Amaliy matematika va informatika


Download 1.89 Mb.
bet1/3
Sana09.10.2020
Hajmi1.89 Mb.
#133082
  1   2   3
Bog'liq
Yakuniy (КЕЛДИЁРОВ САРДОР)


AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA” YO’NALISHI 3-BOSQICH TALABASI KELDIYOROV SARDORNING “HISOBLASH USULLARI” FANIDAN YOZGAN YAKUNIY NAZORAT ISHI

11-variant

1. Oshkor sxema

2. Runge-Kutta metodlari

3. Chegaraviy masalalarni yechish

4. Integralning qiymatini 3 xona aniqlikda Trapetsiya, Simpson formulalari yordamida hisoblang



5.Quyidagi tеnglama bеrilgan shartlarda Eylеr usuli bilan yеchilsin



JAVOBLAR

1. Oshkor sxema.

Ayirmali sxemani qurish uchun, hamma vaqt erkli o`zgaruvchilar sohasida to’rni aniqlab, shablonni, ya’ni differentsial ifodani ayirmali sxemaga almashtirishda qatnashadigan nuqtalar to`plamini belgilab olish kerak. x o`zgaruvchi bo`yicha h qadam bilan



t o`zgaruvchi bo`yicha  qadam bilan



,

To`rlarni aniqlaymiz.



nuqtalar × to`rning tugin nuqtalarini tashkil qiladi.(1-shaklga qarang)



1-shakl. turi.

={0

={x=0,0,



={x=1,0,

 to`rning chegaraviy nuqtalari deb aytiladi. 1-shaklda chegaraviy tugun nuqtalar chilliqchalar bilan ichki nuqtalar esa doirachalar bilan belgilangan. Vaqt kordinatalari bir-biriga teng bo`lgan  to`rning tugun nuqtalari qatlam deb aytiladi. Masalan n-qatlam deb

(x0,tn),(x1,tn),…,(xN,tn)



tugun nuqtalar to`plamiga aytiladi.

 turda aniqlangan y(x,t) funktsiya uchun

=y(xi,tn),=,= (4)

belgilashlarni qabul qilamiz. Ayrim hollarda soddalik uchun I va n indekslarni tashlab



=,=belgilarni ishlatamiz.

2-shakl. Ayirmali sxemalar shablonlari:



  1. oshkor sxema

  2. sof oshkormas sxema

  3. simmetrik sxema

  4. uch qatlamli sxema

tenglama (1) ni (nuqtada approksimatsiya qilish uchun to`rtta

(), (, ( nuqtadan iborat 2-shaklda tasvirlangan shablonni qaraymiz. ( nuqtada  hosilani  ayirmali ifoda bilan,  ikkinchi tartibli hosilani  ayirmali hosila bilan almashtiramiz.

 o`ng tomonni taqribiy  bilan almashtiramiz,  sifatida quyidagi ifodalardan birini olish mumkin:­­­



natijada


=+ (5)

ayirmali tenglamani hosil qilamiz. Agar  (, bo`yicha birinchi tartibli cheksiz kichik, h bo`yicha ikkinchi tartibli cheksiz kichik miqdorlar bo`lsa, approksimatsiya tartibi ham xuddi shunday bo`ladi, yani  bo`yicha birinchi h bo`yicha ikkinchi tartibli kichik miqdor bo`ladi. Ayirmali sxema deyilganda asosiy diffirentsial tenglamani ichki nuqtalarda approksimatsiya qiladigan ayirmali tenglamalar oilasiga va chegara nuqtalarda esa chegaraviy shartlarni approksimatsiya qiladigan ayirmali tenglamalar oilasiga aytiladi. Hozirgi holda ayirmali sxema

=+…,N-1, 

 (6)

ko`rinishda bo`ladi.


Bu sxema noma`lumlar soni tenglamalar soniga teng bo`lgan chiziqli algebraik yenglamalar sistemsidan iborat.
Bu sistemani qatlamlar bo`yicha yechish lozim. Nol qatlamdagi yechim

boshlang`ich shart orqali boshqariladi.



Agar -qatlamda allaqachon aniqlangan bo`lsa, n+1 qatlamdagi ayirmali yechim

 (7)

oshkor formula yordamida topiladi.



Qiymatlar chegaraviy shartlar orqali aniqlanadi. Shu sababli sxema(6) oshkor deb aytiladi. Sxema (6) xatoligi  ayirma orqali aniqlanadi.



(6)-ga  ni qo`yib xatolik uchun

=+ (8)

 

bunda  ayirnali sxema (6) ning (1)-(3)-tenglama yechimdagi approksimatsiya xatoligi,  Tenglama (8) ning yechimi  ni  orqali baxolab sxema (6) ni  bo`yicha birinchi tartibli bo`yicha ikkinchi tartibli yaqinlashishini ko`rsatish mumkin. Buni biz keyinroq amalga oshiramiz.
Bu yerda biz sxema (6) ning misolida doimiy koeffitsientli tenglamalar uchun ayirmali sxemalarni tadqiq etishning keng tarqalgan metodi bo`lgan garmonkalar metodi yordamida yaqinlashish va turg`unlinking zaruriy shartlarini keltirib chiqaramiz. Sxema (6) ning  shart bajarilganda qo`llash mumkinligini ko`rstamiz.
Buning uchun

= (9)

(5)-ga mos bir jinsli tenglamani qaraymiz.


Tenglama (9) ning xususiy yechimlarini

 (10)

ko`rinishdagi xususiy yechimlarni qidiramiz.


Bu yerda i-mavhum birlik -ixtiyoriy haqiqiy, son, q aniqlanishi zarur bo`lgan doimiy son. (10)-ni (9) ga qo`yib va  ga qisqartirib

 (11)

tenglikni hosil qilamiz, bundan



hosil bo`ladi.


(10)-yechimlarga mos boshlang`ich shartlar  chegaralangan.
Agar q moduli bo`yicha 1 dan katta bo`lsa, unda yechim (10)  o`sadi.
Bu holda ayirmali sxema (9) turg`un emas deb aytiladi, chunki bu holda yechimning boshlang`ich shartlarga uzluksiz bog`liqlik sharti buziladi.
Agar  bo`lsa, unda (10)-ko`rinishli yechimlar barcha haqiqiy -lar uchun, va ixtiyoriy n uchun chegaralangan bo`ladi hamda ayirmali sxema (9) turg`un deyiladi.

Masala (6) turg’unmas bo’lgan holda uning echimini formula (7) bo’yicha toppish mumkin bo’lmaydi, chunki hisoblashning boshida yo’l qo’yilgan xatolik (masalan, yaxlitlash xatoligi) chegarasiz o’sib boradi. Tenglama (9) uchun |q| tengsizlik  bo’lgandagina va faqat shundagina barcha -lar uchun bajariladi. Shunday qilib sxema (6) dan  bo’lganda foydalanish mumkin bo’ladi. Vaqt va fazoviy koordinatalar bo’yicha qadamlar nisbatiga qo’yiladigan shartlarda turg’un bo’lgan sxemalar shartli turg’un sxema deb aytiladi. Shuning uchun sxema (6) shartli turg’un bo’lib, turg’unlik sharti 0,5 ko’rinishdadir. Shartli turg’un sxemalar parabolic tenglamalar uchun ham quyiladi, chunki ular vaqt bo’yicha qadamga katta shart qo’yadilar . Haqiqatdan ham , faraz qilamiz , masalan  bo’lsin. Unda  bo’lishi kerak .  ni hisoblash uchun vaqt bo’yicha qadamlar soni  bo’lishi kerak. Keyingi punktlarda , bu kamchilikdan xoli bo’lgan oshkormas metodlar haqida so’z boradi . Ular ixtiyoriy  uchun turg’undirlar. Bunday sxemalar absolyut turg’un deb aytiladi


Download 1.89 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling