A. Y. N a r m a n o V analitik geometriya


Download 3.6 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/13
Sana21.03.2020
Hajmi3.6 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

 
( 5 )
k o'rinishda yoza  olam iz.  T o ‘g ‘ri  chiziqlar orasidagi  burchakni  hisoblash 
form ulalarini  keltirib  chiqaram iz.  Agar 
L\
  va  / , ?   to ‘g ‘ri  chiziqlar
A xx
 +  
B \ у
  +   C j  =  0   va 
A'yX
  +  
В
2
У
  ~b 
C
2
  ~
  0  
ten g lam alar  bilan   b erilgan  bo 'Isa,  u lar  orasidagi  b u rch ak   u larning
Щ
  = { 4 , ^ } ,  
П2  = {A
2
, B 2
 }  normal vektorlari orasidagi burcliakka 
tengdir.  V ektorlar  orasidagi  burchak  bizga  m a’lum   bo'lgan
Ал An
  4" 
B')
COS 
( p -
 



A f   +  B ?   -\JA2  + B \
 
(6)
form ula bilan hisoblanadi.  Agar  Z j  va Zo  to 'g 'ri  chiziqlar m os  ravishda
x - j c ,   _  
y - y x 
x - x 2 
y - y 2
£ x 
m x
 
va 
l 2 
m 2
 
^
tenglam alar bilan berilgan  bo'Isa,  bu  to 'g 'ri  chiziqlar orasidagi  burchak,
u la rn in g   y o 'n a ltiru v c h i 
ax ={(tx, mx}
  va 
a2 = { l 2, m 2}
  v e k to rla ri
orasidagi  burchakka  tengdir.  Bu  holda  ham   to 'g 'ri  chiziqlar  orasidagi 
burchak  skalyar  ko 'paytm a  yordam ida
co s 
cp -
-------- — ------ ----------
f o rm u la   b ila n   h is o b la n a d i.  T o 'g 'r i   c h iz iq la r n in g   p a ra lle l  yoki 
perpendikulyar  bo'lishi  m os  ravishda  ularning  norm al  vektorlari  (agar 
u la r  (5)  te n g la m a la r   b ila n   b e rilg a n   b o 'Is a )  yoki  y o 'n a ltiru v c h i 
vektorlarning  (agar  ular  (7)  tenglam alar  bilan  berilgan  bo'Isa)  parallel 
yoki  perpendikulyar bo'lishiga  ekvivalentdir.  Shuning  uchun
4 -  =  ^ -   va 
A iA i
  +  
B ,B 2
  = 0  
A 2 
B 2
tengliklar to 'g 'ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlaridir. 
40

Mustaqil ish
  — 
1.
  Agar to ‘g ‘ri chiziqlar (7) ten g lam alar bilan berilgan 
b o ‘lsa,  ularning  parallel  yoki  perpendikulyar b o ‘lishi  shartlarini  yozing.
T o ‘g ‘ri  chiziqlar  m os  ravishda
у
 =  
k xX  +  b Y
  va 
у  -  к 2х
 +  
b 2
 
(9)
tenglam alar bilan berilgan b o is a ,  ularning absissa o ‘qi bilan  hosil  qilgan 
burchaklarini 
OL\
 va 
Ot2
  bilan   belgilasak,  t o ‘g ‘ri  c h iz iq la r  orasidagi 
burchak 
(p
  uchun
( p - a
2 -a , 
tenglik  o ‘rinli  b o ia d i.  Bu  tenglikdan
i  
\  
t g
a 2
  ~  *ga \ 
h   ~  k \
tg (p
 =  
t g { a 2  - a {) =  - f - f — f - L  =

+  t g a lt g a 2
 
1  +  
к 1к 2
(
10
)
form ula  orqali
k 2 ~ k \
tg (p

+  
к хк 2 
m unosabatni  hosil  qilamiz.
Mustaqil ish-2.
 T o ‘g‘ri chiziqlar (9) tenglam alar bilan berilgan b o isa , 
ular  uchun  paralellik  va  perpendikulyarlik  shartlarini  yozing.
3 -§ .  Nuqtadan  to ‘g ‘ri  chiziqqacha  bo‘Igan  masofa
Bizga 
£
  to ‘g‘ri  chiziq berilgan  b o is a ,  koordinata  boshidan  o lu v c h i 
va 
I
  to ‘g ‘ri  chiziqqa  peф en d ik u ly ar to ‘g‘ri  chiziqni 
L
  bilan,  ularning
kesishish  nuqtasini 
M
q
  bilan  belgilaym iz.  Agar 
n
  bilan 
L
  to ‘g ‘ri 
chiziqning  birlik  yo‘naltiruvchi  vektorini  belgilasak,  и
« = {cos 
6
^, sin
ko‘rinishga  ega  b o ia d i.

u c h u n  
O M
 
v e k to m in g  
L
 
t o ‘g ‘ri  c h iz iq q a   p ro e k siy a si 
О М
 л
vektom ing  uzunligiga  ten g   b o ‘lishi  zarur  va  yetarlidir.  Agar 
O M

vektom ing  uzunligini 
p
  bilan  belgilasak,
p r - O M  =p
tenglikni  hosil  qilam iz.  Proeksiyani  skalyar  k o ‘paytm a  orqali  ifodalash 
natijasida  biz
xcosO
 +  
y s m d  -  p  =
 0
ten g lam an i  hosil  q ilam iz.  Bu  ten g lam a  t o ‘g ‘ri  ch iziq n in g   n o rm al 
tenglam asi  deyiladi.
Agar 
M ( x , y )
 
nuqta  tekislikning ixtiyoriy nuqtasi  b o ‘lsa, 
N q
  bilan 
M ( x , y )
 
nu q tan in g  
L
 
to ‘g ‘ri  chiziqdagi  proeksiyasini  belgilasak,
M
q
N
q  kesm a kattaligi u c h u n  quyidagi 
M
q
N
q
  = O N
q
  — O M
q
  =
=  O N
q
~
p
  te n g lik n i  h o sil  q ila m iz .  Bu  y e rd a  
O N 0  = p r -O M  
b o ‘lganligi  uchun
M 0 N 0  = x c o s 0  +
 j y s i n #  
-  
p
form ula 
M
q
N
q
 kattalikni  hisoblash  im k on ini
beradi.  Bu  kattalik 
M ( x , y
)   n u q ta n in g /  to ‘g ‘ri
chiziqdan  chetlashishi  deyiladi.  C hetlashishning
absolyut  qiym ati 
M { x , y
)   n u q ta d a n /  to ‘g‘ri
M  
chiziqqa  b o ‘lgan  m asofaga  tengdir.  D em ak , 
n u q t a d a n  
t o ‘g ‘ ri
c h i z i q q a c h a  
b o 'l g a n  
X  
m asofani  hisoblash  uchun
to ‘g ‘ri  chiziq  tenglam asini

norm al  k o ‘rinishga  keltirish  keyin  esa  n u q ta  koordinatalarini  norm al 
ten glam anin g ch ap tom onidagi  o ‘zgaruvchilar o ‘m iga qo'yish yetarlidir.
T o ‘g ‘ri chiziqning um um iy tenglam asini  norm al  k o ‘rinishga keltirish 
u ch u n   uning  ikkala  tarafm i

A 2
  +   B 2
ifodaga k o ‘paytirish zarur b o ‘ladi.  Bu yerda 
t C   =  —p
  tenglik bajarilishi
kerak.  S huning  u ch u n  
t
 ifodaning  ishorasi 
С
  n *nS  ishorasiga  qaram a- 
qarshi  b o ‘lishi  lozim dir.
4 - § .  Fazoda  tekislik va  to ‘g ‘ri  chiziq  tenglamalari
4.  1  Tekislikning  umumiy  tenglamasi
F azo d a  D ekart koordinatalar sistemasi kiritilgan va un d a  a   tekislik 
berilgan  b o ‘lsin.  Bu  tekislikka  tegishli  n u q ta la r  koordinatalari  birinchi 
darajali  chiziqli  tenglam ani  qanoatlantirishini  k o ‘rsatam iz.  Tekislikka
tegishli 
M 0
 (x 0 , 
y 0 , z
0 )  n uqtani  olib,  a  
tekislikka  p erp end ik ulyar 
b i r o r t a  
v e k t o r n i  
n
 
b ila n
belgilasak, 
M ( x , y , z
)  nuqta  a  
tekislikka  tegishli  b o ‘lishi  uchun
M
q
M
  vek torning 
n
  vektorga 
p e rp e n d ik u ly a r  b o ‘lishiga  te n g  
k u c h lid ir.  D e m a k , 
M ( x , y , z )  
n u q tan in g   koordinatalari
A ( x - x 0) + B ( y - y 0) + C ( z  -  z 0) =
 0
tenglam ani  qanoatlantirishi  kerak.  Agar  D = -A x (i-  By0-C z()  belgilashni 
kiritsak,

Teskari  masala qo'yam iz: 
A  x
 +  
B y
 +  C z +  
D
 =  0   tenglam a berilgan 
b o ‘lsa,  koordinatalari  berilgan  tenglam ani  qanoatlantiruvchi  n uq talar 
to ‘plam i  tekislikni  hosil  qilishini  ko ‘rsatam iz.  K oordinatalari  berilgan
perpendikulyar tekislikni  a   bilan belgilasak, bu tekislikdagi  nuqtalarning 
k o o rd in atalari  b erilgan  ten g lam an i  q an o a tla n tirish in i  k o ‘ram iz.  Va 
a k sin c h a ,  k o o rd in a ta la ri  b e rilg a n   te n g la m a n i  q a n o a tla n tiru v c h i
nuqtalarning  h ar  biri  a   tekislikka  tegishlidir.
4.2  Berilgan  uchta  nuqtadan  o ‘tuvchi  tekislik  tenglamasi
F a z o d a   b ir   t o ‘g ‘ri  c h iz iq d a   y o tm a y d ig a n  
( x ( ,
y t , Z {
 ) ,
n u q talar  berilgan  b o ‘lsa,ulardan  o ‘tu v c h i<2  tekislik  tenglam asini 
tuzaylik.  Fazoning 
M { x , y , z
)   nuqtasi 
a
  tekislikka  tegishli  b o ‘lishi
tenglam ani  qanoatlantiruvchi  birorta
:0 , y 0 ,Z 0 J  nuqtani  olib, 
= { A , B , C }
  v e k to rg a
Щ ( х
2
уУ29
2
2 ),   M 3 ( x 3 , y 3 , Z 3)
M tM,  M , M 2,  М гМ %
  v e k to ria r- 
larning kom planar bo‘lishiga teng 
k u c h l i d i r .  Bu  v e k t o r l a m i n g  
aralash  k o ‘paytm asi  nolga  teng  
b o 'lis h in i  k o o rd in a ta la r  o rq ^li 
yozsak
x
~
У - У
i  z - Z j  
x 2
  - X ,  
y 2  - y ]  z 2
  - z ,   = 0
Хъ  - X x  Уг - У х
  Z j - Z j

4.3  Berilgan nuqtadan  o ‘tuvchi  va  ikki  vektorga  parallel  tekislik
tenglamasi
Bizga fazoda 
M
q
 ( x q , 
y
Q, 
Z 0
 )   n u q ta va n o k o llin e a r a ,^   vektorlar
berilgan b o is in .  Berilgan  n u q tad an   o ‘tuvchi  va 
a ,  b
  vektorlarga parallel
d
  tekislik  teng lam asini  tuzaylik.  Bu  h o ld a  
M ( x , y , Z
)   n u q ta  
cc
tekislikka tegishli b o ‘lishi uchun 
M
q
M
 , 
a ,  b
  vektorlarning k o m planar 
b o ‘lishi  za ru r va  yetarlidir.
A gar 
a  =  [a{, a 2, a 3},b =
  {
bt , b 2, b3}
  b o 'lsa^aralash   k o ‘p ay tm an i 
koordin atalar orqali  yozsak
У ~ У о   z ~ z o 
й, 
a 2
 
o 3 
b\ 
b 2 
b3
tenglam ani  hosil  qilamiz.
27-chizma.
4.  4  Ikki  tekislikning  o ‘zaro  vaziyati
Bizga dekart koordinatalari kiritilgan fazoda 
a
 va 
f t
  ikkita tekisliklar 
m os  ravishda  quyidagi  tenglam alar bilan   berilgan  b o ‘lsin:
a

A
  ,x  +  5 ,> ’ +  C 1z + Д   = 0 ,   / ? :  
A   2x
 +  
B 2y  + C 2z  + D 2
  =   0 .
Bu  tekisliklar orasidagi  burchak ularning norm al vektorlari orasidagi
b u rchakka  tengdir.  U larning 
щ  = { A l , B l , C l ]
  va 
n 2  = { A 2, B 2, C 2} 
norm al  vektorlari  orasidagi  burchaknin g  kosinusini

fo rm u la   b o ‘y ic h a   h is o b la s h n i 
a
 
bilamiz. Tekisliklarning parallellik 
sharti  ularning  m orm al  vektorlari 
p a r a lle liig ig a   te n g   k u c h lid ir . 
Shuning  uchun  bu  shart
5 -§ .  Nuqtadan  tekislikkacha bo‘lgan  masofani  hisoblash
F azoda 
a
  tekislik berilgan bo'lsa,  koordinata boshidan bu tekislikka 
perpendikulyar 
£
 to ‘g‘ri  chiziq o ‘tkazam iz va bu to ‘g‘ri chiziqning, tekislik
bilan  kesishish  nuqtasini M 0  bilan belgilaymiz.  T o ‘g‘ri  chiziqning 
()Mo
vektorga  parallel  yo'naltiruvchi  b irlik ^   vektorini
ko'rinishda yozishimiz m um kin.  Bu yerda 
e
  vektom ing koordinata o ‘qlari 
bilan  hosil  qilgan  b u rchaklari  m os  ravishda 
сс,/3,у
  harflari  bilan
belgilangan.  Agar 
M 0
 nuqta  koordinata  boshi  bilan  ustm a-ust  tushsa, 
e
N
k o 'rin is h d a   y o zilad i.  T e k islik ­
larning  perpen d ik u ly arlik   sharti 
u la r n in g   n o r m a l 
v e k t o r l a r i  
perpendikulyarligiga teng kuchli va
ko‘rinishda  yoziladi.
AjA-y
  +  
B^B-,
  +  C |C 7  — 0
a 2 
b 2 
c 2
M
28-chizma.

vektor sifatida 
£
  to ‘g‘ri chiziqqa parallel  ixtiyoriy vektorni olish m um kin. 
Bu  vektom ing  tanlanishi 
£
  to ‘g ‘ri  chiziqda  y o ‘nalishni  aniqlaydi  va 
£
 t o ‘g ‘ri chiziq o ‘qqa aylanadi.  F azoning 
M ( x , y , z
)  nuqtasi or  tekislikka
tegishli b o ‘lishi uchun 
O M
 vektom ing 
({
  o ‘q q a proeksiyasi 
О М
 о  vektor 
uzunligiga  teng  bo'lishi  lozim dir.  D em ak,
p r - O M
 =  
p
tenglik o 'rinli b o ‘ladi.  Bu yerda 
p
 -  koordinata boshidan 
a
  tekislikkacha
b o 'lg a n   m asofa).  Bu  tenglikda 
e
  vektom ing  birlik  v ektor  ekanligini 
hisobga  olib,  tenglikni
p r O M  =
 ( е , О м )
k o ‘rin is h d a   y o z a m iz .  S k a ly a r  k o ‘p a y tm a n i  k o o rd in a ta la r   o rq a li 
ifodalasak,yuqoridagi  tenglik
x c o s a  + y c o s / 3 + z c o s y  -  p  =
 0 
k o ‘rinishga keladi.  Bu tenglam a tekislikning norm al tenglam asi deyiladi.
B u  te n g la m a   y o rd a m id a   b e r ilg a n  M ( x 0,  v 0, z 0)  n u q ta d a n  a  
te k i s lik k a c h a   b o ‘lg a n   m a s o f a n i  h is o b la s h   m u m k in .  B e rilg a n  
M { x 0, y 0, z
0)n u q ta d a n  
a
  tekislikk acha  b o ‘lgan  m a so fa n i
d
  bilan ,
M { x 0 , y 0, z 0)
  nuqtaning 
£
 o ‘qdagi  proeksiyasini 
N
  bilan  belgilasak,
y o 'n a lish g a   ega  b o ‘lgan 
M 0N
  k esm an in g   kattaligi 
A/l ( x 0, y 0, z
0 )
nuqtaning 
a
  tekislikdan  chetlanishi  deyiladi.  Bu  chetlashishni 
$
  bilan 
belgilasak
8
 =  
M aN
 =  
O N
 -  
O M 0 
tenglik  o ‘rinli  bo'ladi.  Bu  yerda 
p
 =  
O M 0
 tenglikni  hisobga  olsak 
8
 =  
O N  -  p
tenglikni hosil qilamiz.  Bu tenglikda 
O M
  vektorning 
O N
 proyeksiyasini 
skalyar  к о ‘paytm a  orqali  yozsak,

8   -  x 0
 c o s  
а
 +  _у0  c o s /? +  
z 0
 c o s  
у
 -  
 
form ulani  olam iz.  B undan  esa 
d
 uchun
j
  _  j A x 0  + By*  + ^'-0  + D

л / л 2 
+ B 2 + C T
form ulani  topam iz.
Biz  oldingi  paragraflarda  tekislikda  nuqtadan  to ‘g ‘ri  chiziqqacha 
m asofa  fo rm u lasin i  h am   keltirg an   edik.  T o 'g ‘ri  ch iziq   va  tek islik  
tenglam alarini  vektor  ko'rinishda  yozib,  biz  ikkita  form ulani  bitta  fo r­
m ula  ko ‘rinishida  yozishim iz  ham   m um kin.  H a q iq a ta n   tekislikning
(to ‘g ‘ri chiziqning) norm al vektorini 
n
 =  
\ A .B ,C \
  ( to ‘g ‘ri chiziq uchun 
n =
  {A -#})  ko‘rinishda ,tekislikka tegishli (to ‘g‘ri chiziqqa tegishli)  nuqta 
radius vektorini 
r0
 bilan  belgilasak,  tekislik  (to ‘g ‘ri  chiziq)  tenglam asini 
( г - г „ , л ) = 0
k o 'r in is h d a   y o z is h im iz   m u m k in .  R a d iu s   —v e k to ri  r,  b o ‘lg a n
M ( x 0, y 0, z 0)
  n u q tad an   tekislikkacha  (to ‘g ‘ri  chiziqqacha)  b o ‘Igan 
masofa  skalyar  k o ‘paytm aning  m oduliga  tengdir:
(
-  
— 
n 
d =
 
r , - r 0, 
p -

\n
IV 
I  /
6 -§ .  Fazoda  to ‘g ‘ri  chiziq  tenglamalari
D ekart koordinatalar sistemasi kiritilgan fazoda bizga 
(
to ‘g ‘ri chiziq 
b erilgan  b o l s a ,  
a  =  {ci}, a 7, a
, }  v e k to r f   t o ‘g ‘ri  ch iz iq q a   p arallel 
vektorlardan  bittasi  b o ‘lsin, 
M
(x 0.  v0. 
z 0
 )  esa  to ‘g‘ri  chiziqqa  tegishli

b iro rta   n u q ta   b o ‘lsin.  B erilg an   M ( x 0,.y0, z 0)  n u q ta n in g   ra d iu s - 
Vektorini r 0  bilan belgilasak,  fazoda radius-vektori  ^   bo'lgan  
M { x , y , z )
nuqtaning  to ‘g ‘ri  chiziqqa  tegishli  b o ‘lishi 
r - r 0
  va 
a
  =  
{ctA, a 2, a 3} 
vektorlarning  parallelligiga  teng  kuchlidir.  Bu  shartni
r   = r0 + a t
 
( 1)
ko‘rinishda  y ozib,to‘g ‘ri  chiziqning  vektor  k o ‘rinishdagi  tenglam asini 
olam iz.  Bu  y e rd a /  p aram etr  - o o d a n   oogacha  o ‘zgarganda 
r
  vektor 
oxiri 
I
  t o ‘g ‘ri  chiziq  nuqtalarini  hosil  qiladi.  Y uqoridagi  tenglam ani 
k o o rd in ata la r  orqali  yozsak
x   =   x 0 + a , f  
, y  = y 0 + a 2t 
, z   = z 0 + a 3t 
tengliklarni  hosil  qilam iz.  Bu  tenglam alar t o ‘g ‘ri  chiziqning  param etrik 
tenglam alari  deyiladi.  Agar bu  tenglam alardan 
t
  ni  yo ‘qotsak
У - У о  
z ~ z o
---------- = ----------- = -----------  
(
2
)
a x 
a 2 
a 3
te n g la m a   kelib  chiqadi.  Bu  ten g lam a/?  t o ‘g ‘ri  ch iziq n in g   k an o n ik  
tenglam asi  deyiladi.
6.1  Ikki  nuqtadan  o‘tuvchi  to‘g‘ri  chiziq  tenglamasi
F azo d a radius-vektorlari  m os ravishda  r , , r 7  b o ‘lgan  M , ( x ,,  v, 
)
va 
M 2( x i , y 2, z 2)
  nuqtalar  berilgan  b o ‘lsa,  bu  n u q talard an   o ‘tgan 
£
t o ‘g ‘ri  c h iz iq   u c h u n   r , - 7",  v e k to r  y o 'n a ltir u v c h i  v e k to r  b o ‘la d i.
Y uqoridagi  (1)  tenglam adagi  vektor  o ‘m ig a 
r2  — r[
  vektorni  q o ‘ysak,
M 0 ( x0, y 0, z
0)   n uq ta  sifatida 
M }
( x , , , z , )   n uqtani  o ls a k f  to ‘g‘ri 
chiziqning  vek tor  k o ‘rinishdagi  param etrik  tenglam asini

k o ‘rinishda yozish  m um kin.  Agar (3) tenglam ada /   param etrni yo'qo tib, 
uni koordinatflar orqali yozsak 
f
  to ‘g ‘ri chiziqning kanonik tenglam asini
x ~ * i  
У - У
 i 
z - z l
(4)
*2  “  *1 
У
2  ~  
У

2 2  “  *1 
k o'rinishda  hosil  qilamiz.
6.2  To‘g‘ri  chiziq  ikkita  tekislikning  umumiy  qismidir
Bizga 
£
  to ‘g ‘ri  chiziq  kanonik
x - x 0  =  y - y 0
  _   z - z 0
a x 
a 2 
a,
tenglam a  yordam ida  berilgan  bo'lsin.  Bu  tenglam adan  quyidagi  ikkita 
tenglam alam i  hosil  qilam iz
x - x 0 
y - y 0 
y - y 0  ^   z - z 0 
a, 
a 2
 
’ 
a 2 
a 3
 
^
Bu  tenglam alam i
a 2
( x -  x 0) -  a , (y  -  
) =   0  , 
a ?( y - y 0) - a 2( z - z 0) = 0 
k o ‘rinishda  yozsak 
£
  t o ‘g ‘ri  chiziq
a 2( x - x 0) - a \ ( y - y 0) = 0
  va 
a 3( y - y 0) - a 2( z - z 0) = 0 
tenglam alar  bilan  aniqlanuvchi  tekisliklarning  kesishishidan  iborat 
b o ‘lishini  ko 'ram iz.  Agar bizga  ikkita  a   v a p   tekisliklar
A,
  x  +   5 , ^  +  C ,z  +  D ,  =   0  va 
A 2x  + B 2y  + C 2z  + D 2  =
  0 
tenglam alar bilan  berilib
Ч   Я,  C,  '
^A2  B 2  C 2 ;
m atritsaning  rangi  2ga  teng  b o ‘lsa,ular  parallel  bo'lm aydi  va  b iro rta 
£ 
to ‘g‘ri chiziq b o ‘ylab kesishadi.  Bu to ‘g‘ri chiziqning kanonik tenglam asini

tuzish  u ch u n   uning  birorta  nuqtasini  va  b itta  y o ‘na!tiruvchi  vektorini 
bilishim iz  yetarli.  Biz  koordinatalari
A {  x
 +  B xy  +  C xz  +  D x  -   0 
A   2x  + B 2y  + C 2z  + D 2  =
  0 
siste m a n i  q a n o a tla n tir u v i
M 0( x0, y 0, z 0)
 
n u q ta n i  t o p i b ,^   t o ‘g ‘ri 
c h i z iq n in g   y o 'n a lt i r u v c h i   v e k to r i  s i f a t i d a  
n x
 
=  
{ AX, B X, C X}
 
va
n 2  = { A 2, B 2, C 2}
 
vektorlam ing  vektor  k o ‘paytm asini  olam iz,chunki 
bu  vektor  k o ‘paytm a 
£
  to ‘g‘ri  chiziqqa  paralleldir.
7 -§ .  Fazoda  nuqtadan  to ‘g ‘ri  chiziqqacha  b o‘lgan  masofani 
hisoblash
B izga  fa z o d a  
£
  t o ‘g ‘ri  c h iz iq   va  u n g a   te g is h li  b o 'lm a g a n
M x
 
( x ,, 
y , , z
x) 
nuqta  berilgan  bo'lsin.  Biz  bilam izki  to ‘g ‘ri  chiziq  va
unga  tegishli  b o ‘lm agan  n uqta  orqali  bitta  tekislik  o ‘tkazish  m um kin. 
Tekislikda  nu q tad an   to ‘g ‘ri  chiziqqacha  b o ‘lgan  m asofani  hisoblashni 
oldingi paragraflarda o ‘igangan  edik.  Buning uchun biz to ‘g ‘ri chiziqning 
tekislikdagi  tenglam asini  va  n u q tan in g   tekislikdagi  ko ord in atalarin i 
bilishimiz  kerak.  Lekin  bu  ish  h a r doim   qulay  b o lm ag an lin i  uchun  biz 
bevosita 
£
  to ‘g ‘ri  chiziqning
r   = r0  + at
te n g la m a s i d a n   f o y d a la n m o q c h im iz .  B iz g a   t o ‘g ‘ ri  c h i z iq n in g  
M o (x o ,,y o ,2 o ) n uqtasi  va  un in g   y o 'n a ltiru v c h i  a  vek to ri  m a ’lum .
A gar 
N
 
n u q ta  
£
  t o ‘g ‘ri  ch iziq q a  tegish li  b o ‘lib, 
M x

Download 3.6 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling