Amaliy matematika va informatika


Download 1.89 Mb.
bet2/3
Sana09.10.2020
Hajmi1.89 Mb.
1   2   3
2. Runge-Kutta metodlari.

Metodlarning tavsifi.





Koshi masalasini qaraymiz.



Runge-Kutta m-bosqichli oshkor metodi quyidagidan iborat.

 qiymat bo’lsin.  koeffitsientlar beriladi va



………………………………………………………..



funksiyalar ketma-ket hisoblanadilar



Undan so’ng



formuladan  topiladi.  , koeffitsientlar aniqlik shartlaridan topiladilar. Masalan, (2)-dastlabki (1)-tenglamani approksimatsiya qilishi uchun

bo’lishi uchun zarur. Ba’zi bir metodlarga alohida to’xtalamiz. M=1 bo’lsa 1-misolda qaralgan Eyler sxemasi hosil bo’ladi.m=2 bo’lganda




 

metodlar majmuasini hosil qilamiz.(3)-mrtodlar approksimatsiyaning parametrlarini tadqiq etamiz.



Oxirgi tengliklardan va  -larni f orqali ifodasini almashtirib



tenglikka ega bo’lamiz.



Approksimatsiya xatoligi ta’rifiga ko’ra (3)-metodning approksimatsiyasi (4)-dan  ni  -aniq yechimi bilan almashtirishdan hosil bo’lgan



ifodaga aytiladi.



U(t) va f(t,y) funksiyalarni yetarlicha silliq deb qarab approksimatsiya tartibini aniqlaymiz. Buning uchun (5)-dagi barcha qiymatlarni Teylor formulasi bo’yicha  -nuqtada yoyib chiqamiz va quyidagilarga ega bo’lamiz.



(1)-ga asosan



shuning uchun





Bundan ko’rinib turibdiki, agar  qilib olinsa, approksimatsiya tartibi birga teng bo’ladi. Agar bunga qo’shimcha ravishda  talab qilsak, approksimatsiya tartibi ikkiga teng bo’ladi. Shunday qilib, ikki bosqichli approksimatsiya tarbibi ikkiga teng bo’lgan bir parametrli Runge-Kutta metodi borligianiqlandi.

Bu metodlar oilasini quyidagicha yozish mumkin.





Bundan 



Xususiy holda,  bo’lganda 3-misol kelib chiqadi.  bo’lganda ikkinchi tartibli

metod hosil bo’ladi.

Uchinchi tartibli ikki bosqichli metod mavjud emas. Bunga ishonch hosil qilish uchun u’=u tenglamani qarash kifoya.

Approksimatsiya tartibi yuqori bo’lgan Runge-Kutta metodlari misoli bor.



Uchinchi tartibli metod:





Uchinchi tartibli metod:







To’rtinchi tartibli metod









To’rtinchi tartibli metod



Runge-Kutta metodlaridan ikkinchisi:







Keltirilgan metodlar Runge-Kutta metodlarining xususiy hollaridir.



Download 1.89 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling