Ayirmali approksimatsiya usuli

Ayirmali approksimatsiya usuli.
Ayirmali approksimatsiya usulida differensial tenglama va qo’shimcha shartlarga kiruvchi har bir hosila faqatgina shablonni tashkil qiluvchi tugun nuqtalarda ifodalangan ayirmali ifodalar bilan almashtiriladi. Ushbu usul juda sodda bo’lganligi bois qo’shimcha izohlarga hojat yo’q.
To’g’ri to’rtburchakli to’rda uzluksiz (va yetarlicha silliq) koeffitsiyentli differensial tenglamalar uchun ayirmali approksimatsiya usuli birinchi va ikkinchi tartibli approksimatsiyaga ega bo’lgan ayirmali sxemalarni oson tuzish imkonini beradi. Ammo, ushbu usulni murakkabroq bo’lgan hollar uchun qo’llash ancha mushkul yoki qo’llashni imkoni bo’lmaydi. Masalan, uzilishli koeffisiyentga ega bo’lgan differensial tenglamalar uchun, hisoblash sohasi to’g’ri to’rtburchak bo’lmasa, yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun notekis to’rda va boshqa hollarda.
Misol. Quyidagi differensial masala uchun ayirmali sxema tuzish talab etilsin:
, , (2.1)
, , (2.2)
, . (2.3)
Ayirmali approksimatsiya usuli bo’yicha ayirmali sxema tuzish uchun shablon tanlaymiz. Buning uchun 4-(a, b, c, d) rasmlarda keltirilgan shablonlardan foydalanamiz. Ushbu shablonlardan (2.1) differensial tenglamani quyidagicha approksimatsiya qilish mumkin:

a) b)



c) d)
6-rasm.
a) shablon uchun:

b) shablon uchun:

c) shablon uchun:

d) shablon uchun:
Qo’shimcha shartlar barcha hollar uchun quyidagicha approksimatsiya qilinadi:
,
, ,