Aniq integralni taqribiy hisoblash


Download 0.77 Mb.
Pdf ko'rish
bet3/6
Sana18.09.2020
Hajmi0.77 Mb.
1   2   3   4   5   6

Yetarliligi.  Aytaylik, 

)

(



Q

A

A

  va 



)

(

B



Q

B

  to`g`ri  ko`pburchaklar 



uchun 





)

(

)



(

A

B

 tengsizligi bajarilsin. 

Ravshanki, 

.

}



)

(

inf{



)

(

,



)}

(

sup{



)

(

B



B

A

A





Bu munosabatlardan 









)

(

)



(

)}

(



sup{

)}

(



inf{

A

B

A

B

 

bo`lishini topamiz.   



-ixtiyoriy musbat son bo`lganligidan 

)}

(

inf{



)}

(

sup{



B

A



 

bo`lishi kelib chikadi. Demak, 



Q

 shakl yuzaga ega. ► 

Shunga o`xshash quyidagi teorema isbotlanadi. 

2-teorema. Tekis shakl 

Q

 yuzaga ega bo`lishi uchun 

0





 son olinganda 

ham shunday yuzaga ega tekis shakllar 

P

 va 


S

  lar  


)

,

(



S

Q

Q

P



 topilib, ular 

uchun 


      





)

(

)



(

P

S

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli. 



2

0

. Egri  chizikli  trapetsiyaning    yuzini    hisoblash.  Faraz  qilaylik, 

]

,



[

)

(



b

a

C

x

f

 bo`lib, 



]

,

b



a

x



  da 

0

)



(



x



f

 bo`lsin. 

Yuqoridan 

)

(x



f

  funksiya  grafigi,  yon  tomonlardan 



b

x

a

x



,

  vertikal 

chiziqlar hamda pastdan absissa o`qi bilan chegaralangan 

Q

 shaklni qaraylik. (10-

chizma) 


10-chizma 

Odatda, bu shakl egri chiziqli trapetsiya deyiladi.  

]

,

[



b

a

 segmentni ixtiyoriy  

)

...


(

}

,...,



,

,

{



2

1

0



2

1

0



b

x

x

x

x

a

x

x

x

x

P

n

n





 



bo`laklashni olamiz. Bu bo`laklashning har bir 

]

,



[

1



k

k

x

x

  oralig`ida 

    

k

k

M

x

f

m

x

f



)}

(

sup{



,

)}

(



inf{

   


)

1

,...,



2

,

1



,

0

(





n



k

mavjud bo`ladi. 

Endi asosi 

k

k

k

x

x

x



1



, balandligi 

k

m

 bo`lgan 

)

1

,...,



2

,

1



,

0

(





n



k

 to`g`ri 

to`rtburchaklarning birlashmasidan tash-kil topgan to`g`ri ko`pburchakni 

A

 deylik. 

Shuningdek, 

asosi 


k

k

k

x

x

x



1



balandligi 



k

M

 

bo`lgan 



)

1

,...,



2

,

1



,

0

(





n



k

 to`g`ri to`rtburchaklarning birlashmasidan tashkil topgan to`g`ri 

ko`pburchakni 

B

 deylik. Ravshanki,  



B

Q

Q

A



,

 

bo`lib, ularning yuzalari 











1

0

1



0

)

(



,

)

(



n

k

n

k

k

k

k

k

x

M

B

x

m

A



bo`ladi. 

Bu  yig`indilarni 

)

(x



f

    funksiyaning 

]

,

[



b

a

  segmentining 



P

  bo`laklashiga 

nisbatan Darbuning quyi hamda yuqori  yig`indilari ekanini payqash qiyin emas: 

).

;



(

)

(



,

)

;



(

)

(



P

f

S

B

P

f

s

A



 



]

,

[



)

(

b



a

C

x

f

  bo`lgani  uchun 



)

(x



f

  funksiya 

]

,

[



b

a

  da  integralla-nuvchi  bo`ladi. 

Unda  integrallanuvchilik  mezoniga  ko`ra,   

0



  olinganda  ham 



]

,

[



b

a

 

segmentning shunday 



P

 bo`laklashi topiladiki, 





)

;

(



)

;

(



P

f

s

P

f

S

 

bo`ladi. Birobarin, ushbu 





)



(

)

(



A

B

 

tengsizlik  bajariladi.  Bu  esa,  1-teoremaga  muvofiq,  qaralayotgan  egri  chiziqli 



trapetsiyaning yuzaga ega bo`lishini bildiradi. Unda ta’rifga ko`ra 

)}

(



inf{

)}

(



sup{

B

A



 


bo`ladi. 

Ayni paytda, 







b

a

b

a

dx

x

f

B

dx

x

f

A

)

(



)}

(

inf{



,

)

(



)}

(

sup{



bo`lganligi sababli 



Q

 egri chiziqli trapetsiyaning yuzi 



b



a

dx

x

f

Q

)

(



)

(



     

   (1) 


ga teng bo`ladi. 

1-misol. Tekislikda ushbu 

1

2



2

2

2





b



y

a

x

 

ellips bilan chegaralangan 



Q

 shaklning yuzi topilsin. 

◄Ellips  bilan  chegaralangan 

Q

  shaklning  yuzi 



OX

  va 


OY

  koordinata 

o`qlari hamda 

a

x

a

x

b

x

f





0

,

1



)

(

2



2

chiziqlar  bilan  chegaralangan  egri  chiziqli  trapetsiya  yuzi-ning  4  tasiga  teng 

bo`ladi.  (11-chizma ).  

Unda  (1)  formuladan foydalanib topamiz: 











,

cos



2

0

,



sin

4

1



4

)

(



0

2

2



0

2

2



tdt

a

dx

t

t

a

x

dx

x

a

a

b

dx

a

x

b

Q

a

a







2

0

2



2

.

4



4

cos


4





ab

ab

tdt

a

a

b

► 

Aytaylik, 



]

,

[



)

(

,



]

,

[



)

(

2



1

b

a

C

x

f

b

a

C

x

f



 bo`lib, 

]

,



b

a

x



 da 

)

(



)

(

0



2

1

x



f

x

f



bo`lsin. 

Tekislikdagi 



Q

 shakl quyidagi 



b

x

a

x

x

f

y

x

f

y



,



,

)

(



,

)

(



2

1

chiziqlar bilan chegaralangan shaklni ifodalasin (12-chizma) 



Bu shaklning yuzi 









b

a

b

a

b

a

dx

x

f

x

f

dx

x

f

dx

x

f

Q

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

1



2

1

2



    


 (2) 

bo`ladi. 



2-misol. Tekislikda ushbu 

x

x

y

x

y

2

,



4

2

2





 

chiziqlar (parabolalar) bilan chegaralangan 



Q

 shaklning yuzi topilsin. 

◄ Parabolalarning tenglamalari 

x

x

y

x

y

2

,



4

2

2





ni birgalikda yechib, ularning kesishish nuqtalarini topamiz: 

).

0

;



2

(

,



)

3

;



1

(

:



0

,

3



;

2

,



1

,

2



4

2

1



2

1

2



2

B

A

y

y

x

x

x

x

x







(13 -chizma). 

Bu shaklning yuzini (2) formuladan foydalanib hisob-laymiz: 



.



9

)

3



2

4

(



2

2

4



)

2

(



)

4

(



)

(

2



1

3

2



2

1

2



2

1

2



2













x



x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

Q

► 



Eslatma.  Agar 

]

,



[

)

(



b

a

C

x

f

  funksiya 



]

,

[



b

a

  da  ishora  saqlamasa,  (1) 

integral egri chiziqli trapetsiyalar yuzalari-ning yig`indisidan iborat bo`ladi. Bunda 

OX

 o`qining yuqori-sidagi yuza musbat ishora bilan, 



OX

 o`qining pastdagi yuza 

manfiy ishora bilan olinadi. 

Masalan, 



OX

  o`qi hamda 

2

0



,

sin


)

(





x



x

x

f

  funksiya  grafigi bilan 

chegaralangan shaklning yuzi 


4

)

cos



(

)

cos



(

)

sin



(

sin


)

(

2



0

2

0















x



x

xdx

x

Q

 

bo`ladi.          



3

0

. Egri  chiziqli  sektorning  yuzini  hisoblash.  Aytaylik, 

B

A

  egri  chiziq 



qutb koordinatalar sistemasida ushbu

)

,



(

,

)



(

R

R









tenglama bilan berilgan bo`lsin. Bunda 



.

0

)



(

да

]



,

[

,



]

,

[



)

(











C

 

Tekislikda 



B

A

egri  chiziq  hamda 



OA

  va 


OB

  radius-vektorlar  bilan 

chegaralangan 

Q

 shaklni qaraymiz. 

 (14 -chizma). 

14- chizma 

]

,

[



 segmentni ixtiyoriy 



)

...


(

}

,...,



,

{

1



0

1

0













n



n

P

bo`laklashini  olamiz. 



O

  nuqtadan  har  bir  qutb  burchagi 



k

ga  mos



k

OA

  radius-

vektor o`tkazamiz. Natijada 

OAB

-egri chiziq-li sektor 



B



A

A

A

n

k

A

OA

n

k

k





,

;

1



,...,

2

,



1

,

0



0

1

egri chiziqli sektorchalarga ajraladi. 



Ravshanki, 

]

,



[

)

(







C



bo`lganligi uchun  



]

,

[



1



k



k



 da 

)

1



,...,

2

,



1

,

0



(



n

k

)}

(



sup{

,

)}



(

inf{






k

k

M

m

 

lar mavjud. 



Endi  har  bir 

]

,



[

1



k

k



 

 

segment  uchun  radius-vektorlari  mos  ravishda 



k

m

hamda 


k

M

  bo`lgan  doiraviy  sektorlarni  hosil  qilamiz.  Bunday  doiraviy  sektorlar 

yuzaga ega bo`lib, ularning yuzi mos ravishda 

)

(



2

1

,



2

1

1



2

2

k



k

k

k

k

k

k

M

m











bo`ladi. 

Radius-vektorlari 

)

1

,...,



2

,

1



,

0

(





n



k

m

k

 bo`lgan barcha doiraviy sektorlar 

birlashmasidan hosil bo`lgan shaklni 

1

Q

 desak, unda  

Q

Q

1



 bo`lib, uning yuzi 





1

0



2

1

2



1

)

(



n

k

k

k

m

Q



      (3) 

bo`ladi. 

Shuningdek,  radius-vektorlari 

)

1



,...,

2

,



1

,

0



(



n

k

M

k

  bo`l-gan  barcha 

doiraviy  sektorlar  birlashmasidan  hosil  bo`lgan  shaklni 

2

Q

  desak,  unda 

2

Q



Q

bo`lib, uning yuzi 







1

0

2



2

2

1



)

(

n



k

k

k

M

Q



    (4) 

bo`ladi. 

(3) va (4) yig`indilar 

)

(



2

1

2



 funksiyaning Darbu yig`indilari bo`ladi. Ayni 



paytda, 

)

(



2

1

2



funksiya 



]

,

[



 da uzluksiz bo`lgani uchun u integrallanuvchidir. 



Demak, 

0



  olinganda  ham 



]

,

[



  segmentning  shunday 



P

  bo`laklashi 

topiladiki, 





)



);

(

2



1

(

)



);

(

2



1

(

2



2

P

s

P

S

 

bo`ladi. Binobarin, ushbu 





)



(

)

(



1

2

Q



Q

 

tengsizlik  bajariladi.  Bu  esa,  2-teoremaga  muvofiq,  qaralayotgan  egri  chiziqli 



sektorning yuzaga ega bo`lishini bildiradi. Unda ta’rifga ko`ra 



)



(

inf


)

(

sup



2

1

Q



Q





bo`ladi. 

Ayni paytda, 









,

)



(

)

(



sup

2

1



d

Q

 









d

Q

)

(



)

(

inf



2

2

 



bo`lgani sababli 

Q

 egri chiziqli sektorning yuzi 









d



Q

)

(



2

1

)



(

2

 



ga teng bo`ladi. 


Download 0.77 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling