Aniq integralni taqribiy hisoblash


Download 0.77 Mb.
Pdf ko'rish
bet2/6
Sana18.09.2020
Hajmi0.77 Mb.
1   2   3   4   5   6

3

0

. Simpson  formulasi. Bu holda 

)

(x



f

 funksiyaning



b

a

dx

x

f

)

(



integralini  taqribiy  hisoblash  uchun 

]

,



b

a

  segmentni 

,

,

,...,



,

1

2



2

1

0





k



k

x

x

x

x

a

b

x

x

x

x

n

n

n

k



2



1

2

2



2

2

2



,

,

...,



,

 nuqtalar yordamida 



n

2

 ta teng bo`lakka bo`lib, har bir



)

1

,...,



2

,

1



,

0

(



]

,

[



2

2

2





n

k

x

x

k

k

 bo`yicha integralni quyidagicha  





)

1



,...,

1

,



0

(

)



(

)

(



4

)

(



6

)

(



)

(

4



)

(

6



)

(

2



2

1

2



2

2

2



1

2

2



2

2

2



2

2

2















n

k

x

f

x

f

x

f

n

a

b

x

f

x

f

x

f

x

x

dx

x

f

k

k

k

k

k

k

x

x

k

k

k

k

taqribiy hisoblanadi. Natijada  













)



(

4

)



(

(

))



(

)

(



4

)

(



[(

6

)



(

...


)

(

)



(

)

(



3

2

2



1

0

2



0

4

2



2

2

2



x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

n

a

b

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

b

a

x

x

x

x

x

x

n

n

))].


(

...


)

(

)



(

(

2



))

(

...



...

)

(



)

(

(



4

))

(



)

(

[(



6

))]


(

)

(



4

)

(



(

...


))

(

2



2

4

2



1

2

3



1

2

0



2

1

2



2

2

4

















n

n

n

n

n

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

n

a

b

x

f

x

f

x

f

x

f

hosil bo`ladi. Demak, 

...

)

(



)

(

(



4

)

(



)

(

[



6

)

(



3

1

2



0







x



f

x

f

x

f

x

f

n

a

b

dx

x

f

n

b

a

))].


(

...


)

(

)



(

(

2



))

(

...



2

2

4



2

1

2









n

n

x

f

x

f

x

f

x

f

  (4 ) 


(4) formula Simpson formulasi deyiladi. 

Bu  taqribiy  formulaning  hatoligi 



n

R





)

(x



f

  funksiya 

]

,

[



b

a

  da  uzluksiz 

)

(

)



(

x

f

iv

 hosilaga ega bo`lishi shartida, 

))

,

(



(

)

(



2880

)

(



)

(

4



5

b

a

f

n

a

b

R

iv

n







bo`ladi. Demak, 



).

(

2880



)

(

))]



(

...


)

(

)



(

(

2



))

(

...



)

(

)



(

(

4



)

(

)



(

[

6



)

(

)



(

4

5



2

2

4



2

1

2



3

1

2



0



iv



n

n

n

b

a

f

n

a

b

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

n

a

b

dx

x

f













Misol. Ushbu 

dx

е

x



1

0

2



integral  to`g`ri  to`rtburchaklar, trapetsiyalar  va Simpson  formulalari  yordamida 

taqribiy hisoblansin. 

◄ 

]

1



,

0

[



 segmentni 5 ta teng bo`lakka bo`lamiz. Bunda bo`linish nuqtalari 

0

,



1

,

8



,

0

,



6

,

0



,

4

,



0

,

2



,

0

,



0

5

4



3

2

1



0







x

x

x

x

x

x

 

bo`lib, bu nuqtalarda 



2

)

(



x

e

x

f



 funksiyaning qiymatlari quyidagicha bo`ladi:

,

85214



,

0

)



(

,

96079



,

0

)



(

,

00000



,

1

)



(

2

1



0





x

f

x

f

x

f

.

36788



,

0

)



(

,

52729



,

0

)



(

,

69768



,

0

)



(

5

4



3





x

f

x

f

x

f

Har bir bo`lakning o`rtasini ifodalovchi nuqtalar 

9

,

0



,

7

,



0

,

5



,

0

,



3

,

0



,

1

,



0

2

9



2

7

2



5

2

3



2

1







x

x

x

x

x

 

bo`lib, bu nuqtalardagi funksiyaning qiymatlari quyidagicha bo`ladi: 



.

44486


,

0

)



(

,

61263



,

0

)



(

,

77680



,

0

)



(

,

91393



,

0

)



(

,

99005



,

0

)



(

5

9



5

7

2



5

2

3



2

1







x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

a) To`g`ri to`rtburchaklar formulasi bo`yicha

74805


,

0

74027



,

3

5



1

)

44486



,

0

61263



,

0

77680



,

0

91393



,

0

99005



,

0

(



5

1

1



0

2











dx

e

x

bo`lib, 


003

,

0



300

1

25



12

1





n

R

bo`ladi. 



b) Trapetsiyalar formulasi bo`yicha





85214



,

0

96079



,

0

2



36788

,

0



00000

,

1



(

5

1



1

0

2



dx

e

x

 





)

03790



,

3

68394



,

0

(



5

1

)



52729

,

0



69768

,

0



74437

,

0



72184

,

3



5

1



bo`lib,      



006

,

0



150

1

25



6

1







n

R

bo`ladi. 



v) Simpson formulasi bo`yicha









96079


,

0

(



2

)

44486



,

0

61263



,

0

77680



,

0

91393



,

0

99005



,

0

(



4

)

36788



,

0

00000



,

1

[(



30

1

1



0

2

dx



e

x

74682


,

0

)



96108

,

14



07580

,

6



36788

,

1



(

30

1



)

03790


,

3

2



)

74027


,

3

4



36788

,

1



(

30

1



)]

52729


,

0

69768



,

0

85214



,

0











bo`lib,         

5

4



10

7

,



0

5

2880



12







n

R

bo`ladi. 



Aniq integralning bazi tadbiqlari

Tekis shaklning yuzi tushunchasi. Ma’lumki, 

)

,



(

y

x

 juftlik, 

)

,

(



R

y

R

x



tekislikda nuqtani ifodalaydi. Koordinatalari ushbu  

)

,

,



,

(

,



R

d

R

c

R

b

R

a

d

y

c

b

x

a







 

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi tekislik nuqtalaridan hosil bo`lgan 

0

D

 to`plam : 

]}

,

[



],

,

[



);

,

{(



0

d

c

y

b

a

x

y

x

D



 

to`g`ri to`rtburchak deyiladi (8-chizma) 



Bu  to`g`ri  to`rtburchakning  tomonlari  (chegaralari)  mos  ravishda 

koordinatalar o`qiga parallel bo`ladi. 

0

D

 to`g`ri to`rtburchakning yuzi deb (uning chegarasining, ya’ni 

)

(

,



),

(

,



b

x

a

d

y

c

y

d

y

c

b

x

a

x







to`g`ri  chiziq  kesmalarining 

0

D

  ga  tegishli  bo`lishi  yoki  tegishli  bo`lmasligidan 

qat’iy nazar) ushbu 

)

(

)



(

)

(



0

c

d

a

b

D





 

miqdorga aytiladi. 

Aytaylik, tekislik nuqtalaridan iborat biror 

Q

  to`plam berilgan bo`lsin. 

Agar shunday 

0

D

 to`g`ri to`rtburchak topilsaki, 

0

D



Q

bo`lsa, 



Q

 chegaralangan to`plam deyiladi. 

Har  qanday  chegaralangan    tekislik  nuqtalaridan  iborat  to`plam  tekis  shakl 

deyiladi. 



Agar  tekis  shakl  chekli  sondagi  kesishmaydigan  to`g`ri  to`rtburchaklarning 

birlashmasi sifatida ifodalansa, uni to`g`ri ko`pburchak deymiz.(9-chizma) 

Bunday  to`g`ri  ko`pburchakning  yuzi  deb,  uni  tashkil  etgan  to`g`ri 

to`rtburchaklar yuzalari yig`indisiga aytiladi. 

To`g`ri ko`pburchak yuzi quyidagi xossalarga ega: 

1) To`g`ri ko`pburchak yuzi har doim manfiy bo`lmaydi:  

;

0

)



(



D

2) Kesishmaydigan ikki



1

 va 

2

 to`g`ri ko`pburchaklar-dan tashkil topgan 

to`g`ri ko`pburchak yuzi 

1

 va 

2

 larning yuzalari yig`indisiga teng: 

;

)



(

)

(



)

(

2



1

2

1



D

D

D

D





 

3) Agar



1

 va 

2

 to`g`ri ko`pburchaklar uchun 

2

1

D



D

bo`lsa, u holda 



)

(

)



(

2

1



D

D



 

bo`ladi. 



Tekislikda  biror  chegaralangan 

Q

  shakl  berilgan  bo`lsin.  Bu  shaklning 

ichiga 

A

  to`g`ri  ko`pburchak 

)

(

Q



A

,  so`ngra 



Q

  shaklni  o`z  ichiga  olgan 



B

 

to`g`ri ko`pburchak 



)

(

B



Q

 lar chizamiz. Ularning yuzlari mos ravishda 



)

A

 va 


)

(B

 bo`lsin. 



Ravshanki, bunday to`g`ri ko`pburchaklar ko`p bo`lib, ularning yuzalaridan 

iborat {


)

A

} va {


)

(B

} to`plamlar hosil bo`ladi. 



Ayni paytda, bu sonli to`plamlar chegaralangan bo`ladi. Binobarin, ularning 

aniq chegaralari 

)}

(

inf{



)},

(

sup{



B

A



 

lar mavjud. 



1-ta’rif. Agar 

)}

(



inf{

)}

(



sup{

B

A



 

bo`lsa, 



Q

 shakl yuzaga ega deyiladi. Ularning umumiy qiymati 



Q

 shaklning yuzi 

deyiladi va 

)

(Q



 kabi belgilanadi: 

)}

(

inf{



)}

(

sup{



)

(

B



A

Q





 

1-teorema. Tekis shakl 

Q

 yuzaga ega bo`lish uchun 

0





 son olinganda 

ham  shunday 

)

(



Q

A

A

  va 



)

(

B



Q

B

  to`g`ri  ko`pburchaklar  topilib,  ular 



uchun 





)

(

)



(

A

B

 

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli. 



◄ Zarurligi. Aytaylik, 

Q

shakl yuzaga ega bo`lsin. Unda ta’rifga binoan 

)

(

)}



(

inf{


)}

(

sup{



Q

B

A





 

bo`ladi. 

Modomiki, 

)

(



)}

(

inf{



),

(

)}



(

sup{


Q

B

Q

A





ekan, unda 

0





 olinganda ham shunday to`g`ri ko`pburchak 

)

(

Q



A

A

 hamda 



shunday to`g`ri ko`pburchak  

)

(



B

Q

B

 topiladiki, 



2

)

(



)

(

,



2

)

(



)

(









Q

B

A

Q

bo`ladi. Bu tengsizliklardan 



 )A(



 



 )B(

 



bo`lishi kelib chiqadi. 


Download 0.77 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling