Algebra tushunchasi

23-variant.
1 – topshiriq. Berilgan savollarga javob tayyorlang.

1. 
   Algebraik sistemalar. Yarim gruppa, gruppa, halqa va maydon tushunchalari va ularga misollar.
   

J: J: Algebra tushunchasi. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda algebraik operatsiya berilgan bo‘lsa, u algebra deyiladi.

Agar natural sonlar to‘plami N da qo‘shish amali berilgan bo‘lsa, bu to‘plamda berilgan algebra ‹N,+› ko‘rinishda belgilanadi. Demak, algebra berilishi uchun bo‘sh bo‘lmagan to‘plam va unda algebraik operatsiya berilishi lozim ekan.

Agar X to‘plam berilib, unda *,º algebraik operatsiyalar berilgan bo‘lsa, ular vositasida berilgan algebra ‹X,*,º› ko‘rinishda bo‘ladi. ‹X,T,º› algebra ‹X,T,*› algebradan º va * algebraik operatsiyalari bilan farq qiladi.

Gruppa, halqa, maydon ana shunday algebralar qatoriga kiradi. Quyida gruppa, halqa va maydon kabi algebralarning xossa va xususiyatlarini ko‘rib chiqamiz.

Yarim gruppa va gruppa haqida tushuncha. Aytaylik bizga, A≠Ø to‘plam va binar * algebraik operatsiya berilgan bo‘lsin.

1-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda * algebraik operatsiya assotsiativ bo‘lsa, ‹A, *› algebra yarim gruppa deyiladi.

2-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda quyidagi xossalar o‘rinli bo‘lsa, ‹A, *› algebra gruppa deyiladi:

a) A to‘plamning ixtiyoriy ɑ,b,c elementlari uchun ɑ*(b*c)=(ɑ *b) munosabat o‘rinli bo‘lsa, ya’ni binar * algebraik operatsiya assotsiativ bo‘lsa;

b) A to‘plamning ixtiyoriy a elementi uchun shunday eA element mavjud bo‘lib, u a*e=e*a=a shartni qanoatlantirsa, ya’ni A to‘plamda neytral element mavjud bo‘lsa;

c) A to‘plamning ixtiyoriy a elementi uchun shunday  element mavjud bo‘lib, u quyidagi a* shartni qanoatlantirsa, ya’ni A to‘plamning har bir elementiga simmetrik element mavjud bo‘lsa.

Ta’rifdan ko‘rinadiki, ‹A,*,e,› algebra gruppa bo‘lishi uchun * algebraik operatsiya bo‘lib, u assotsiativ bo‘lishi hamda A to‘plamda e neytral,  simmetrik elementlar mavjud bo‘lishi kerak ekan.

3-ta’rif. Agar A to‘plamda berilgan * algebraik operatsiya kommutativ bo‘lsa, ya’ni ixtiyoriy a,bA uchun a*b=b*a o‘rinli bo‘lsa, ‹A,*,e,› gruppa * binar algebraik operatsiyaga nisbatan kommutativ gruppa deyiladi. Kommutativ gruppa ba’zi hollarda Abel gruppasi deb ham ataladi.

1-misol. Binar «*» algebraik operatsiyani «+» qo‘shish amali bilan almashtiraylik. A to‘plamda + amali gruppa hosil qiladi:

a) a,b,c,A uchun (a+b)+c=a+(b+c) bajariladi, ya’ni qo‘shish amali assotsiativ;

b) aA uchun shunday e=0 neytral element mavjud, a+0=0+a=a;

d) A to‘plamning ixtiyoriy a elementi uchun a+(-a)=0 shartni qanoatlantiruvchi simmetrik (-a) element mavjud.

Ma’lumki, qo‘shish amali kommutativdir, shuning uchun ‹A, +, 0, - ɑ› algebra kommutativ, ya’ni Abel gruppasidir.

2-misol. Haqiqiy sonlar to‘plami R qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.

Haqiqatan ham, a,b,cR uchun

a) (a+b)+c=a(b+c) assotsiativlik xossasi o‘rinli;

b) aR uchun 0R mavjudki, a+0=a;

d) aR uchun -aR topiladiki, a+(-a)=0.

Qo‘shish amali haqiqiy sonlar to‘plamida kommutativ, assotsiativ bo‘lganidan va R da neytral va simmetrik element mavjudligidan ‹R,+,0,-a› kommutativ gruppa bo‘lishi kelib chiqadi.

Agar «*» algebraik operatsiya sifatida «+» qo‘shish amali olinib, ‹A,+› algebra qo‘shish amaliga nisbatan gruppa bo‘lsa, bunday gruppalar additiv gruppalar deyiladi.

Agar «*» algebraik operatsiya sifatida «·» qo‘shish amali olinib, ‹A, ·› algebra ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa bo‘lsa, bunday gruppalar multiplikativ gruppalar deyiladi.

Halqa va uning ta’rifi.

Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda ikkita binar algebraik operatsiya berilgan bo‘lsin. Aniqlik uchun binar algebraik operatsiyalar uchun «qo‘shish» va «ko‘paytirish» amallarini qabul qilaylik.

4-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish binar algebraik operatsiyalari berilgan bo‘lib, ular quyidagi xossalarga bo‘ysunsalar, A to‘plam va amallari bilan berilgan ‹A, +,·› algebra yarim halqa deyiladi:

a) a,b,cA uchun (a+b)+c=a+(b+c), ya’ni assotsiativlik xossasi;

b) a,b,cA uchun a+b=b+a, ya’ni kommutativlik xossasi;

d) a,b,xA uchun

a+x=b+xa=b

x+a=x+ba=b;

ya’ni qisqaruvchanlik xossasi;

e) a,b,cA uchun (a·b)·c=a·(b·c) ko‘paytirish amali assotsiativlik xossasiga bo‘ysinsa;

f) a,b,cA uchun (a+b)·c=a·c+b·c yoki c·(a+b)=c·a+c·b ko‘paytirish amali qoshish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga ega bo‘lsa.

Agar ‹A,+,·› yarim halqa bo‘lib, ko‘paytirish amali kommutativ bo‘lsa, bunday yarim halqa yarim kommutativ halqa deyiladi.

5-ta’rif. Agar ‹A,+,·› algebra qo‘shish amaliga nisbatan Abel gruppa va ko‘paytirish amali qo‘shish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga bo‘ysunsa, ‹A,+,·› algebraga halqa deyiladi.

Demak, ‹A,*,º› halqa bo‘lishi uchun, A to‘plamda * algebraik operatsiya assotsiativ va kommutativ bo‘lishi, * algebraik operatsiyaga nisbatan neytral va simmetrik elementlari mavjud bo‘lishi hamda ◦ algebraik operatsiya * algebraik operatsiyaga nisbatan distributiv bo‘lishi kerak.

Agar aA uchun a+0=a va 0+a=a munosabat o‘rinli bo‘lsa, 0A element A to‘plamning nol elementi, agar aA uchun eA mavjud bo‘lib, a·e=e·a=a munosabat bajarilsa, e elementga A to‘plamning birlik elementi deyiladi.

Misol. N={1,2,3,…,n,…} natural sonlar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallari vositasida tashkil qilingan ‹N,+,·› algebra yarim halqadir. Haqiqatan ham,

1) 4,6,7N 4+(6+7)=(4+6)+7

2) 4+7=7+4

3) 5+12=5+(5+7)12=5+7

4) 5·(6·7)=(5·6)·7

5) 6·(7+4)=6·7+6·4

6·7+6·4=42+24=66

Demak, ‹N,+,·› algebra yarim halqadir.

Agar A to‘plamda berilgan ko‘paytirish amali uchun kommutativlik xossasi o‘rinli bo‘lsa, ‹A,+,·› kommutativ halqa, agar ko‘paytirish amali uchun assotsiativlik xossasi o‘rinli bo‘lsa, ‹A,+,·› assotsiativ halqa, agar ko‘paytirish amaliga nisbatan a·e=e·a=a shartni bajaruvchi neytral element mavjud bo‘lsa, ‹A,+,·› birlik elementli halqa (chunki a·1=1·a=a,e=1) deb yuritiladi.

Agar ‹A,*,º› halqani tashkil qilayotgan A to‘plam elementlari sonlardan iborat bo‘lsa, ‹A,*,º› halqa sonli halqa deb yuritiladi. Endi ko‘rib chiqilgan halqa va uning xossalaridan foydalanib maydon tushunchasini kiritamiz.