Aniq integralni taqribiy hisoblash


Download 0.77 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/6
Sana18.09.2020
Hajmi0.77 Mb.
1   2   3   4   5   6

3-misol. Ushbu 

)

2



0

,

(



)

cos


1

(

)



(











R

a

a

 

funksiya grafigi bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.  



◄ Bu funksiya grafigi kardioidani ifodalaydi. Ma’lumki, kardioida radiusi 

r

 

ga  teng  bo`lgan  aylananing  shu  radiusli  ikkinchi  qo`zg`almas  aylana  bo`ylab 



xarakati (sirpanmasdan dumalashi) natijasida birinchi aylana ixtiyoriy nuqtasining 

chizgan chizig`idir. (15-chizma).   

Kardioida  qutb  o`qiga  nisbatan  simmetrik  bo`lganligi  sababli  yuqori  yarim 

tekislikdagi  shaklning  yuzini  topib,  so`ngra  uni  2  ga  ko`paytirsak,  izlanayotgan 

yuza kelib chiqadi.  

o`zgaruvchi 



]

,

0



[

 da o`zgarganda 



 radius-vektor kardioidaning yuqori

yarim tekislikdagi qismini chizadi. Shuning uchun 












0

2

2



0

2

)



cos

1

(



)

(

2



1

2

)



(

d

a

d

Q

 

2



0

2

0



2

2

3



)

2

sin



2

1

2



1

sin


2

2

3



(

2

cos



2

1

cos



2

2

3



a

a

d

a





















bo`ladi. ► 

Yoy uzunligi va uni hisoblash

1

0

Yoy  uzunligi  tushunchasi.  Ma’lumki,  tekislikdagi  ikki

)

,

(



1

1

y



x

A

 

va



)

,

(



2

2

y



x

B

  nuqtalarni  birlashtiruvchi  to`g`ri  chiziq  kesmasi 

0

l

  uzunlikka  ega 

va uning uzunligi 

2

1



2

2

1



2

0

)



(

)

(



)

(

y



y

x

x

l





ga teng bo`ladi. 

Aytaylik,  tekislikdagi 



l

  chiziq 

...,

,

)



,

(

),



,

(

1



1

1

0



0

0

y



x

A

y

x

A

)

,



(

n

n

n

y

x

A

    nuqtalarni 

)

(

N



n

  birin-ketin  to`g`ri  chiziq  kesmalari  bilan  birlashtirishidan  hosil  bo`lgan 



bo`lsin. Odatda, bunday chiziq siniq chiziq deyiladi. 

Siniq  chiziq  uzunligi  (perimetri)  deb,  uni  tashkil  etgan  to`g`ri  chiziq 

kesmalari uzunliklarining yig`indisiga aytiladi: 

.

)



(

)

(



)

(

1



0

2

1



2

1









n



k

k

k

k

k

y

y

x

x

l

 



Faraz  qilaylik,  tekislikdagi 

B

A

egri  chizig`i    (uni   



B

A

    yoyi  deb  ham 



ataymiz)  ushbu 

)

(



)

(

b



x

a

x

f

y



 

tenglama bilan berilgan bo`lsin, bunda  



]

,

[



)

(

b



a

C

x

f



]

,

[



b

a

   segmentning ixtiyoriy 



b

x

x

x

a

x

x

x

P

n

n





...


(

}

,...,



,

{

1



0

1

0



 

bo`laklashni olib, bo`luvchi 

)

,...,


2

,

1



,

0

(



n

k

x

k

 nuqtalar orqali  



OY

 o`qiga parallel 

to`g`ri  chiziqlar  o`tkazamiz.  Bu  to`g`ri  chiziqlarning 

B

A

yoyi  bilan  kesishgan 



nuqtalari 

)

,



;

,...,


2

,

1



,

0

(



))

(

,



(

0

B



A

A

A

n

k

x

f

x

A

n

k

k

k



bo`ladi. 



B

A

yoyidagi  bu   



))

(

,



(

k

k

k

x

f

x

A

    nuqtalarni  bir-biri  bilan  to`g`ri  chiziq 

kesmalari yordamida birlashtirib, 

l

 siniq chiziqni hosil qilamiz. (16-chizma) 

Odatda, 

l

  siniq  chiziq   



B

A

yoyiga  chizilgan  siniq  chiziq  deyiladi.  U 



uzunlikka ega bo`lib, uzunligini (perimetrini)  

)

(l



 deylik. 

Agar 

1

P



  va 

2

P

  lar 

]

,



[

b

a

  segmentning  ikkita  bo`laklashi  bo`lib, 

2

1

P



P

bo`lsa,  u  holda  bu  bo`laklashlarga  mos 



B

A

  yoyiga  chizilgan  siniq  chiziq 



2

1

l



l

larning perimetrlari uchun 

)

(

)



(

2

1



l

l



 

bo`ladi. 



]

,



[

b

a

 segmentning 

1

P

 bo`laklashi quyidagi 

)

...


...

(

}



,...,

,

,...,



,

{

1



1

0

1



1

0

1



b

x

x

x

x

x

a

x

x

x

x

x

P

n

k

k

n

k

k









ko`rinishda bo`lib, 

2

P

 bo`laklash esa 

1

P

 bo`laklashning barcha bo`luvchi nuqtalari 

hamda  qo`shimcha  bitta 

]

,

[



*

b

a

x

  nuqtani  qo`shish  natijasida  hosil  bo`lgan 



bo`laklash  bo`lsin.  Bu 

*

x

  nuqta 

k

x

  hamda 


1



k



x

nuqtalar  orasida  joylashsin: 

.

1





k

k

x

x

x

   Demak, 

}

,...,


,

,

,...,



,

{

1



1

0

2



n

k

k

x

x

x

x

x

x

P



)

...



...

(

1



1

0

b



x

x

x

x

x

x

a

n

k

k









Ravshanki,  

2

1



P

P

  bo`ladi. 



B

A

    yoyiga  chizilgan   



1

P

  bo`laklashga  mos  siniq  chiziq   

1

l

,  shu  yoyga 

chizilgan 

2

P

 bo`laklashga mos siniq chiziq 

2

l

 dan faqatgina bitta bo`lagi bilangina 

farq qiladi: 

1

l

 da 


1



k



k

A

A

  bo`lak bo`lgan holda 

2

l

 da ikkita 

*

A

A

k

 hamda 


1

*



k

A

A

bo`laklar bo`ladi. 

Ammo 

1



k

k

A

A

to`g`ri  chiziq  kesmasining  uzunligi 

)

(

1





k

k

A

A



*

A

A

k

hamda 


1

*



k

A

A

kesmalar  uzunliklari 

)

(

,



)

(

1



*

*



k

k

A

A

A

A



  yig`indisidan  har 

doim katta bo`lmaganligi, ya’ni 

)

(

)



(

)

(



1

*

*



1





k



k

k

k

A

A

A

A

A

A



uchun 


  

)

(



)

(

2



1

l

l



  

bo`ladi. ► 



Demak, 

P

  bo`laklashning  bo`luvchi  nuqtalari  sonini  orttira  borilsa, 



B

A

yoyiga chizilgan ularga mos siniq chiziqlar perimetrlari ham ortib boradi. 



1-ta’rif. Agar  

0



p

 da  



B

A

 yoyiga chizilgan siniq chiziq perimetri 









1



0

2

1



2

1

)



(

)

(



)

(

)



(

n

k

k

k

k

k

x

f

x

f

x

x

l

chekli limitga ega bo`lsa, 



B

A

 yoy uzunlikka ega deyiladi. 



Ushbu 

)

(



)

(

lim



0

B

A

l

P





limit 


B

A

 yoyining uzunligi deyiladi. 



Masalan, agar 

)

(



)

(

b



x

a

C

kx

x

f



 



bo`lsa, unda 

B

A

 ning uzunligi 



















1

0

2



1

2

0



1

0

2



1

2

2



1

0

)



(

1

)



(

1

lim



)

(

)



(

lim


)

(

n



k

k

k

n

k

k

r

k

k

a

b

k

x

x

k

x

x

k

x

x

B

A

p

P



bo`ladi. 



Aytaylik, 

B

A

 egri chiziq ushbu 



 

 












t

t

y

t

x

,

tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo`lsin. 



(Bu holda egri chiziq parametrik ko`rinishda berilgan deyiladi). Bunda: 

1)

;



]

,

[



)

(

,



]

,

[



)

(







C



t

C

t



2) 

2

1



2

1

,



]

,

[



,

t

t

t

t





 uchun

   (1) 


))

(

,



)

(

(



)

,

(



,

))

(



,

)

(



(

)

,



(

2

2



2

2

2



2

1

1



1

1

1



1

t

t

A

y

x

A

t

t

A

y

x

A





nuktalar turlicha ; 

3)





t

  ga  


A

  nuqta,  



t



  ga 

B

 nuqta mos kelsin.

]

,

[



 segmentning ixtiyoriy 









n



n

t

t

t

t

t

t

P

...


(

}

,...,



,

{

1



0

1

0



 

bo`laklashni  olib,  bu  bo`laklashning  bo`luvchi 

)

,...,


2

,

1



,

0

(



n

k

t

k

  nuqtalariga 



mos  kelgan 

B

A

  yoydagi 



)

,

(



k

k

k

k

y

x

A

A

)



,...,

0

;



)

(

,



)

(

(



n

k

t

y

t

x

k

k

k

k





 

nuqtalarni bir-biri bilan to`g`ri chiziq kesmalari yordamida birlashtirib, 



B

A

 yoyga 



chizilgan siniq chiziq  

l

 ni hosil qilamiz.   (17-chizma). 



Bu siniq chiziq perimetri 







1

0



2

1

2



1

)]

(



)

(

[



)]

(

)



(

[

)



(

n

k

k

k

k

k

t

t

t

t

l





bo`ladi. 

2-ta’rif. Agar 

0



p

 da 



B

A

  yoyiga chizilgan siniq chiziq perimetri 



)

(l

 

chekli limitga ega bo`lsa, 



B

A

 yoy uzunlikka ega deyiladi. 



Ushbu 

)

(



)

(

lim



0

B

A

l

p





 

limit  



B

A

 yoyining uzunligi deyiladi. 



Yuqorida keltirilgan ta’riflardan yoy uzunligining    ( agar u mavjud bo`lsa ) 

musbat bo`lishi kelib chiqadi. 

Endi yoy uzunligining ikkita xossasini isbotsiz keltiramiz: 

1) Agar 


B

A

 yoyi uzunlikka ega bo`lib, u 



B

A

 yoydagi nuqtalar yordamida 



n

  ta 


1



k



k

A

A

  yoylarga 



;

,...,


2

,

1



,

0

(



n

k

 



)

,

1



0





n

A

B

A

A

  ajralgan  bo`lsa,  u  holda 

har bir 

1



k

k

A

A

 yoy uzunlikka ega va 



   





n



k

k

k

A

A

B

A

0

1



)

(

)



(



 



bo`ladi. 

2) Agar 


B

A

 yoyi 



n

 ta 


1



k



k

A

A

 yoylarga ajralgan bo`lib, har bir 



1



k



k

A

A

 yoy 



uzunlikka ega bo`lsa, u holda 

B

A

 yoyi ham uzunlikka ega bo`ladi. 



Download 0.77 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling