Al-Xorazimiy nomidagi Urganch Davlat Universiteti Fizika-matemaika fakulteti

Al-Xorazimiy nomidagi Urganch Davlat Universiteti Fizika-matemaika fakulteti 201-guruh talabasi Ollaberganova Zuhra

Mavzu: Yoy uzunligi va uning aniq integral orqali ifodalanishi.

• Mavzu: Yoy uzunligi va uning aniq integral orqali ifodalanishi.
• Reja:
• 1. Yoy uzunligi tushunchasi.
• 2. tenglama bilan berilgan egri chiziq uzunligini hisoblash.
• 3. Parametrik ko`rinishda berilgan egri chiziq uzunligini hisoblash.
• 4. Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziqning uzunligini hisoblash.
• 5. Yoy differentsiali.

• va

• nqtalaruni birlashtiruvchi to`g`ri chiziq kesmasi

• nuqtalarni

• birin-ketin to`g`ri chiziq kesmalari bilan birlashtirishidan hosil bo`lgan bo`lsin. Odatda, bunday chiziq siniq chiziq deyiladi.
• Siniq chiziq uzunligi (perimetri) deb, uni tashkil etgan to`g`ri chiziq kesmalari uzunliklarining yig`indisiga aytiladi:

• 1.Yoy uzunligi tushunchasi : Ma`lumki, tekislikdagi ikki

• chiziq

• ga teng bo`ladi. Aytaylik, tekislikdagi

• uzunlikka ega va uning uzunligi

• Faraz qilaylik, tekislikdagi

• egri chiziqi (uni

• yoyi deb qam ataymiz) ushbu

• tenglama bilan berilgan bo`lsin, bunda

• segmentning ixtiyoriy

• bo`laklashni olib, bo`luvchi

• nuqtalar orqali

• o`qiga parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazamiz.
• Bu to`g`ri chiziqlarning

• yoyi bilan kesishgan nuqtalari

• bo`ladi.

yoyidagi bu nuqtalarni bir-biri bilan to`g`ri chiziq kesmalari yordamida birlashtirib, siniq chiziqni hosil qilamiz. (16-chizma) Odatda, siniq chiziq yoyiga chizilgan siniq chiziq deyiladi. U uzunlikka ega bo`lib, uzunligini (perimetrini) deylik. Agar va lar segmentning ikkita bo`laklashi bo`lib, bo`lsa, u holda bu bo`laklashlarga mos yoyiga chizilgan siniq chiziqlarning perimetrlari uchun bo`ladi.

segmentning bo`laklashi quyidagi ko`rinishda bo`lib, bo`laklash esa , bo`laklashning barcha bo`luvchi nuqalari hamda qo`shimcha bitta nuqtani qo`shish natijasida hosil bo`lgan bo`laklash bo`lsin. Bu nuqta hamda nuqtalar orasida joylashsin:

Demak, bo`laklashning bo`luvchi nuqtalari sonini orttira borilsa, yoyiga chizilgan ularga mos siniq chiziqlar perimetrlari qam ortib boradi. 1-ta`rif. Agar dа da yoyiga chizilgan siniq chiziq perimetri chekli limitga ega bo`lsa, yoy uzunlikka ega deyiladi. Ushbu limit yoyining uzunligi deyiladi.

ga nuuqta ga nuqta mos kelsin. segmentning ixtiyoriy bo`laklashni olib, bu bo`laklashning bo`luvchi nuqtalariga mos kelgan yoydagi nuqtalarni bir-biri bilan to`g`ri chiziq kesmalari yordamida birlashtirib, yoyga chizilgan siniq chiziq ni hosil qilamiz (17-chizma)

• Bu siniq chiziq perimetri

• bo`ladi.

2-ta`rif. Agar da yoyiga chizilgan siniq chiziq perimetri chekli limitga ega bo`lsa, yoy uzunlikka ega deyiladi. Ushbu limit yoyining uzunligi deyiladi. Yuqorida keltirilgan ta`riflardan yoy uzunligining ( agar u mavjud bo`lsa ) musbat bo`lishi kelib chiqadi.

Parametrik ko`rinishda berilgan egri chiziq uzunligini hisoblash. Faraz qilaylik, egri chiziq ushbu tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo`lib, (1) shartlarning bajarilishi bilan birga funktsiyalari dа uzluksiz hamda hosilalarga ega bo`lsin. segmentning ixtiyoriy bo`laklashini olib, ularga mos yoyining nuqtalarini bir-biri bilan to`g`ri chiziq kesmasi yordamida birlashtirishdan hosil bo`lgan siniq chiziq perimetri

• ni qaraymiz.

Lagranj teoremasidan foydalanib topamiz: bunda Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz. bunda Madomiki, ekan unda bo`lib, bo`ladi.

Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziqning uzunligini hisoblash. Faraz qilaylik, egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida quyidagi tenglama bilan berilgan bo`lsin. Bunda bo`lib, u uzluksiz hosilaga ega bo`lsin. Qutb koordinatalari dan Dekart koordinatalari ga o`tish formulasiga binoan bo`ladi. Natijada parametrik ko`rinishda berilgan egri chiziq sifatida ifodalanadi, bunda funktsiyalari da keltirilgan shartlarni bajaradigan funktsiyalar bo`ladi.

(5) formuladan foydalanib egri chiziqning uzunligini topamiz: Bu formula yordamida egri chiziqning uzunligi hisoblanadi.

. Yoy differentsiali. Aytaylik, tekislikdagi egri chiziq ushbu tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo`lib, bunda hamda funktsiyalari da uzluksiz hamda hosilalarga ega bo`lsin (19-chizma) Ma`lumki, o`zgaruvchining qiymatiga egri chiziqda nuqta mos keladi.

Keyingi tenglikning kvadratini ga ko`paytirib, ushbu ya`ni munosabatga kelamiz. Bu munosabat yoy differentsialining kvadratini ifodalaydi. Demak, yoy differentsiali yuqoridagi funktsiyalarning differentsiallari hamda lar orqali ifodalanadi. Binobarin, (5) formula, uzluksiz hosilaga ega bo`lgan funktsiyalar yordamida egri chiziq yoyining turli usullarda parametrlashtirishda o`z ko`rinishini saqlaydi.