Andijon qishloq xo‘jaligi va agrotexnologiyalar instituti axborot texnologiyalari va matematika kafedrasi assistenti iskandarov davlatbek

ANDIJON QISHLOQ XO‘JALIGI VA AGROTEXNOLOGIYALAR INSTITUTI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA MATEMATIKA KAFEDRASI ASSISTENTI ISKANDAROV DAVLATBEK

https://t.me/davlatbek87

Email: [e-mail]

Mavzu: Vektorlar

Reja:

• Asosiy tushunchalar
• Vektorlar ustida amallar
• Amallarning asosiy xossalari
• Vektorlarning yo’yilmasi
• Vektorning proyeksiyalari
• Koordinata ko’rinishdagi vektorlar ustida amallar

Asosiy tushunchalar

Matematik miqdor

Skalyar miqdor

(Sonli qiymati

bilan xarakterlanadi)

Vektor miqdor.

(Sonli qiymati va yo’nalish

bilan xarakterlanadi)

Masalan, uzunlik, yuz, hajm, tempraturalar skalyar miqdordir

Masalan, tezlik, tezlanish, kuch, kuch impulsi vektor miqdordir

Asosiy tushunchalar

• 1 ta’rif.
• Vektor deb yo’nalishga va ma’lum uzunlikga ega bo’lgan kesmaga aytiladi.
• 2 ta’rif.
• Vektorning moduli (vektorning uzunligi) deb kesmaning uzunligi aytiladi :

А

В

Belgilanishi:

Asosiy tushunchalar

• - vektor, boshi va oxiri ustma-ust tushadigan vektor.
• 3-ta’rif.
• Agar vektorlar bir to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqda yotsalar, ular kollinear vektorlar deyiladi.

4- ta’rif.

Ikki vektorni yo’nalishlari ustma-ust

tushishi uchun ulardan birini burish

mumkin bo’lgan burchaklarni eng

Kichigiga ular orasidagi burchak

deyiladi.

Belgilanishi:

Asosiy tushunchalar

• 5- ta’rif.
• Agar ikkita vektor bir xil yo’nalishga va bir xil uzunlikka ega bo’lsa, ular teng vektorlar deb ataladi.
• Natija.
• Vektor va uni parellel ko’rishdan hosil bo’lgan vektor tengdir.

Asosiy tushunchalar

6-ta’rif.

Agar ikkita vektor kolleniar, bir xil uzunlika ega va

qarama – qarshi yo’nalishda bo’lsa, ular qarama – qarshi

vektorlar deb ataladi

7-ta’rif.

Agar vektorlar bitta tekislikda yoki parallel

tekislikda yotsalar, ular komplanar

vektorlar deb ataladi.

Eslatma. Ikkita vektor har doim komplanar.

Vektorlar ustida amallar

Vektorlarning yig’indisi.

1-ta’rif (uchburchak qoidasi).

Agar bir vektorning boshi ikkinchi vektorning oxiri bilan ustma–ust tushsa, u holda ikkinchi vektorning boshi bilan birinchi vektorning oxirini tutashtiruvchi vektorga birinchi va ikkinchi vektorlarning yig’indisi deyiladi.

Vektorlar ustida amallar

Vektorlarning yig’indisi.

2-ta’rif (parallelogram qoidasi).

Agar birinchi va ikkinchi vektorlarning boshlanishi ustma-ust tushib, ulardan parallelogram yasash mumkin bo’lsa, u holda umumiy boshdan o’tuvchi dioganal vektorga bu vektorlarning yig’indisi deb ataladi.

Vektorlar ustida amallar

Vektorlarning ayirmasi.

1-ta’rif.

vektorlarning ayirmasi deb, shunday tenglik bajariladigan vektorga aytiladi.

2-ta’rif.

Agar birinchi va ikkinchi vektorlarning

boshlari ustma-ust tushsa u holda bu

vektorlarning ayirmasi deb ularning oxirlarini tutashtiruvchi va yo’nalishi ayiruvchi vektorning oxiridan kamayuvchi vektorning oxiriga yo’nalgan vektorga aytiladi

Vektorlar ustida amallar

Vektorning songa ko’paytmasi.

Ta’rif.

vektorning songa ko’paytmasi deb,

vektorga kollinear, modul bo’yicha ga teng,

bo’lganda yo’nalishi vektor kabi,

bo’lganda yonalishi vektorga qarama-qarshi bo’lgan

vektorga aytiladi

Vektorlar ustida amallar

Misol.

vektor berilgan. Quyidagi vektorlarni yasang:

Yasash:

Teorema.

bo’lsin. va vektorlar kollinear bo’ladi faqat va

faqat, shunday o’zgarmas son topilib, bo’lsa

Amallarning asosiy xossalari

• 1.
• 2.
• 3.
• 4.
• 5.
• 6.

Vektorlarning yo’yilmasi

1-teorema.

va vektorlar nokollenear

komplanar vektorlar bo’lsin.

U holda shunday va topiladiki,

Bunday yoyilma yagonadir.

Isbot.

Vektorlarning yo’yilmasi

Vektorlarning ortlar bo’yicha yoyilmasi.

1-ta’rif.

vektorning orti deb uzunligi birga yo’nalishi

vektor yo’nalishi kabi bo’lgan

vektorga aytiladi.

Vektorlarning yo’yilmasi

To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini qaraymiz.

• 3-teorema.

Fazoda ixtiyoriy vektorni ortonormal

bazislar bo’yicha yoyish mumkin :

Bunday yoyilma yagonadir.

x

y

z

0

- x, y, z oqlar yo’nalishi

bo’yicha birlik vektorlar (ortlar).

2-ta’rif.

vektorlar uchligiga fazoda

ortonormallangan bazis deb ataladi.

Vektorning proyeksiyalari

• vektorni va o’qni qaraymiz .
• Ta’rif.
• vektorning o’qga proyeksiyasi deb, shu o’qdagi
• vektorning oxiri va vektornig boshini proyeksiyalarini ayirmasiga aytiladi;

0

Vektorning proyeksiyalari

• Proyeksiyaning xossalari.
• 1.
• 2.
• 3.
• 4. Vektor koordinatalari va o’qlardagi proyeksiyalari orasidagi bog’lanish.
• vektorning tekislikdagi yoyilmasi quyidagicha:

х

у

0

Vektorning proyeksiyalari

Fazoda:

Natija.

Agar vektor ikkita nuqta bilan berilgan, ya’ni

- boshi, - oxiri, bo’lsa,

u holda

Koordinata ko’rinishdagi vektorlar ustida amallar

• Vektorlarni yig’indisi va ayirmasi,
• vektorni songa ko’paytmasi.
• bo’lsa, u holda
• 1.
• 2.

Vektor moduli

Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi

•  

Koordinata ko’rinishdagi vektorlar ustida amallar

Koordinata ko’rinishda berilgan vektorlarning kollinearligini zaruriy va yetarli shartlari.

Ikkita nol bo’lmagan vektorlar kollinear deyiladi,

faqat va faqat qachonki mos koordinatalari

proporsional bo’lsa.

bo’lsa, u holda

Isbot.

Mavzuga doir mustahkamlash uchun savollar

• 1. Miqdorlar qanday turlarga bo’linadi va ularni farqlab bering.
• 2. Vektorlar ustida qanday amallar bajarish mumkin (izohlab bering).
• 3. Kolleniar va komplanar vektorlar deganda nimani tushunasiz.