Almoodle uwed uz Mavzu: Trigonometrik formulalar O‘qituvchi: A. K. Kilichov Fan: Algebra


Download 0.66 Mb.
Pdf ko'rish
Sana14.10.2020
Hajmi0.66 Mb.
#133788
Bog'liq
30 dars. Trigonometrik formulalar


Almoodle.uwed.uz

Mavzu:  Trigonometrik

formulalar

O‘qituvchi:    

A.K.Kilichov

Fan: Algebra

M1. 

Qo‘shish, ikkilangan burchak va yarim

burchak, keltirish, 

yig‘indi va ayirmaga doir

trigonometrik formulalarni esga olish va

bilmaganlarimizni

o’rganish. 

M2. Trigonometrik formulalar yordamida

masalalar yechish

DARSNING MAQSADI

Oldingi darsimizda

trigonometriya elementlari,

trigonometrik

ayniyatlar

va

keltirish,

qo’shish

formulalari va

yig’indi formulalari

mavzuslari bilan

tanishgan edik.

Bugungi darsimizda

o’tilgan mavzularni ko‘rib

chiqamiz va ularga doir masalalarni yechamiz.

OLDINGI DARSLARGA BIR NAZAR

Trigonometrik formulalar

Trigonometrik

formulalar

Qo‘shish


formulalari

Ikkilangan

burchak

formulalari



Yarim

burchak


formulalari

Darajani


pasaytirish

formulalari

Keltirish

formulalari

Yig‘indini

ko‘paytmaga

keltirish

Ko‘paytmani

yig‘indiga

keltirish



Qo‘shish formulalari

𝐬𝐢𝐧 𝜶 ± 𝜷 = 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 ± 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷

𝐜𝐨𝐬 𝜶 ± 𝜷 = 𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 ∓ 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷

𝒕𝒈 𝜶 ± 𝜷 =

𝒕𝒈𝜶 ± 𝒕𝒈𝜷

𝟏 ∓ 𝒕𝒈𝜶 ∙ 𝒕𝒈𝜷

Soddalashtiring: 

1

sin 20°



+

3

cos 20°



=

1 ∙ cos 20° + 3 ∙ sin 20°

sin 20° ∙ cos 20°

=

=



2 ∙

1

2 ∙ cos 20° +



3

2 ∙ sin 20°

1

2 ∙ 2 ∙ sin 20° ∙ cos 20°



=

2 ∙ cos 60° − 20°

1

2 ∙ sin 2 ∙ 20°



=

= 4 ∙


cos 40°

sin 40°


= 4𝑐𝑡𝑔40°

Javob:

4𝑐𝑡𝑔40°


1-Masala

Ikkilangan burchak formulalari

𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝛃) =

2-Masala

𝐬𝐢𝐧(𝜶 + 𝜶) =𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶 +𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶

𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 +𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶

𝜷 = 𝜶


𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜶

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶 = 𝐜𝐨𝐬

𝟐

𝜶 − 𝐬𝐢𝐧


𝟐

𝜶 = 𝟏 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧

𝟐

𝜶 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬



𝟐

𝜶 − 𝟏


𝒕𝒈 𝟐𝜶 =

𝟐𝒕𝒈 𝜶


𝟏 − 𝒕𝒈

𝟐

𝜶



𝜋

2

< 𝛼 < 𝜋,

sin 𝛼 =

2

7



bo‘lsa,  cos 2𝛼 =?

cos 2𝛼 = 1 − 2 ∙

2

7

2



= 1 − 2 ∙

4

49



= 1 −

8

49



=

41

49



Javob:  

41

49



Yarim burchak formulalari

3-Masala


𝒕𝒈

𝜶

𝟐



= ±

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶

𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶

=

𝐬𝐢𝐧 𝜶



𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶

=

𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶



𝐬𝐢𝐧 𝜶

Javob: 

3 2


8

𝐬𝐢𝐧


𝜶

𝟐

= ±



𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶

𝟐

𝐜𝐨𝐬



𝜶

𝟐

= ±



𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝜶

𝟐

Yechish:  

cos

8 𝜋


8

=

1+cos



𝜋

4

2



8

=

1+



2

2

2



4

=

2+ 2



4

4

4



,   

sin


8 𝜋

8

=



2− 2

4

4



4

cos


8 𝜋

8

− sin



8 𝜋

8

ifodaning qiymatini toping. 



2+ 2

4

4



4

2− 2



4

4

4



=

2+ 2


4

− 2− 2


4

4

4



=

3 2


8

Keltirish formulalari

sin


𝜋

2

+ 𝛼 = sin



𝜋

2

∙ cos 𝛼 + cos



𝜋

2

∙ sin 𝛼 = cos 𝛼



cos

𝜋

2



+ 𝛼 = cos

𝜋

2



∙ cos 𝛼 − sin

𝜋

2



∙ sin 𝛼 = − sin 𝛼

Keltirish formulalari

Keltirish formulasidan foydalanish qoidasi.

𝜋

2

+𝛼 −𝛼



3𝜋

2

+𝛼



−𝛼

−𝛼

−𝛼



+𝛼

+𝛼

0 = 2𝜋



𝜋

sin 56° ∙ sin 124° − sin 34° ∙ cos 236°

cos 28° ∙ sin 88° + sin 178° ∙ cos 242°

=

4-Masala



=

sin 56° ∙ cos 34 + sin 34° ∙ cos 56°

cos 28° ∙ cos 2° − sin 2° ∙ sin 28°

=

=



sin 90°

cos 30°


=

1

3



2

=

2



3

=

2 3



3

Javob:

2 3


3

Ifodani qiymatini toping 



Keltirish formulalari

5-Masala


Javob: 

1

Yechish:

𝑐𝑡𝑔760°−𝑡𝑔580°

𝑐𝑡𝑔490°+𝑡𝑔590°

=

Hisoblang: 



𝑐𝑡𝑔760°−𝑡𝑔580°

𝑐𝑡𝑔490°+𝑡𝑔590°

=

𝑐𝑡𝑔40°−𝑡𝑔220°



𝑐𝑡𝑔130°+𝑡𝑔230°

=

𝑡𝑔50°−𝑐𝑡𝑔50°



−𝑐𝑡𝑔50°+𝑡𝑔50°

=

𝑡𝑔50°−𝑐𝑡𝑔50°



𝑡𝑔50°−𝑐𝑡𝑔50°

= 1


𝑐𝑡𝑔 720°+40 −𝑡𝑔 360°+220°

𝑐𝑡𝑔 360°+130° +𝑡𝑔 360°+230°

=


Yig‘indini ko‘paytmaga keltirish

6-Masala


Javob: 

𝑐𝑡𝑔𝛼


Yechish:

Ifodani soddalashtiring:   

sin 𝛼+sin 3𝛼+sin 5𝛼+sin 7𝛼

cos 𝛼−cos 3𝛼+cos 5𝛼−cos 7𝛼

𝐬𝐢𝐧 𝜶 + 𝐬𝐢𝐧 𝜷 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧

𝜶+𝜷


𝟐

𝐜𝐨𝐬


𝜶−𝜷

𝟐

,     

𝒔𝒊𝒏 𝜶 − 𝒔𝒊𝒏 𝜷 = 𝟐 𝒔𝒊𝒏

𝜶−𝜷


𝟐

𝒄𝒐𝒔


𝜶+𝜷

𝟐

𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬 𝜷 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬



𝜶+𝜷

𝟐

𝐜𝐨𝐬



𝜶−𝜷

𝟐

,     

𝐜𝐨𝐬 𝜶 − 𝐜𝐨𝐬 𝜷 = −𝟐 𝒔𝒊𝒏

𝜶−𝜷


𝟐

𝐬𝐢𝐧


𝜶+𝜷

𝟐

𝐭𝐠 𝜶 ± 𝐭𝐠 𝜷 =



𝐬𝐢𝐧 𝜶 ± 𝜷

𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷

sin 𝛼+sin 7𝛼 + sin 3𝛼+sin 5𝛼

cos 𝛼−cos 7𝛼 + cos 5𝛼−cos 3𝛼

=

=

2 sin 4𝛼 cos 3𝛼+cos 𝛼



2 sin 4𝛼 sin 3𝛼−sin 𝛼

=

2 sin 4𝛼 cos 3𝛼+2 sin 4𝑎 cos 𝛼



2 sin 3𝛼 sin 4𝛼−2 sin 𝛼 sin 4𝛼

=

cos 3𝛼+cos 𝛼



sin 3𝛼−sin 𝛼

=

2 cos 2𝛼 cos 𝛼



2 sin 𝛼 cos 2𝛼

=

cos 𝛼



sin 𝛼

= 𝑐𝑡𝑔𝛼


Ko‘paytmani yig‘indiga keltirish

7-Masala


Javob:

cos 4𝛼


Yechish:

Ifodani soddalashtiring: 

2 cos

𝜋

4



+ 2𝛼 cos

𝜋

4



− 2𝛼

𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝜷 =

𝟏

𝟐

𝐜𝐨𝐬 𝜶 − 𝜷 − 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝜷



𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 =

𝟏

𝟐



𝐜𝐨𝐬 𝜶 − 𝜷 + 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝜷

𝐬𝐢𝐧 𝜶 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝜷 =

𝟏

𝟐

𝐬𝐢𝒏 𝜶 − 𝜷 + 𝐬𝐢𝐧 𝜶 + 𝜷



𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐭𝐠 𝜷 =

𝒕𝒈 𝜶 + 𝒕𝒈 𝜷

𝐜𝒕𝒈 𝜶 + 𝐜𝒕𝒈 𝜷

2 cos


𝜋

4

+ 2𝛼 cos



𝜋

4

− 2𝛼 =



= 2 ∙

1

2



cos

𝜋

4



+ 2𝛼 −

𝜋

4



+ 2𝛼 + cos

𝜋

4



+ 2𝛼 +

𝜋

4



− 2𝛼

=cos 4𝛼


Darajani pasaytirish formulalari

8-Masala


Javob: 

4 sin


2

𝛼

Yechish:

Ifodani soddalashtiring: 

sin


2

2,5𝛼−sin


2

1,5𝛼


sin 4𝛼 sin 𝛼+cos 3𝛼 cos 2𝛼

𝐬𝐢𝐧


𝟐

𝜶 =


𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶

𝟐

sin



2

2,5𝛼 − sin

2

1,5𝛼 =


1−cos 5𝛼

2



1−cos 3𝛼

2

=



cos 3𝛼−cos 5𝛼

2

= sin 𝛼 sin 4𝛼



sin 4𝛼 sin 𝛼 + cos 3𝛼 cos 2𝛼 =

1

2



cos 3𝛼 − cos 5𝛼 +

1

2



cos 𝛼 + cos 5𝛼 =

=

1



2

cos 3𝛼 + cos 𝛼 = cos 2𝛼 cos 𝛼

𝐜𝐨𝐬

𝟐

𝜶 =



𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶

𝟐

𝒕𝒈



𝟐

𝜶 =


𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶

𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜶

sin 𝛼 sin 4𝛼

cos 2𝛼 cos 𝛼

=

2 sin 2𝛼 cos 2𝛼 sin 𝛼



cos 2𝛼 cos 𝛼

=

4 sin 𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼



cos 𝛼

= 4 sin


2

𝛼


Masalalar yechish

9-Masala


sin 30°

Yechish:

Hisoblang: 

sin 10° ∙ sin 30° ∙ sin 50 ° ∙ sin 70° ∙ sin 90°

=

2



∙ sin 10° ∙

cos 10 °


∙ cos 20 ° ∙ cos 40°

2 ∙ cos 10 °

=

sin 90°


sin 10° ∙ sin 50 ° ∙ sin 70° = sin 10° ∙ cos 20 ° ∙ cos 40° =

sin


𝜋

2

− 𝛼 = cos 𝛼



2 ∙ sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 = sin 2𝛼

=

sin 20° ∙ cos 20 ° ∙ cos 40°



2 ∙ cos 10 °

=

=



sin 40° ∙ cos 40°

4 ∙ cos 10 °

=

sin 80°


8 ∙ cos 10 °

sin


𝜋

2

− 𝛼 = cos 𝛼



=

cos 10°


8 ∙ cos 10 °

=

1



8

sin 30° =

1

2

sin 90° = 1



1

8



1

2

∙ 1 =



1

16

Javob:

1

16


Masalalar yechish

𝒔𝒊𝒏 𝜶 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎° − 𝜶 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝟔𝟎° + 𝜶 =

𝟏

𝟒

𝒔𝒊𝒏 𝟑𝜶



sin 10° ∙ sin 50 ° ∙ sin 70° = sin 10° ∙ sin 60° − 10° ∙ sin 60° + 10° =

=

1



4

∙ sin 3 ∙ 10° =

1

4

∙ sin 30° =



1

4



1

2

=



1

8

𝐜𝐨𝐬 𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° − 𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° + 𝜶 =



𝟏

𝟒

𝐜𝐨𝐬 𝟑𝜶



𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐭𝐠 𝟔𝟎° − 𝜶 ∙ 𝐭𝐠 𝟔𝟎° + 𝜶 = 𝐭𝐠 𝟑𝜶

𝐜𝐭𝐠 𝜶 ∙ 𝐜𝐭𝐠 𝟔𝟎° − 𝜶 ∙ 𝐜𝐭𝐠 𝟔𝟎° + 𝜶 = 𝐜𝐭𝐠 𝟑𝜶



Masalalar yechish

10-Masala

Hisoblang: 

tg 12° ∙ tg 24° + tg 24 ° ∙ tg 54° + tg 54° tg 12°

tg

𝜋

2



− 𝛼 = ctg 𝛼

tg 54° = ctg 36°,   ctg 36° =

1

tg 36°


tg 54° =

1

tg 36°



=

1

tg 24° + 12°



𝑡𝑔 𝛼 + 𝛽 =

𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽

1 − 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑡𝑔𝛽

tg 54° =


1

tg 24° + tg 12°

1 − tg 24° ∙ tg 12°

tg 54° =


1 − tg 24° ∙ tg 12°

tg 24° + tg 12°

tg 54° ∙ tg 24° + tg 12° = 1 − tg 24° ∙ tg 12°

tg 54° ∙ tg 24 ° + tg 54° ∙ tg 12° + tg 12° ∙ tg 24° = 1



Javob:

1


Masalalar yechish

11-Masala

Agar 

sin


𝑎

2

+ cos



𝑎

2

= 1,4 bo‘lsa, sin 2𝑎 ni qiymatini toping.



sin

𝑎

2



+ cos

𝑎

2



2

= 1,4


2

sin


2

𝑎

2



+ 2 ∙ sin

𝑎

2



∙ cos

𝑎

2



+ cos

2

𝑎



2

= 1,96


1 + sin 𝑎 = 1,96 => sin 𝑎 = 0,96, cos 𝑎 =

1 − 0,96


2

= 0,28


sin 2𝑎 = 2 ∙ sin 𝑎 ∙ cos 𝑎 = 2 ∙ 0,96 ∙ 0,28 = 0,5376

Javob:

0,5376


Masalalar yechish

12-Masala

tg 12° = 𝑎 bo‘lsa, tg 69° ni 𝑎 orqali ifodalang.

Javob: 

𝑎

2



−2𝑎−1

𝑎

2



+2𝑎−1

tg 69° = tg 45° + 24° =

tg 24° = tg(2 ∙ 12°) =

1 +


tg 24°

1 −


tg 24°

=

1 +



2𝑎

1 − 𝑎


2

1 −


2𝑎

1 − 𝑎


2

=

1 − 𝑎



2

+ 2𝑎


1 − 𝑎

2

− 2𝑎



=

𝑎

2



− 2𝑎 − 1

𝑎

2



+ 2𝑎 − 1

𝒕𝒈 𝜶 + 𝜷 =

𝒕𝒈𝜶 + 𝒕𝒈𝜷

𝟏 − 𝒕𝒈𝜶 ∙ 𝒕𝒈𝜷

=

tg 45° + tg 24°



1 − tg 45° tg 24°

=

1 +



tg 24°

1 −


tg 24°

=

2 ∙ tg 12°



1 − tg

2

12°



=

2𝑎

1 − 𝑎



2

𝒕𝒈𝟐𝜶 =


𝟐𝒕𝒈𝜶

𝟏 − 𝒕𝒈


𝟐

𝜶


Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar

1.

(M2).



tg 𝛼 va tg 𝛽 5𝑥

2

− 3𝑥 − 1 = 0 tenglama ildizlari bo‘lsa



tg(𝛼 + 𝛽) ni toping.

A.

1

2



B. 1

C.

3

D. 5

2.

(M1).


Soddalashtiring:

sin 2𝛼+cos(𝜋−𝛼)∙sin 𝛼

sin(

𝜋

2



−𝛼)

A.

cos 𝛼


B.

sin 𝛼 C. −cos 𝛼



D.

−2 sin 𝛼


3.

(M2).


Hisoblang:

sin


𝜋

8

∙ cos



𝜋

8

∙ tg



𝜋

8

∙ ctg



9𝜋

8

A.



1

2 2


B.

C.

1

2

D.



3

2

4.



(M2).

sin 𝑥 ∙ sin 𝑦 =



1

4

𝑐𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝑦 = 3



bo‘lsa cos(𝑥 − 𝑦) toping.

A. B. 0,5

C. 1

D. -0,5

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar

5.

(M2).



Yig‘indini toping: 𝑠𝑖𝑛

4

15



0

+ 𝑐𝑜𝑠


4

15

0



A.

5

6



B.

2

3



C.

7

8



D.

5

7



6.

(M1).


Hisoblang:

cos


2

5 + cos


2

1 − cos 6 ∙ cos 4



A. B. 0 C. 0,5 D. 1,5

7.

(M1).



Hisoblang:

cos 15° + 3 sin 15°

A.

B. 2



C.

3

2



D.

2

2



8.

(M2).


sin 𝛼 = −0,8 , 𝛼 ∈ 𝜋;

3𝜋

2



bo‘lsa tg

𝛼

2



ni toping.

A. B. -1

C. 2

D. -2

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar

9.

(M1).



Yig‘indini toping: sin 105° + sin 75°

A.

2+ 3


2

B.

2− 3


2

C.

3 − 2 D.

2 + 3

10.


(M2).

Hisoblang:

cos 2227°30



A.

2+ 2

2

B.



2− 2

4

C.

2− 2

2

D.



2+ 2

4


Bugungi darsimizda

q

o‘shish, ikkilangan

burchak va yarim burchak, keltirish, 

yig‘indi va

ayirmaga doir trigonometrik formulalarni

esga


oldik. 

Trigonometrik formulalar yordamida

masalalar yechish usullarini

ko‘rib chiqdik.

Sizlarga


mustaqil

bajarish


uchun

bergan


topshiriqlarimizni albatta bajarib

ko‘ring.


Darsni yakunlash

A.K.KILICHOV

–………..matematika fani

o‘qituvchisi. 

Telegram: @kilichov123



Telegram kanal: https: @kilichov_uz

Sayt: kilichov.uz

MATEMATIKA

E’TIBORINGIZ UCHUN 

RAHMAT!

ARALASHMAGA OID MASALALAR

MATEMATIKA

Download 0.66 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling