Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

Nyuton  interpolyasion  formulalari.  Ushbu  mavzuda  interpolyasiya  tugunlari  teng 
uzoqlikda  joylashgan  holni,  ya’ni 
)
.
.
.
,
2
,
1
,
0
(
0



i
ih
x
x
i
 bo’lgan  holni  qaraymiz. Bu  holda 
interpolyasion  formulaning  ko’rinishlari  ancha  soddalashadi.  Biz  xozir  Nyutonning  ikkita 
interpolyasion formulasshi chiqaramiz. Bularning birinchisi funksiyani jadval boshida va ikkinchisi 
jadval oxirida interpolyasiyalash uchun mo’ljallangan. 
Faraz  qilaylik, 
n
n
x
x
x
x
L
,
.
.
.
,
,
)
(
1
0
  tugunlar  bo’yicha  tuzilgan  Nyuton  interpolyasion 
ko’phadi bo’lsin: 
)
)...(
)(
,...,
(
...
)
)(
,
(
)
(
)
(
1
0
0
0
1
0
0








n
n
n
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
L
.   
 
(8) 
Bundagi bo’lingan ayirmalarni chekli ayirmalar bilan almashtiraylik. 
Ushbu 
th
x
x


0
 almashtirishni  ham  bajargandan keyin (8) ko’phad quyidagi ko’rinishga 
zga bo’ladi: 
.
!
)]
1
(
)...[
1
(
...
!
3
)
2
)(
1
(
2
)
1
(
)
(
2
/
3
2
/
3
2
1
1
2
/
1
0
0
n
n
n
f
n
n
t
t
t
f
t
t
t
f
t
t
tf
f
th
x
L













  (9) 
Bu formulaning qoldiq hadi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:  
)
)...(
1
(
!
)
1
(
)
(
!
)
1
(
)
(
)
)...(
)(
(
)
(
)
1
(
1
)
1
(
0
0
0
n
t
t
t
n
f
h
n
f
nh
x
x
h
x
x
x
x
x
R
n
n
n
n
















         (10) 
(9) formula Nyutonning jadval boshidagi yoki cum interpolyasion formulasi deyiladi. 
Endi (8) formulada interpolyasiyalash tugunlari sifatida 
n
x
x
x


,
.
.
.
,
,
1
0
 tugunlarni olamiz: 










)
)(
)(
,
,
(
)
)(
,
(
)
(
)
(
1
0
2
1
0
0
1
0
0
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
L
n
 
)
(
.
.
.
)
)(
,
.
.
.
,
(
.
.
.
)
1
(
0
0







n
n
x
x
x
x
x
x
f
 
 
 (11) 
Bo’lingan ayirmalar o’z argumentining simmetrik funksiyasi bo’lganligi uchun 
)
,
,
.
.
.
,
(
)
,
.
.
.
,
,
(
0
1
1
0
x
x
x
f
x
x
x
f
k
k





. 
(11)  formulada  yana  bo’lingan  ayirmalarni  chekli  ayirmalar  bilan  almashtirib  va 
th
x
x


0
  deb 
olib, quyidagini hosil qilamiz; 
!
)]
1
(
)...[
1
(
.
.
.
2
)
1
(
)
(
2
/
2
1
1
2
/
1
0
0
n
n
t
t
t
f
t
t
f
t
f
f
th
x
L
n
n
n













.  (12)  
Bu formulaning qoldiq hadi 
))
(
.
.
.
1
(
!
)
1
(
)
(
)
1
(
1
n
t
t
t
n
f
h
n
n






 
ko’rinishda bo’ladi. 
Endi qoldiq  had to’g’risida  bir oz to’xtalib o’taylik. Ayrim  hollarda, xususan 
i
f  qiymatlar 
tajriea  yo’li  bilan  hosil  qilingan  bo’lsa, 
)
(
)
1
(


n
f
  ni  baholash  ancha  mushkul  bo’ladi.  Shuning 
uchun  qo’pol  bo’lsa  ham,  soddaroq  yo’l  bilan  baholash  ma’quldir.  Qaralayotgan  oralikda  hosila 
)
(
)
1
(
x
f
n
,  demak,  ayirma 
1

n
i
f
  ham  sekin  o’zgaradi  deb  faraz  qilib,  (10)  formula  bilai  berilgan 
qoldiq hadda qatnashuvchi hosilani ayirma bilan alamashtiramiz, natijada 
1
2
1
!
)
1
(
)
(
.
.
.
)
1
(






n
n
n
f
n
n
t
t
t
R
   
 
 
(13) 
hosil bo’ladi. Shuningdek (12)  formula o’rnida, quyidagi taqribiy, lekin qulay formulaga ega 
bo’lamiz:  
1
2
1
!
)
1
(
)
(
.
.
.
)
1
(






n
n
n
f
n
n
t
t
t
R
   
 
 
(14) 
Yuqoridagi  formulalar  ancha  qo’pol,  ulardan  foydalanishda  hushyor  bo’lish  kerak.  Agar  hosila 

 
73
sekin o’zgarmasa, u holda ma’nosiz natijaga ega bo’lamiz. Masalan, 
x
N
x
x
f

sin
)
(


 
funksiyani  olib,  interpolyaiiya  tugunlari  sifatida  butun 
0

i
x
,
.
.
.
,
2
,
1 

  qiymatlarni  olaylik.  Bu 
holda  ikkinchisidan  boshlab  barcha  ayirmalar  nolga  teng.  Demak,  qo’pol  tarzda 
)
(x
f
  ni  chiziqli 
funksiya deb olishimiz mumkin. Lekin,  N  yetarlicha katta bo’lganda 
x
N
x

sin

 funksiya chiziqli 
funksiyadan keskid farq qiladi. 
 
 
Mustaqil ishlash uchun savollar 
 
1.  Interpolyasiyalash masalasi. 
2.  Xususiy interpolyasiyalash. 
3.  Interpolyasiyalashning umumiy masalasi. 
1.  Lagranj interpolyasion formulasining har xil ko’rinishi. 
2.  Diognal va gorizontal chekli ayirmalar topilishi. 
3.  Teng uzoqlikda joylashgan tugunla uchun 1- va 2-Nyuton interpolyasion formulalari. 
 
 
 
 
 
 
 

 
74
7-ma’ruza 
FUNKSIYALARNI SONLI INTEGRALLASH. TO`G`RI TO`RTBURCHAKLAR, 
TRAPETSIYALAR, SIMPSON FORMULALARI 
 
Ma`ruza rejasi 
1. Sonli integrallashning to`g`ri totrburchaklar metodi 
2. Sonli integrallashning trapetsiyalar metodi 
3. Sonli integrallashning Simpson metodi 
4.  Sonli  integrallashning  to`g`ri  totrburchaklar,  trapetsiyalar  va  Simpson  metodlarining 
qoldiq hadlarini baholash 
 
Tayanch iboralar:  to`g`ri totrburchaklar formulasi, trapetsiyalar formulasi, Simpson 
formulasi 
 
Quyidagi 
 
 


b
a
dx
x
f
f
I
                                           (1) 
aniq integralning qiymatini taqribiy hisoblashni qaraylik. Bu yerda 
 
x
f
 - 


b
a,
 oraliqda uzluksiz 
bo’lgan funksiya. 


b
a,
 
integrallash 
oralig’ini 
n
 
ta 
uzunligi 
n
a
b
h


 
ga 
teng 
bo’lgan 

 



n
n
x
x
x
x
x
x
,
,.....,
,
,
,
1
2
1
1
0

  kesmalarga ajratamiz.  
Agar tugunlarda 
 
x
f
 ning qiymatini 
  

n
i
x
f
y
i
i
,...,
2
,
1
,
0


 kabi belgilasak 
 
 















b
a
n
n
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
f
I
2
......
2
1
2
1
0
           (2) 
umumiy  trapesiyalar  formulasi  deyiladi.    Bu  formula  geometrik  nuktai-nazardan  integral  ostidagi  
 
x
f
y 
 funksiyaning grafigini tugun nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq bilan almashtirishdan 
iboratdir. 
 
Faraz  qilaylik 
m
n
2

  juft  son  bo’lsin. 


b
a,
  integrallash  oralig’ini 
n
  ta  uzunligi 
m
a
b
n
a
b
h
2




 ga teng bo’lgan 

 



n
n
x
x
x
x
x
x
,
,.....,
,
,
,
1
2
1
1
0

  kesmalarga ajratamiz. 
 
 








2
2
4
2
1
2
3
1
2
0
......
2
......
4
3














m
b
a
m
m
y
y
y
y
y
y
y
y
h
dx
x
f
f
I
                     (3) 
Simpson formulasi deyiladi.   
 (3) formula geometrik nuktai-nazardan integral ostidagi  
 
x
f
y 
 funksiyaning grafigini 
har bir oraliqda parabolalar bilan almashtirishdan iboratdir. 
 
Misol. 



1
0
1 x
dx
I
  integralning  qiymatini  trapesiyalar  va  Simpson  formulalari  yordamida  taqribiy 
hisoblang. 

 
75
8-ma’ruza 
ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR (ODT) UCHUN QO`YILGAN 
MASALALARNI SONLI YECHISH. KOSHI MASALASI. EYLER, RUNGE-KUTTA 
USSULLARI. 
 
Ishdan maqsad:  Birinchi tartibli differensial tenglamani Runge -Kutta usulida yechishni 
talabalarga o’rgatish quyidagilarni o’z ichiga oladi: 
  differensial tenglamani integrallashga sonli usulni qo’llash;  
  hisoblash ishini tashkil qilish va bajarish;  
  masalani yechish dasturini tuzish va sonli natijalar olish. 
 
Masalaning qo’yilishi. 
 Birinchi tartibli differensial tenglama 


y
x
f
y
,


                                                (1) 


b
x ,
0
  kesmada 
0
0
y
y
x
x


 
 
                        (2) 
boshlang’ich  shart  bilan  berilgan  bo’lsin. 
b
x    nuqtada  noma’lum 
 
x
y
y 
  funksiyaning 
qiymatini taqribiy hisoblash talab qilinsin. 
Agar  berilgan  masalaning 
 
x
y


yechimini  topish  mumkin  bo’lganda, 
b
x    nuqtada, 
ravshanki,   
 
b
y
b
x



  ni  topishimiz  mumkin  bo’ladi.  Lekin  aksariyat  hollarda  masalaning 
umumiy yechimini topib bo’lmaydi. Bunday hollarda taqribiy (sonli) usullar qo’llaniladi. 
Differensial tenglamani integrallashning eng keng tarqalgan sonli usullaridan biri Runge -
Kutta usulidir.  
Bu  usul  har  xil  tartibli  aniqlikdagi  sxemalarni  qurishdan  iborat  bo’ladi.  Bu  sxemalar 
EHMda    hisoblash    uchun  juda    qulay    hisoblanadi.      Ko’pgina    qo’llaniladigan    sxemalar 
to’rtinchi tartibli aniqlikda bo’ladi. Hozirda ulardan amaliy hisoblashlarda foydalanilmoqda.  
Usul tavsifi 


b
x ,
0
 kesmada  hosilaga nisbatan yechilgan birinchi  tartibli differensial tenglama  


y
x
f
dx
dy
,

 
berilgan bo’lsin va  
0
x
x 
 nuqtada 
0
y
y 
 boshlang’ich shart o’rinli bo’lsin.  
n
x
b
H
0


 qadamni tanlaymiz va quyidagi belgilashni kiritamiz: 
ih
x
x
i


0
 va 
  

n
i
x
y
y
i
i
,...,
3
,
2
,
1


.  Quyidagi sonlarni qaraymiz: 
 


i
i
i
y
x
hf
K
,
1

,  
 
 











2
,
2
1
2
i
i
i
i
K
y
H
x
hf
K
 
 
 
 
 
 


i
i
i
i
i
i
i
i
K
y
H
x
hf
K
K
y
H
x
hf
K
3
4
2
3
,
,
2
,
2














   
(3) 
Runge  –  Kutta    usuli  bo’yicha 
H
x
x
i
i


1
    nuqtada  taqribiy  yechimning 
1

i
y
    qiymati 
quyidagi formula bo’yicha hisoblanadi 

 
76
i
i
i
y
y
y



1
 
  (4) 
bu yerda 
 
 
 
 




,...
2
,
1
,
0
2
2
6
1
4
3
2
1






i
K
K
K
K
y
i
i
i
i
i
 
 
Bu  usul  bo’yicha  bajariladigan  hisoblashlar  quyidagi  jadvalga  sxema  bo’yicha 
joylashtiriladi: 
1 –jadval 
i
 
x
 
y
 


y
x
f
H
K
,


 
y

 
0 
x
0
 
y
0 
 
0
1
K
 
 
0
1
K
 
 
2
0
H
x 
 
 
 
2
0
1
0
K
y 
 
 
0
2
K
 
 
0
2
K
 
 
2
0
H
x 
 
 
2
0
2
0
K
y 
 
 
0
3
K
 
 
0
3
K
 
 
H
x 
0
 
 
0
3
0
K
y 
 
 
0
4
K
 
 
0
4
K
 
 
 
 
 
0
y

 
1 
1
x
 
1
y
 
 
 
 
1 —jadvalni to’ldirish  tartibi. 
1)  Jadvalning birinchi satriga 
0
0
, y
x
  berilgan qiymatlarni yozamiz. 
2) 


0
0
, y
x
f
  ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz va 
 
0
1
K
 sifatida jadvalga yozamiz. 
3)   Jadvalning ikkinchi satriga 
 
2
,
2
0
1
0
0
K
y
H
x


 larni yozamiz. 
4)  
 
)
2
,
2
(
0
1
0
0
K
y
H
x
f


ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz va 
 
0
2
K
 sifatida jadvalga yozamiz. 
5)   Jadvalning uchinchi satriga 
 
2
,
2
0
2
0
0
K
y
H
x


 larni yozamiz. 
6)  
 










2
,
2
0
2
0
0
K
y
H
x
f
ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz  va 
 
0
3
K
 sifatida jadvalga 
yozamiz.  
7)  Jadvalning to’rtinchi satriga 
 
0
3
0
0
,
K
y
H
x


larni yozamiz. 
8)   
 


0
3
0
0
,
K
y
H
x
f


ni hisoblab 
H
 ga ko’paytiramiz  va 
 
0
4
K
 sifatida jadvalga yozamiz.  
9)  
y

 ustuniga 
 
 
 
 
0
4
0
3
0
2
0
1
,
2
,
2
,
K
K
K
K
 larni yozamiz.  
10)  
y

 ustundagi sonlarning yig’indisi 6 gabo’lib, 
0
y

 sifatida jadvalga yozamiz.  
11)  
0
0
1
y
y
y



 ni hisoblaymiz. 
 
Keyingi  navbatda 
)
,
(
1
1
y
x
ni  boshlang’ich  nuqta  sifatida  qarab    hisoblashlarni  shu  singari 
davom qildiramiz. 
 
Runge-Kutta  usuli  yordamida  EHMlarida  qadamni  avtomatik  tanlab  hisoblashlar 
bajarilganda  hasoblashlar  ikki  marta  bajariladi.  Birinchisida 
H
qadam  bilan,  ikkinchisida  esa 

 
77
2
H
h 
 qadam bilan. Agar bu holda olingan 
i
y  ning qiymatlari berilgan aniqlikdan oshsa, u holda 
keyingi  
1

i
x
 nuqtagacha qadam ikkilanadi, aks holda yarim qadam qo’llaniladi. 
 
 

 
78
9-ma`ruza 
ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR (ODT) UCHUN CHEGARAVIY 
MASALALARNI TAQRIBIY YECHISH USULLARI. KOLLOKATSIYA, ENG KICHIK 
KVADRATLAR, SOHACHALAR, GALYORKIN USULLARI 
 
Ma`ruza rejasi: 
1.  ODT uchun chegaraviy masalalarni (ChM) echish usullari tasnifi; 
2.  2-tartibli ODT uchun ChMning umumiy qo`yilishi;  
3.  Tafovut funktsiyani tuzish;  
4.  Kollokatsiya usuli; 
5.  Integral va diskret shakldagi eng kichik kvadratlar usullari; 
6.  Sohachalar usuli; 
7.  Galyorkin usuli; 
8.  Vaznli tafovutlar usuli haqida umumiy ma`lumotlar.  
 
Kalit  so`zlar:  ODT  uchun  chegaraviy  masalalar,  tafovut,  bazis  funktsiyalar  sistemasi, 
tafovutni minimallashtirish.