Axborot texnologiyalari va matematika kafedrasi assistenti iskandarov davlatbek
Download 353.83 Kb. Pdf ko'rish
|
3-mavzu. Diskret tasodifiy miqdorlar
- Bu sahifa navigatsiya:
- Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni Diskret tasodifiy miqdorning sonli harakteristikalari
- Tipik taqsimotlar
- Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari va ularning xossalari Ta’rif.
ANDIJON QISHLOQ XO‘JALIGI VA AGROTEXNOLOGIYALAR INSTITUTI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA MATEMATIKA KAFEDRASI ASSISTENTI ISKANDAROV DAVLATBEK https://t.me/davlatbek87 Email: idavlatbek15@gmail.com Mavzu: Diskret tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari Reja: Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni Diskret tasodifiy miqdorning sonli harakteristikalari Tipik taqsimotlar Tasodifiy miqdorlar haqida tushuncha Elementar hodisalar fazosida aniqlangan har qanday Х: 𝛺 → 𝑅 sonli funksiya tasodifiy miqdor deyiladi. Ikki xil tasodifiy miqdorlar mavjud: 1) Diskret tasodifiy miqdor; 2) Uzluksiz tasodifiy miqdor. Taqsimot qonunini yoza olish uchun tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlari chekli yoki sanoqli bo‘lish kerak. Bunday tasodifiy miqdorlar diskret tasodifiy miqdorlar deyiladi. Agar tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlari sonlar o‘qidagi birorta oraliqni to‘ldirsa, bunday tasodifiy miqdorlar uzluksiz tasodifiy miqdorlar deyiladi. Tasodifiy miqdorlarni X, Y, Z harflar bilan, uning mumkin bo‘lgan qiymatlarini x, y, z lar bilan belgilaymiz. Tasodifiy miqdorlarga misollar: • 4-avgustda andijonda tug‘ilgan bolalar soni • g‘o‘za to‘pidagi gullagan ko‘saklar soni • bir yildagi quyoshli kunlar soni
Diskret tasodifiy miqdor berilgan bo‘lishi uchun uning qabul qiladigan qiymatlari va bu qiymatlarni qabul qilish ehtimollari ko‘rsatilishi kerak. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlar bilan ularning ehtimollari orasidagi o‘rnatilgan moslikka aytiladi. Taqsimot qonuning grafigi taqsimot ko‘pburchagi deyiladi.
p 1 p 2 … p n
Tipik taqsimotlar Binomial taqsimot qonuni .
tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlari va shu qiymatlarni qabul qilish ehtimollari Bernulli formulasi orqali aniqlangan bo‘lsa, Binomial taqsimotga ega deyiladi. 𝑃 𝑛 (𝑘) = 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)! 𝑝 𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 , 𝑘 = 0, 𝑛 Puasson taqsimot qonuni. X tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlari va shu qiymatlarni qabul qilish ehtimollari Puasson formulasi orqali aniqlangan bo‘lsa, Puasson taqsimotga ega deyiladi. 𝑃 𝑘 = 𝜆 𝑘 𝑘! 𝑒 −𝜆 , 𝜆 > 0, 𝑘 = 1,2, . . . Geometrik taqsimot qonuni. 𝑝 𝑘
𝑘−1 , 𝑘 = 1,2, . . . Misol. Talabaning imtihon bilеtidagi savollarning har biriga javob bеrish ehtimoli 0,7 ga tеng. Imtihon bilеtidagi 4 ta savolga bеrgan javoblari sonining taqsimot qonunini tuzing.
Yechish: X tasodifiy miqdor orqali talabaning javoblari sonini bеlgilasak, uning qabul qiladigan qiymatlari x 1 =0; x 2 =1; x 3 =2; x 4 =3; x 5 =4. Ko‘rinib turibdiki, n=4; p=0,7; q=0,3. X ning yuqoridagi qiymatlarni qabul qilish ehtimollari Bеrnulli formulasi orqali topiladi. 𝑃 1
4 (0) = 𝐶
4 0 (0.7) 0 (0.3)
4 = 0,0081
𝑃 2 = 𝑃 4 (1) = 𝐶
4 1 (0.7) 1 (0.3)
3 = 0,0756
𝑃 3 = 𝑃 4 (2) = 𝐶
4 2 (0.7) 2 (0.3)
2 = 0,2646
𝑃 4 = 𝑃 4 (3) = 𝐶
4 3 (0.7) 3 (0.3)
1 = 0,4116
𝑃 5 = 𝑃 4 (4) = 𝐶
4 4 (0.7) 4 (0.3)
0 = 0,2401
U holda X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo‘ladi: Tеkshirish: 0,0081 +0,0756 + 0,2646 +0,4116+0,2401 = 1 X 0
2 3 4 P 0,0081
0,0756 0,2646
0,4116 0,2401
Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari va ularning xossalari Ta’rif. X tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb,
𝑥 1 𝑝 1 + 𝑥
2 𝑝 2 + +𝑥 3 𝑝 3 + , , , +𝑥 𝑛 𝑝 𝑛 ga aytiladi va M(X) deb belgilanadi. 𝑀 𝑥 = 𝑥 1
1 + 𝑥
2 𝑝 2 + 𝑥 3 𝑝 3 + , , , +𝑥 𝑛 𝑝
Diskret tasodifiy miqdor matematik kutilishi quyidagi xossalarga ega. 1. O‘zgarmas sonning matematik kutilishi shu sonning o‘ziga teng. 𝑀(𝐶) = 𝐶 2.O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. 𝑀(𝐶𝑋) = 𝐶М(Х) 3. Ikki tasodifiy miqdor yig‘indisining matematik kutilishi har bir tasodifiy miqdor matematik kutilishlarining yig‘indisiga teng. 𝑀 𝑋 + 𝑌 = М Х + 𝑀(𝑌) 4. Ikkita bog‘liqmas tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi har bir tasodifiy miqdor matematik kutilishlarining ko‘paytmasiga teng. 𝑀(𝑋 ⋅ 𝑌) = 𝑀(𝑋) ⋅ 𝑀(𝑌)
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi .
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan bo‘lsin. Ta’rif. X tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb, (𝑋 − 𝑀(𝑋)) 2 ga aytiladi va D(X) deb belgilanadi. 𝐷 𝑋 = 𝑀(𝑋 − 𝑀(𝑋)) 2 = 𝑀 𝑋 2 − 𝑀(𝑋)
2 Diskret tasodifiy miqdor dispersiyasining xossalari: 1 0
D(C)=0 2 0 . O‘zgarmas sonni dispersiyadan tashqariga kvadratga oshirgan holda olib chiqish mumkin 𝐷 𝐶𝑋 = 𝐶 2 𝐷(𝑋) 3 0 . 𝐷 𝑋 + 𝑌 = 𝐷 𝑋 + 𝐷(𝑌) 4 0 . 𝐷 𝑋 − 𝑌 = 𝐷 X − D(Y) Tasodifiy miqdorning o‘rtacha kvadratik chеtlanishi dеb dispеrsiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi: 𝜎(𝑋) = 𝐷(𝑋) 𝑿 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 ,,,,, 𝒙 𝒏 P 𝒑 𝟏 𝒑 𝟐 ,,,,, 𝒑 𝒏
Misol. Quyidagi taqsimot qonuni bilan bеrilgan X diskrеt tasodifiy miqdorning matеmatik kutilishini toping:
Yechish:
M(X) =-0,4 . 0,2 + 6 . 0,3+10 . 0,5 =6 Misol.
Yashikda 5 ta oq va 25 ta qora shar bor. Yashikdan tavakkaliga 1 ta shar olingan. X tasodifiy miqdor olingan oq sharlar soni bo‘lsa, uning taqsimot qonunini tuzing va matеmatik kutilishini hisoblang. Yechish:
Bitta shar olinsa, bu shar qora yoki oq bo‘lishi mumkin. Dеmak, X tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari 0 yoki 1. U holda, uning taqsimot qonuni quyidagicha: U holda ta’rifga ko‘ra: M(X)=0 ⋅ 5 6 + 1 ⋅
1 6 = 1 6 X 0 1 P 5/6 1/6
Misol. X diskrеt tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan bеrilgan: M(X), D(X) va σ(X) larni toping. Yechish:
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo‘ladi: M(X 2
. 0,2+1
. 0,4+2
. 0,3+9
. 0,08+16
. 0,02=1,64 U holda: D(X)=M(X
2 )- 𝑀(𝑋) 2 =2,64-(1,32) 2 =2,64-1,7424=1,8976 𝜎(𝑋) = 𝐷(𝑋) = 1.8976 = 1.3775 X 0 1 2 3 4 P 0,2 0,4 0,3
0,08 0,02
X 2 0 1 4 9 16 P 0,2 0,4 0,3
0,08 0,02
Misol. X va Y tasodifiy miqdorlar erkli. Agar D(X)=5, D(Y) =6 ekanligi ma’lum bo‘lsa, Z=3X+2Y tasodifiy miqdorning dispеrsiyasini toping. Yechish:
D(Z)=D (3X+2Y)=D(3X)+D(2Y)=9D(X)+4D(Y)=9 . 5+4 . 6=69 Nazorat uchun savollar 1. Tasodifiy miqdor deganda nimani tushunasiz? 2. Diskret tasodifiy miqdor bilan uzluksiz tasodifiy miqdorning farqi nimada? 3.
tushunasiz? 4. Diskret tasodifiy miqdor matematik kutilishininig xossalarini ayting? 5. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi deganda nimani tushunasiz? 6. Binomial taqsimot qonunini yozing? 7. Puasson taqsimot qonunini yozing? 8. Geometrik taqsimot qonunini yozing? Download 353.83 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling