 
bilan 
\
  =  —Я 3  tenglikni  isbotlaym iz.
tenglik  o ‘rinlidir.
4 -xossaning isboti 
a
  va 
b
  vektorlar parallel b o 'lg an d a u lar orasidagi 
burchakning  sinusi  nolga  tengligidan  kelib  chiqadi.
8 -§ .  Vektor  va  aralash  k o‘paytmani  koordinatalar  orqali 
ifodalash
O 'n g   uchlikni  tashkil  qiluvchi  o rto n o rm al  £ ,  
e
2
~e :-
  bazis berilgan 
b o ‘lsa, 
a, b,
  va  с  vektorlarni
k o ‘rinishda yozib, skalyar, vektor v a aralash k o ‘p ay tm alam i hisoblaym iz. 
Skalyar  k o 'p ay tm a  u ch u n
(
a J
) ) =  
a xb{ + a 2b2 
+  
а ф ъ
 
tenglik  hosil  bo'ladi.
V ektor  ko ‘paytm ani  hisoblashda
D em ak,
а  =  а хе х + а 2 е 2  +  а ъ еъ ,
b = bxe }  + b 2e 2  + Ъъеъ ;
с
  =  
c lel
  +  
c2e2  + c3e 3

[ei ’e2 ] ~ es  > 
е 2  \ е 2 , е 2 \ =  е {
m unosabatlarni  hisobga  olib
\ci,b
 J = ( o 263  - с г 36 2)е, 
+ {аъЬх  - а хЬг ) ег  + ( a xb2  - а 2Ьх)ег
tenglikni  hosil  qilamiz.
Qulaylik  uchu n  vektor  ko ‘paytm ani  koordinatalari  orqali
f -   r -1 
J
a 2
  a-,
a 3  a ,
a , 
a 2
a , b
  J =   j
h2 h h ъ,
bx  b2
ko‘rinishda  yozish  qabul  qilingan.
Bundan  foydalanib  aralash  k o 'paytm a  uch un
a b   c -
a x  ci2
  a 3 
bl  b 2  Ьг
с, 
C-,  C-,
form ulani  hosil  qilamiz.


Download 3.6 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling