Aniq integralning xossalari. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar 1
Download 267.87 Kb. Pdf ko'rish
|
9-amaliy mashg'ulot
|
Aniq integralning xossalari. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar 1 0 . Aniq integralning asosiy xossalari.
b , a segmentda integrallanuvchi funksiyalar sinfini
, a R kabi belgilaymiz. 1-xossa. Agar
R c , b , a R x f bo‘lsa, u holda
b , a R x f c bo‘lib,
a b a dx x f c dx x f c bo‘ladi. (integralning chiziqlilik xossasi) 2-xossa. Agar
b , a R x g , b , a R x f bo‘lsa, u holda
b , a R x g x f bo‘lib,
b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f
bo‘ladi. (integralning additivlik xossasi) 3-xossa. Agar
b c a , b , a R x f bo‘lsa, u holda
, a R x f ,
, c R x f bo‘lib,
b c c a b a dx x f dx x f dx x f bo‘ladi. 4-xossa. Agar
b , a R x g , b , a R x f bo‘lib,
b , a x da
x g x f bo‘lsa, u holda
b a b a dx x g dx x f
bo‘ladi. (integralning monotonlik xossasi) Natija. Agar
b , a R x f bo‘lib, 0 x f bo‘lsa, b a 0 dx x f
bo‘ladi. 2 0 .Funksiyaning o‘rta qiymati va o‘rta qiymat haqidagi teoremalar. Aytaylik,
funksiya
segmentda berilgan bo‘lib, u shu segmentda integrallanuvchi bo‘lsin. Ushbu
b a dx x f a b 1 f
miqdor x f funksiyaning
dagi o‘rta qiymati deyiladi. Aytaylik,
x f funksiya
da chegaralangan bo‘lib,
da
x f m bo‘lsin. 1 – t e o r e m a . Agar
b , a R x f
m topiladiki,
b dx x f b a bo‘ladi. 2 – t e o r e m a . Agar
b , a C x g , b , a C x f bo‘lib,
b , a x da
0 x g
m topiladiki,
a b a dx x g dx x g x f bo‘ladi. 1 – m i s o l . Agar
b , a C x g , b , a C x f bo‘lsa, ushbu
b a 2 b a 2 2 b a dx x g dx x f dx x g x f (*) tengsizlikning o‘rinli bo‘lishi isbotlansin. ◄Aniq integralning xossalariga ko‘ra
b , a R x g x f
bo‘lib,
dx x g x f b a 2 bo‘ladi. Bu munosabatdan
0 dx x f dx x g x f 2 dx x g b a 2 b a b a 2 2 bo‘lishi kelib chiqadi. Ma’lumki, kvadrat uchhad manfiy bo‘lmasa, uning diskriminanti musbat bo‘lmaydi. Demak,
0 dx x g dx x f dx x g x f b a 2 b a 2 2 b a
Bu tengsizlikdan topamiz:
b a 2 b a 2 2 b a dx x g dx x f dx x g x f ► (*) tengsizlik Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deyiladi. 2 – m i s o l . Ushbu 3 0 3 2 dx x sin x tengsizlik isbotlansin. ◄Agar (*) tengsizlikda
x sin x g , x x f deyilsa, u holda 3 0 0 2 0 3 2 xdx sin dx x dx x sin x bo‘ladi.► 3 – m i s o l . Agar 1 b , 0 a , e x f x 2 bo‘lsa, u holda c ning qanday qiymatida ushbu
b c f dx x f b a
tenglik o‘rinli bo‘ladi? ◄Ravshanki, 2 1 e 2 e dx e 2 1 0 k 2 1 0 x 2
bo‘ladi. Demak, 2 1 e e 2 c 2 Bu tenglikdan c ni topamiz: 2 1 e ln 2 1 c , 2 1 e ln c 2 2 2 ► 4 – m i s o l . O‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib, ushbu b a 0 dx x x sin b a integral baholansin. ◄O‘rta qiymat haqidagi 2-teoremada
funksiya
da uzluksiz bo‘lsa, u holda shunday
nuqta
c a topiladiki,
b a b a dx x g c f dx x g x f
bo‘ladi. SHu tenglikdan foydalanib topamiz:
cos a cos c 1 xdx sin c 1 xdx sin x 1 b a b a Agar
b a 0 bo‘lganda a 1 c 1 va 2 b cos a cos bo‘lishini e’tiborga olsak, u holda a 2 dx x x sin b a bo‘lishi topiladi.► 96. Qaysi biri katta ekanligi aniqlansin: a)
x x sin ёки dx x x sin 0 2 / 0
b) 1 2 / 1 3 1 2 / 1 x dx ёки x dx
v) dx x sin e ёки dx x sin e 1 0 x 1 0 x 2
g) 2 1 2 1 2 x dx ёки x 1 dx
97.Tengsizliklar isbotlansin: a)
0 5 2 2 dx 2 x x sin 0
b) 2 3 dx 8 x arctgx 1 9 1 1 1 3 2 3 v)
dx x 2 x cos 3 2 1 1 2 98. f funksiya
b , a kesmada integrallanuvchi bo‘lsin.
tenglik bajarilishi uchun, f funksiyaning barcha uzluksiz nuqtalarida
0 x f
bo‘lishi zarur va etarli ekanligi isbotlansin. 99.Berilgan funksiyalarning ko‘rsatilgan oraliqlardagi o‘rta qiymatlari aniqlansin: a)
; 1 , 0 , x x f 2
b)
100 , 0 , x x f
v)
2 , 0 , x cos 3 x sin 2 10 x f
g)
, 0 , x sin x sin x f
O‘rta qiymat haqidagi birinchi teoremadan foydalanib, integrallar baholansin: 100. 2 0 x cos 5 , 0 1 dx
0 9 dx x 1 x
100 0 x dx 100 x e
O‘rta qiymat haqidagi ikkinchi teoremadan foydalanib, integrallar baholansin: 103. 200 100 dx x x sin
b a x b a 0 ; 0 xdx sin x e
a 0 dx x sin b a 2
Download 267.87 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|