Aniq integralni taqribiy hisoblash


Download 0.77 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/6
Sana18.09.2020
Hajmi0.77 Mb.
  1   2   3   4   5   6

Aniq integralni taqribiy hisoblash

Odatda,  aniq  integrallar  Nyuton-Leybnits  formulasi  yordamida  hisoblanadi. 

Bu  formula  boshlang`ich  funksiyaga  asoslanadi.  Ammo  boshlang`ich  funksiyani 

topish masalasi doim osongina hal bo`lavermaydi. Agar integral ostidagi funksiya 

murakkab bo`lsa, tegishli aniq integralni taqribiy hisoblashga to`g`ri keladi. 

1

0

. To`g`ri to`rtburchaklar formulasi. Faraz qilaylik, 

)

(x



f

 funksiya 

]

,

[



b

a

segmentda berilgan va uzluksiz bo`lsin. Demak, 

])

,

([



)

(

b



a

R

x

f



Masala 



b



a

dx

x

f

)

(



 integralni taqribiy hisoblashdan iborat. 

]

,



[

b

a

  oraliqni 



b

x

x

x

x

x

a

n

n



,

,...,



,

,

1



2

1

0



  nuqtalar 



n

x

x

x

x



...



2

1

0



yordamida 

n

ta 


teng 

bo`lakka 

bo`lib, 

har 


bir 

)

1



,...,

2

,



1

,

0



(

]

,



[

1





n



k

x

x

k

k

bo`yicha integralni quyidagicha        

)

(

)



(

)

2



(

)

(



2

1

1



1

1











k

x

x

k

k

k

k

x

f

n

a

b

x

x

x

x

f

dx

x

f

k

k

taqribiy hisoblaymiz, bunda 



n

a

b

x

x

n

a

b

k

a

x

x

x

n

a

b

k

a

x

k

k

k

k

k

k











1

1



2

1

,



)

2

1



(

2

,



  

).

1



,...,

2

,



1

,

0



(



n

k

 

Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz: 









1

0



1

2

1



...

)

(



...

)

(



)

(

)



(

x

x

x

x

x

x

b

a

k

k

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

 

...



)

(

)



(

)

(



)

(

...



2

1

2



2

1

1



2

1

1











x

f

n

a

b

x

f

n

a

b

x

f

n

a

b

dx

x

f

n

n

x

x

)].


(

...


)

(

...



)

(

)



(

[

)



(

...


)

(

...



2

1

2



1

2

1



1

2

1



2

1

2



1















n

k

n

k

x

f

x

f

x

f

x

f

n

a

b

x

f

n

a

b

x

f

n

a

b

Natijada  





b

a

dx

x

f

)

(



 

integralni taqribiy hisoblash uchun quyidagi 

)

(

)



(

1

1



2

1







n

k

k

b

a

x

f

n

a

b

dx

x

f

        


    (1) 

formulaga kelamiz. 

(1) formula to`g`ri to`rtburchaklar formulasi deyiladi. 

Endi (1) taqribiy formulaning xatoligini aniqlaymiz.  

(1) formulaning xatoligini 







1

0

2



1

)

(



)

(

n



k

k

b

a

n

x

f

n

a

b

dx

x

f

R

      (2) 

deylik. 

Aytaylik, 

)

(x



f

  funksiya 

]

,

[



b

a

  segmentda  uzluksiz 

)

(x



f



  hosilaga  ega 



bo`lsin.  

Avvalo 


n

R

 ni quyidagicha yozib olamiz: 

.

)]

(



)

(

[



)

(

)



(

)

(



)

(

1



0

2

1



1

0

2



1

1

0



1

0

1



0

2

1



1

1

1



dx

x

f

x

f

dx

x

f

dx

x

f

x

f

n

a

b

dx

x

f

R

n

k

k

n

k

x

x

k

n

k

x

x

n

k

n

k

x

x

k

n

k

k

k

k

k

k



 



 

 



















Teylor formulasidan foydalanib topamiz: 

2

2



1

2

1



2

1

2



1

)

(



)

(

2



1

)

(



)

(

)



(

)

(















k

k

k

k

k

x

x

f

x

x

x

f

x

f

x

f

(bunda 



k

 son 



x

 va 


2

1



k

x

  sonlar orasida). Natijada 





 

























1

1

1



)

)

(



)

(

2



1

)

(



)

(

(



)

)

(



)

(

2



1

)

(



)

(

(



2

2

1



1

0

2



1

2

1



1

0

2



2

1

2



1

2

1



k

k

k

k

k

k

x

x

k

k

n

k

x

x

k

k

n

k

x

x

k

k

k

k

n

dx

x

x

f

dx

x

x

x

f

dx

x

x

f

x

x

x

f

R



bo`ladi. 

Ravshanki, 









1



0

2

1



k

k

x

x

k

dx

x

x

Demak,        



 

 














1

0



2

1

1



.

2

1



n

k

x

x

k

k

n

k

k

dx

x

x

f

R

 



O`rta qiymat haqidagi teoremaga binoan 

)

]



,

[

(



)

(

12



)

(

)



(

12

)



(

)

(



)

(

)



(

)

(



1

*

*



3

3

*



2

1

2



2

1

*



2

2

1



1

1

























k

k

k

k

k

k

k

x

x

k

x

x

k

k

k

x

x

f

n

a

b

f

x

x

dx

x

x

f

dx

x

x

f

k

k

k

k





bo`ladi. 

Shunday  qilib, 



n

R

  uchun ushbu 















1

0



*

2

3



1

0

3



3

)

(



1

24

)



(

)

(



12

)

(



2

1

n



k

k

k

n

k

n

f

n

n

a

b

f

n

a

b

R



 

ifodaga  kelamiz. 

Ravshanki,      

n

f

f

f

n

n

n

k

k

)

(



...

)

(



)

(

)



(

1

*



1

*

1



*

0

1



0

*

















miqdor 



)

(

)



1

,...,


2

,

1



,

0

],



,

[

(



*

x

f

n

k

b

a

k







ning 

]

,



[

b

a

  oraliqdagi  eng  kichik  



m



 hamda eng katta 



M



 qiymatlar orasida, 











1

0



*

)

(



1

n

k

k

M

f

n

m

bo`ladi. 



Shartga  ko`ra 

)

(x



f



  funksiya 



]

,

[



b

a

  da  uzluksiz.  Uzluksiz  funksiyaning 

xossasiga muvofiq 

)

,



(

b

a

 da shunday 

 nuqta topiladiki, 











1

0

*



)

(

1



)

(

n



k

k

f

n

f



bo`ladi. 

Natijada 



n

R

 uchun quyidagi 



)

(

24



)

(

2



3



f



n

a

b

R

n





tenglikka  kelamiz. 

Demak,  

)

(



24

)

(



)

(

)



(

2

3



1

0

2



1



f



n

a

b

x

f

n

a

b

dx

x

f

n

k

k

b

a









bo`ladi. 



Shunday qilib, 

]

,



[

b

a

 oraliqda ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo`lgan 

)

(x



f

 funksiyaning 



b

a

dx

x

f

)

(



 

integralini  (1)  tug`ri  to`rtburchaklar    formulasi  yordamida  taqribiy  hisoblansa,  bu 

taqribiy hisoblash  xatoligi quyidagi 

))

,



(

(

)



(

24

)



(

2

3



b

a

f

n

a

b

R

n







 

formula bilan ifodalanadi. 



2

0

. Trapetsiyalar formulasi. 

)

(x



f

 funksiyaning



b

a

dx

x

f

)

(



integralini taqribiy hisoblash uchun, avvalo 

]

,



b

a

 segmentni 



b

x

x

x

x

x

a

n

n



,

,...,



,

,

1



2

1

0



 

nuqtalar 

yordamida 

n

 

ta 



teng 

bo`lakka 

bo`linadi. 

So`ng 


har 

bir 


)

1

,...,



2

,

1



,

0

(



]

,

[



1





n

k

x

x

k

k

 bo`yicha integralni  quyidagicha 









1

)



1

,...,


2

,

1



,

0

(



)

(

2



)

(

)



(

)

(



1

1

k



k

x

x

k

k

k

k

n

k

x

x

x

f

x

f

dx

x

f

taqribiy hisoblanadi. Natijada ushbu 



...

)

(



2

)

(



)

(

)



(

2

)



(

)

(



)

(

...



)

(

)



(

)

(



1

2

2



1

0

1



1

0

1



0

2

1



1













x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

b

a

x

x

x

x

x

x

n

n



)

(

...



)

(

)



(

2

)



(

)

(



2

)

(



2

)

(



)

(

...



1

2

1



0

1

1













n



n

n

n

n

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

a

b

x

x

x

f

x

f

formulaga kelamiz. Demak, 

.

)]

(



...

)

(



)

(

2



)

(

)



(

[

)



(

1

2



1

0









n

b

a

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

n

a

b

dx

x

f

 (3)  


(3)  formula trapetsiyalar formulasi deyiladi. 

Bu taqribiy formulaning hatoligi 

)

(

,



x

f

R

n

 funksiya 



]

,

b



a

 da uzluksiz 

)

(x



f



hosilaga ega bo`lishi shartida ,



 

))

,



(

(

12



)

(

2



3

b

a

f

n

a

b

R

n









bo`ladi. 

Demak, 


).

(

12



)

(

)]



(

...


)

(

)



(

2

)



(

)

(



[

)

(



2

3

1



2

1

0





f

n

a

b

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

n

a

b

dx

x

f

n

b

a

n













Download 0.77 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling