Aniq integralni taqribiy hisoblash


Download 0.77 Mb.
Pdf ko'rish
bet5/6
Sana18.09.2020
Hajmi0.77 Mb.
1   2   3   4   5   6

2

0

.

)

(x



f

y



tenglama  bilan  berilgan  egri  chiziq  uzunligini



hisoblash. Faraz qilaylik, 

B

A

 egri chiziq ushbu 



b

x

a

x

f

y



,

)



(

 

tenglama  bilan  berilgan  bo`lsin.  Bunda 



)

(x



f

  funksiya 

]

,

[



b

a

  segmentda  uzluksiz 

va uzluksiz  

)

(x



f

 hosilaga ega.



]

,

[



b

a

 segmentning ixtiyoriy 

)

...


(

}

,...,



,

{

1



0

1

0



b

x

x

x

a

x

x

x

P

n

n





 


bo`laklashini olib, unga mos 

B

A

 yoyiga chizilgan  l siniq chiziqni hosil qilamiz. 



Bu siniq chiziqning perimetri  







1

0



2

1

2



1

)]

(



)

(

[



)

(

)



(

n

k

k

k

k

k

x

f

x

f

x

x

l

bo`ladi. 



Har  bir 

]

,



[

1



k

k

x

x

  segmentda 

)

(x



f

  funksiyaga  Lagranj  teoremasini  qo`llab 

topamiz: 

,

)



(

1

)



(

)

(



1

)]

(



)

(

[



)

(

)



(

1

0



1

0

2



1

2

1



0

2

1



2

1





















n

k

k

n

k

k

k

k

k

n

k

k

k

k

k

k

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

l



bunda  



.

]

,



[

1





r

k

k

x

x

 



Bu tenglikdagi yig`indining 

)

(



1

2

x



f



 funksiyaning integral yig`indisidan 

farqi  shuki,  integral  yig`indida   

]

,

[



1



k

k

k

x

x

  nuqta  ixtiyoriy  bo`lgan  holda 



yuqoridagi  yig`indida  esa 

k

  nuqta  Lagranj  teoremasiga  muvofiq  olingan  tayin 



nuqta  bo`lishidadir.  Ammo 

)

(



1

2

x



f



  funksiya    integrallanuvchi  bo`lganligi 

sababli 


k

k



 deb olinishi mumkin. Natijada 







1



0

2

)



(

1

)



(

n

k

k

k

x

f

l



bo`lib, undan 

dx

x

f

x

f

l

b

a

n

k

k

k

p

p











)

(

1



)

(

1



lim

)

(



lim

2

1



0

2

0



0



 



bo`lishi kelib chiqadi. 

Demak, 


B

A

 yoyining uzunligi 







b

a

dx

x

f

B

A

)

(



1

)

(



2



        

  (2) 


bo`ladi. Bu formula yordamida yoy uzunligi hisoblanadi. 

1-misol. Ushbu 

)

,

0



(

)

(



2

)

(



a

x

a

a

e

e

a

x

f

a

x

a

x





 



tenglama bilan berilgan 

B

A

 egri chizig`ining uzunligi topilsin. 



Bu tenglama bilan aniqlanadigan chiziq zanjir chizig`i deyiladi. 

◄ Ravshanki, 

,

)

(



2

1

)



(

a

x

a

x

e

e

x

f



,



)

(

4



1

)

(



1

2

2



a

x

a

x

e

e

x

f





)

(

2



1

)

(



1

2

a



x

a

x

e

e

x

f





bo`ladi. (2) formuladan foydalanib, zanjir chizig`ining uzunligini topamiz: 









a

a

a

a

a

x

a

x

a

x

a

x

e

e

a

e

e

a

dx

e

e

B

A

).

1



(

)

(



2

)

(



2

1

)



(



► 

3

0

. Parametrik ko`rinishda berilgan egri chiziq uzunligini hisoblash.

Faraz qilaylik, 



B

A

 egri chiziq ushbu 













t

t

y

t

x

)

(



),

(

tenglamalar sistemasi bilan berilgan bo`lib, (1) shartlar-ning bajarilishi bilan birga 



)

(

),



(

t

t



funksiyalari 

]

,



[



  da  uzluksiz 

)

(t



hamda 



)

(t



hosilalarga  ega 



bo`lsin. 

]

,



[



segmentning ixtiyoriy 



)

...


(

,...,


,

1

0



1

0









n

n

t

t

t

t

t

t

P

 

bo`laklashini 



olib, 

ularga 


mos 

B

A

yoyiniig 



)

,

(



k

k

k

k

y

x

A

A

))



(

,

)



(

(

k



k

k

k

t

y

t

x



  nuqtalarini  bir-biri  bilan  to`g`ri  chiziq  kesmasi 



yordamida birlashtirishdan hosil bo`lgan 

l

 siniq chiziq perimetri 









1

0

2



1

2

1



))]

(

)



(

[

)]



(

)

(



[

)

(



n

k

k

k

k

k

t

t

t

t

l





ni qaraymiz. 

Lagranj teoremasidan foydalanib topamiz: 



k

k

k

k

n

k

k

k

n

k

k

k

k

k

k

k

t

t

t

t

t

t

t

t

l



















1

1



0

2

2



1

0

2



1

2

2



1

2

)



(

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

)



(







bunda


.

]

,



[

.

]



,

[

1



1





k



k

k

k

k

k

t

t

t

t



 

Keyingi tenglikni quyidagicha yozib olamiz: 











k

n

k

k

k

t

l

1

0



2

2

)



(

)

(



)

(







k

k

k

n

k

k

k

t









]



)

(

)



(

)

(



)

(

[



2

2

1



0

2

2







 (*) 



bunda,     

].

,



[

1





k

k

k

t

t

 



Modomiki,   

]

,



[

)

(



)

(

2



2





C



t

t



 



ekan unda 

]

,



[

)

(



)

(

2



2





R



t

t



 



bo`lib, 











1

0

2



2

2

2



0

)

(



)

(

)



(

)

(



lim

n

k

k

k

k

dt

t

t

t

p







        


(3) 

bo`ladi.          

Ixtiyoriy  

d

c

b

a

,

,



,

 haqiqiy sonlar uchun ushbu



d

b

c

a

d

c

b

a





2



2

2

2



tengsizlik o`rinli bo`ladi. 

◄ Haqiqatan ham, 



















2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

)

(



)

(

d



c

b

a

d

b

d

b

d

c

b

a

c

a

c

a

d

c

b

a

d

b

c

a

d

c

b

a

  

.



d

b

c

a



► 



Bu tengsizlikdan foydalanib topamiz: 











k

k

k

n

k

k

k

t

]

)



(

)

(



)

(

)



(

[

2



2

1

0



2

2







 













1

0



1

0

)



(

)

(



)

(

)



(

n

k

n

k

k

k

k

k

k

k

t

t







 











1

0

1



0

.

)



(

)

(



n

k

n

k

k

k

t

t



 



]

,

[



)

(

,



]

,

[



)

(







R



t

R

t



 



bo`lganligi sababli 

0

]



)

(

)



(

)

(



)

(

[



lim

2

2



1

0

2



2

0













k

k

k

n

k

k

k

t

p







      (4) 

bo`ladi. 

(3)  va  (4)  munosabatlarni  e’tiborga  olib, 

0



p



  da  (*)  tenglikda  limitga 

o`tsak, u holda 

B

A

 yoyining uzunligi uchun 



dt

t

t

B

A







)



(

)

(



)

(

2



2

   (5) 



bo`lishi kelib chiqadi. Bu formula yordamida yoy uzunligi hisoblanadi. 

2-misol. Ushbu  

)

0



(

)

cos



1

(

)



sin

(







t

t

a

y

t

t

a

x

tenglamalar  sistemasi  bilan  berilgan 



B

A

egri  chiziqning  (sikloidaning)  uzunligi 



topilsin. 

◄ Ravshanki, 

)

cos



1

(

2



)

(

)



(

,

)



cos

1

(



2

sin


)

cos


1

(

)



(

)

(



,

sin


)

(

,



)

cos


1

(

)



(

2

2



2

2

2



2

2

2



2

t

a

t

y

t

x

t

a

t

a

t

a

t

y

t

x

t

a

t

y

t

a

t

x













 

bo`ladi.  (5) formulaga ko`ra  izlanayotgan egri chiziqning uzunligi 



a

t

a

dt

t

a

dt

t

a

B

A

8

)



2

(cos


4

2

sin



2

)

cos



1

(

2



)

(

2



0

2

0



2

0











bo`ladi. ► 



Download 0.77 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling