Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo


Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari


Download 402.9 Kb.
bet7/10
Sana20.09.2020
Hajmi402.9 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

5. Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari.

Teskari funksiyaning hosilasi haqidagi teoremadan foydalanib, y=arssinx (-1≤x≤1) funksiyaning hosilasini topaylik.




Bu




funksiyaga




teskari bo‘lgan

x=siny funksiya



π

;

π




da

monoton










2



















































































































2






















o‘suvchi




va









π

;

π




intervalda hosilaga




ega, hamda

bu




intervalning har bir





































2

2



































































1




1







nuqtasida hosila noldan farqli: x'y=cos y≠ 0 . Shuning uchun







y'x=




=




.







x'y

cos y




























































































































Endi −




π




π

intervalda cosy>0


































;

va

bunda cosy=

1 −sin2

x

formula

o‘rinli







2




2


































1













1




















































bo‘lganligi uchun

y’x=




=










bo‘ladi.



















































































































1 −sin2y







1 −x2











































Demak,



















1












































































(arcsin x )' =



















, (-1<x<1)











































































































































1 −x2
























































formula o‘rinli.


Endi y=arccosx (-1≤x≤1) funksiyaning hosilasi uchun formula keltirib chiqaramiz. Bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=cosy funksiya [0,π] da monoton
kamayuvchi, (0;π) da hosilaga ega bo‘lib, bu intervalning har bir nuqtasida noldan farqli x’y=-siny hosilaga ega. Demak, teskari funksiyaning hosilasi haqidagi teorema shartlari o‘rinli. Shu sababli (5.4) ga ko‘ra


y'x=

1

= −




1

= −




1













= −




1



















ham o‘rinli bo‘ladi. (Bu erda (0;π)




x'y




sin y


















































































1 −cos2y










1 −x2























































da siny=




1 −cos2y

ekanligidan foydalandik).

















































Shunday qilib, (arccosx)’= −













1













(-1<x<1) formula o‘rinli ekan.














































1 −x2



















Ma’lumki, y=arctgx funksiyaning qiymatlar to‘plami −




π

;

π

intervaldan







2







































































































x=tgy













2










iborat. Shu

intervalda unga




teskari




bo‘lgan







funksiya

mavjud

va bu




funksiyaning

hosilasi




x'y=




1













noldan

farqli. Teskari funksiyaning

hosilasi







cos2 y







haqidagi teoremadan foydalansak,






























































































y'x=

1

=




1










= cos y =







1




=




1














































( tgy )'




1 +tg2y




1 +x2























































x'y






























































bo‘ladi.


Demak, quyidagi formula o‘rinli:

(arctgx)’= 1 2.

1 +x

Xuddi yuqoridagi kabi y=arcstgx funksiya uchun

(arcstgx)’=- 1 2

1 +x



formulaning o‘rinli ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Teskari trigonometrik funksiyalarning argumentlari x erkli o‘zgaruvchining u(x) funksiyasi bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasidanquyidagi formulalar kelib chiqadi:


(arcsinu(x))’=




u' ( x )







; (arccosu(x))’=-










u' ( x )




;











































1 −u2( x )




1 −u2( x )




(arctgu(x))’=







u' ( x )




;




(arcstgu(x))’=-







u' ( x )




;




1 +u2( x )




1 +u2( x )































Download 402.9 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling