Ba’zi ajoyib nuqtalar haqida
Download 0.59 Mb. Pdf ko'rish
|
Ajoyib nuqtalar
|
Ba’zi ajoyib nuqtalar haqida Doston MUSURMONOV Materialni tayyorlashda zadachi.mccme.ru sayti ma’lumotlaridan foydalanildi Masala №1. Medianalar haqidagi Masala. Uchburchakning medianalari bitta nuqtada kesishishi va bu nuqtada uchburchak uchidan boshlab hisoblaganda 2 : 1 nisbatda bo‘linishini isbotlang. Isbot. Birinchi usul. Dastlab uchburchakning ixtiyoriy ikkita medianasi kesishgan nuqtada 2 : 1 nisbatda bo‘linishini isbotlaymiz. Deylik, 𝐵 1 va 𝐶
1 nuqtalar — 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning 𝐴𝐶 va 𝐴𝐵 tomonlarining o‘rtalari, 𝑀 nuqta — 𝐵𝐵 1 va 𝐶𝐶 1 medianalar kesishish nuqtasi, 𝑃 va 𝑄 nuqtalar — 𝐵𝑀 va 𝐶𝑀 kesmalarning o‘rtalari bo‘lsin. U holda 𝐶 1 𝐵 1 va 𝑃 𝑄 — 𝐴𝐵𝐶 va 𝑀 𝐵𝐶 uchburchaklar uchun o‘rta chiziq bo‘ladi. Shuning uchun 𝐶 1 𝐵 1 = 𝑃 𝑄 va 𝐶 1 𝐵
‖ 𝑃 𝑄. Bundan ayonki, 𝑃 𝐶 1 𝐵 1 𝑄 to‘rtburchak — parallelogram- dir. Uning 𝑃 𝐵 1 va 𝑄𝐶 1 diagonallari kesishgan 𝑀 nuqtada teng ikkiga bo‘linadi. Shuning uchun 𝐵𝑃 = 𝑃 𝑀 = 𝑀 𝐵 1 , 𝐶𝑄 = 𝑄𝑀 = 𝑀 𝐶 1 . Xuddi shu kabi, 𝐵𝑀 : 𝑀 𝐵 1 = 𝐶𝑀 : 𝑀 𝐶 1 = 2 : 1. Shu tartibda istalgan ikki mediana uchun bu tasdiq o‘rinli ekanini ko‘rsatish mumkin. 𝐴 uchdan o‘tkazilgan mediana ham bu nuqtadan o‘tishi lozim, aks holda bu mediana qolganlarini 2 : 1 nisbatda bo‘lmay qoladi. Ikkinchi usul. Aytaylik 𝐴 1 , 𝐵
1 va 𝐶
1 — 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 va 𝐴𝐵 tomonlari o‘rtalari bo‘lsin. U holda 𝐴𝐵 1 𝐵 1 𝐶 · 𝐶𝐴 1 𝐴 1 𝐵 · 𝐵𝐶 1 𝐶 1 𝐴 = 1. Cheva teoremasiga ko‘ra 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵
1 va 𝐶𝐶
1 medianalar bitta nuqtada kesishadi. Deylik 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning medianalari 𝑀 nuqtada kesishsin. 𝐵𝐶𝐶 1 uchburchak va 𝐴𝐴 1 to‘g‘ri chiziq uchun Menelay teoremasini qo‘llab, quyidagi munosabatni aniqlaymiz 𝐶𝑀 𝑀 𝐶
1 · 𝐶 1 𝐴 𝐴𝐵 · 𝐵𝐴 1 𝐴 1 𝐵 = 1, 𝐶𝑀 𝑀 𝐶 1 · 1 2 · 1 1 = 1,
bundan esa 𝐶𝑀 𝑀 𝐶 1 = 2. Xuddi shunday 𝐴𝑀 𝑀 𝐴
1 = 𝐵𝑀 𝑀 𝐵 1 = 2. Uchinchi usul. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning uchlariga bir xil 𝑚 massali yuk qo‘yamiz. U holda 𝐴 va 𝐵 nuqtalarning massa markazi — 𝐴𝐵 tomonning o‘rtasi 𝐶 1 bo‘ladi. 𝐶 1 nuqtaga esa 2𝑚 massali yukni qo‘yamiz. U holda 𝐴, 𝐵 и 𝐶 nuqtalarning massa markazi 𝑀 — 𝐶 va 𝐶 1 nuqtalarning massa markazi bilan ustma-ust tushadi. 𝑀 nuqta 𝐶𝐶 1 medianada yotib, uni 𝐶𝑀 : 𝑀 𝐶 1 = 2 : 1 nisbatda bo‘ladi. 1
Massa markazining yagonaligidan 𝑀 nuqta narigi medianalarda ham yotishi va ularni uchburchak uchidan boshlab hisoblaganda 2 : 1 nisbatda bo‘lishi kelib chiqadi. (Izoh. Shu bilan birga V. N. Dubrovskiyning «Шесть доказательств теоремы о медианах» maqolasini ham o‘qib ko‘ring, Kvant, 1990, N1, 54 b.) Masala №2. Uchburchakka tashqi-ichki chizilgan aylanalarning tomonlar bilan urinish nuqtala- rini mos qarama-qarshi uchlar bilan tutashtiruvchi kesmalar bitta nuqtada kesishishini isbotlang. (Nagel nuqtasi). Isbot. 𝐴𝐵𝐶 uchburchak berilgan bo‘lsin. 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑎 deb belgilaylik. 𝐴 ′ , 𝐵
′ , 𝐶
′ nuqtalar — tashqi-ichki chizilgan aylanalarning mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴𝐵 tomonlar bilan urinish nuqtasi, 𝐾 nuqta bu aylanalardan birinchisining 𝐴𝐵 tomonning davomi bilan urinish nuqtasi bo‘lsin, 𝑝 — uchburchakning yarimperimetri. U holda 𝐵𝐴
= 𝐵𝐾 = 𝐴𝐾 − 𝐴𝐵 = 𝑝 − 𝑐 Xuddi shu kabi 𝐴 ′
′ = 𝑝 − 𝑎, 𝐵 ′ 𝐴 = 𝑝 − 𝑐, 𝐴𝐶 ′ = 𝑝 − 𝑏, 𝐶 ′ 𝐵 = 𝑝 − 𝑎. Shuning uchun 𝐴𝐶 ′ 𝐶 ′ 𝐵 · 𝐵𝐴 ′ 𝐴 ′ 𝐶 · 𝐶𝐵 ′ 𝐵 ′ 𝐴 = 𝑝 − 𝑏
𝑝 − 𝑎 · 𝑝 − 𝑐 𝑝 − 𝑏 · 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑐 = 1.
Cheva teoremasiga ko‘ra, 𝐴𝐴 ′ , 𝐵𝐵 ′ va 𝐶𝐶
′ kesmalar bitta nuqtada kesishadi. Masala №3. Uchburchakning balalandliklari haqidagi Masala. Uchburchakning balandliklarini tashkil qiluvchi to‘g‘ri chiziqlar bitta nuqtada kesishishini isbotlang. Isbot. Birinchi usul. Uchburchakning uchlaridan qarama-qarshi tomonlarga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz. Uchlari o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalarida bo‘lgan uchbur- chakka qaraylik. Berilgan uchburchakning balandliklari hosil qilingan uchburchakning o‘rta perpen- dikulyarlarida yotadi. Shuning uchun ular batta nuqtada kesishadi (bu haqda batafsilroq «Eyler to‘g‘ri chizig‘i haqida qisqagina» maqolasida o‘qishingiz mumkin). 2
Ikkinchi usul. Agar uchburchak o‘tkir burchakli bo‘lsa, u holda uning balandliklari bu balandlik- larning asoslarida uchlari joylashgan uchburchak (ortouchburchak) ning bissektrisalarida yotadi. Shuning uchun ular bitta nuqtada kesishadi. Agar uchburchak o‘tmas burchakli bo‘lsa, uning bir balandligi ortouchburchak burchaklaridan birining bissektrisasida, qolgan balandliklari esa ortouchburchakning tashqi burchaklari bissektrisa- larida yotadi. To‘g‘ri burchakli uchburchak uchun tasdiqning to‘g‘riligi shundoq ham ayon. Uchinchi usul. Agar uchburchak o‘tkir burchakli bo‘lsa, uning balandliklari bu balandliklarning tashqi chizilgan aylana bilan kesishgan nuqtalarida uchlari joylashgan uchburchakning bissektrisa- larida yotadi. To‘rtinchi usul. Aytaylik 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵 1 , 𝐶𝐶
1 lar — 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning balandliklari bo‘lsin. 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning burchaklarini 𝛼, 𝛽, 𝛾 deb belgilaylik. U holda 𝐴𝐵 1 𝐵 to‘g‘ri burchakli uchburchakdan 𝐴𝐵 1 = 𝐴𝐵|cos 𝛼|. ekanini topamiz. Xuddi shu kabi 𝐴𝐶 1
1 = 𝐴𝐵| cos 𝛽|, 𝐵𝐶 1 = 𝐵𝐶| cos 𝛽|, 𝐶𝐴 1 = 𝐶𝐴| cos 𝛾|, 𝐶𝐵 1 = 𝐶𝐵| cos 𝛾|. 3
(Agar uchburchak o‘tkir burchakli bo‘lsa, modul belgisini tashlab yuborish mumkin). Shuning uchun
𝐴𝐵 1 𝐵 1 𝐶 · 𝐶𝐴 1 𝐴 1 𝐵 · 𝐵𝐶 1 𝐶 1 𝐴 = = 𝐴𝐵 · 𝐵𝐶 · 𝐴𝐶 · | cos 𝛼 · cos 𝛽 · cos 𝛾| 𝐴𝐵 · 𝐵𝐶 · 𝐴𝐶 · | cos 𝛼 · cos 𝛽 · cos 𝛾| = 1.
Unda Cheva teoremasiga asosan 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵 1 va 𝐶𝐶
1 lar bitta nuqtada kesishadi. Masala №4. Uchburchakka aylana ichki chizilgan. Urinish nuqtalari uchburchakning qarama- qarshi uchlari bilan tutashtirilgan. Hosil bo‘lgan kesmalar bitta nuqtada kesishishini isbotlang (Jergon nuqtasi ). Isbot. Birinchi usul. 𝑀 , 𝑁 va 𝐾 nuqtalar — ichki chizilgan aylana bilan 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlari bilan urinish nuqtasi bo‘lsin. 𝐵𝑀 = 𝐵𝑁 = 𝑥, 𝐴𝑁 = 𝐴𝐾 = 𝑦, 𝐶𝑀 = 𝐶𝐾 = 𝑧 deb belgilaymiz. 𝐴 nuqtadan 𝐵𝐶 tomonga parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazib, uni 𝐶𝑁 bilan 𝑇 nuqtada kesishguniga qadar davom ettiramiz. 𝐴𝑁 𝑇 va 𝐵𝑁 𝐶 uchburchaklarning o‘xshashligidan 𝐴𝑇 𝐵𝐶
𝐴𝑁 𝑁 𝐵
kelib chiqadi. Shuning uchun 𝐴𝑇 = 𝐴𝑁 · 𝐵𝐶 𝑁 𝐵 = 𝑦(𝑥 + 𝑧)
𝑥 . 𝑃 nuqta — 𝐴𝑀 va 𝐶𝑁 larning kesishish nuqtasi bo‘lsin. 𝐴𝑃 𝑇 va 𝑀 𝑃 𝐶 uchburchaklarining o‘xshash- ligidan 𝐴𝑃 𝑃 𝑀 = 𝐴𝑇 𝐶𝑀 = 𝑦(𝑥 + 𝑧)
𝑥𝑧 . kelib chiqadi. Xuddi shu singari 𝑄 nuqta — 𝐴𝑀 va 𝐵𝐾 larning kesishish nuqtasi desak, u holda 𝐴𝑄 𝑄𝑀 = 𝑦(𝑥 + 𝑧) 𝑥𝑧 . ekanini ko‘rsatish mumkin. Bundan esa 𝑃 va 𝑄 nuqtalar ustma-ust tushishi ma’lum bo‘ladi. Ikkinchi usul. 𝑀 , 𝑁 va 𝐾 nuqtalar — ichki chizilgan aylana bilan 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning mos ravishda 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 va 𝐴𝐶 tomonlari bilan urinish nuqtasi bo‘lsin. 𝐵𝑀 = 𝐵𝑁 = 𝑥, 𝐴𝑁 = 𝐴𝐾 = 𝑦, 𝐶𝑀 = 𝐶𝐾 = 𝑧 deb belgilaymiz. U holda 𝐴𝑁 𝑁 𝐵
· 𝐵𝑀 𝑀 𝐶 · 𝐶𝐾 𝐴𝐾 = 𝑦 𝑥 · 𝑥 𝑧 · 𝑧 𝑦 = 1. Cheva teoremasiga ko‘ra 𝐴𝑀, 𝐶𝑁 va 𝐵𝐾 lar bitta nuqtada kesishadi. 4
Masala №5. Tekislikdagi to‘rtta to‘g‘ri chiziqning kesishishidan hosil bo‘ladigan to‘rtta uchbur- chakka tashqi chizilgan aylanalar umumiy nuqtaga ega ekanini isbotlang (Mikel nuqtasi). Isbot. 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 va 𝐵𝐶 to‘g‘ri chiziqlar to‘rtinchisini mos ravishda 𝐷, 𝐸 va 𝐹 nuqtalarda kesib o‘tsin.
𝑃 nuqta — 𝐴𝐵𝐶 va 𝐶𝐸𝐹 uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalarning kesishgan nuqtasi bo‘lsin. Chizmadagi holatni ko‘rib chiqamiz. ̸ 𝐶𝑃 𝐹 = 𝛼, ̸ 𝐵𝑃 𝐶 = 𝛽 deb belgilaylik. U holda ̸ 𝐵𝑃 𝐹 = 𝛼 + 𝛽, ̸ 𝐴𝐸𝐷 =
̸ 𝐶𝐸𝐹 =
̸ 𝐶𝑃 𝐹 = 𝛼, ̸ 𝐵𝐴𝐸 =
̸ 𝐵𝐴𝐶 = 180 ∘ −
𝐵𝑃 𝐶 = 180 ∘ − 𝛽, boshqa tarafdan 𝐵𝐴𝐸 burchak — 𝐷𝐴𝐸 uchburchakning tashqi burchagi, ̸ 𝐵𝐷𝐹 = ̸ 𝐵𝐷𝐸 =
̸ 𝐵𝐴𝐸 −
̸ 𝐴𝐸𝐷 = 180 ∘ − 𝛽 − 𝛼.
Demak, 𝐷𝐵𝑃 𝐹 to‘rtburchakning 𝑃 va 𝐷 uchlaridagi burchaklari yig‘indisi 180 ∘ ga teng. Shunga ko‘ra 𝑃 nuqta 𝐵𝐷𝐹 uchburchakka tashqi chizilgan aylanada yotadi. Xuddi shu kabi, 𝑃 nuqta 𝐴𝐷𝐸 uchburchakka tashqi chizilgan aylanada yotishini isbotlaymiz. Masala №6. Torrichelli nuqtasi 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning tomonlaridan tashqarida 𝐵𝐶𝐴 1 , 𝐶𝐴𝐵 1 , 𝐴𝐵𝐶 1 muntazam uchburchaklar yasalgan va 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵
1 hamda 𝐶𝐶
1 kesmalar o‘tkazilgan. Quyidagi- larni isbotlang: a) 𝐴𝐴
1 = 𝐵𝐵
1 = 𝐶𝐶
1 ; b) 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵
1 va 𝐶𝐶
1 to‘g‘ri chiziqlar bitta nuqtada kesishadi; c) agar bu nuqta 𝐴𝐵𝐶 uchburchakning ichida yotsa, u holda undan uchburchakning uchlarigacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi 𝐴𝐴 1 , 𝐵𝐵
1 , 𝐶𝐶
1 kesmalarning har biriga teng. Isbot. Uchburchakni 𝐴 uchi atrofida 60 ∘ burchakka burish natijasida 𝐶 1 nuqta 𝐵 ga, 𝐶 nuqta esa 𝐵 1
Shuningdek, 𝐶 1 𝐶 kesma 𝐵𝐵 1 kesmaga o‘tadi. Shuning uchun 𝐶𝐶 1 = 𝐵𝐵
1 . Xuddi shu kabi 𝐴𝐴 1
1 ekanini isbotlaymiz. Bundan ko‘rinadiki 𝐶𝐶 1 va 𝐵𝐵
1 to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak 60 ∘ ga teng. 𝐵𝐵 1 va 𝐶𝐶
1 to‘g‘ri chiziqlarning kesishgan nuqtasini 𝑄 deb belgilaylik. 𝐶 1
∘ burchak ostida ko‘rinadi. Shuning uchun 𝑄 nuqta 𝐴𝐵𝐶 1 uchburchakka tashqi chizilgan aylanada yotadi. Xuddi shunday mulohaza qilib, 𝑄 nuqta 𝐶𝐴𝐵 1 uchburchakka tashqi chizilgan aylanada yotishini ham isbotlaymiz. 5
Bundan ̸ 𝐵𝑄𝐶 + ̸ 𝐵𝐴 1 𝐶 = 120 ∘ + 60 ∘ = 180
∘ , va 𝑄 nuqta 𝐵𝐶𝐴 1 uchburchakka tashqi chizilgan aylanada yotadi. U holda ̸ 𝐴𝑄𝐴
1 = ̸ 𝐴𝑄𝐵 + ̸ 𝐵𝑄𝐴 1 = ̸ 𝐴𝑄𝐵 + ̸ 𝐵𝐶𝐴 1 = 120
∘ + 60
∘ = 180
∘ . Demak, 𝐴𝐴 1 to‘g‘ri chiziq 𝑄 nuqtadan o‘tadi. Endi 𝐴𝐵𝐶 uchburchakni 𝐴 uchi atrofida 60 ∘ burchakka buramiz, bunda 𝐵 uchi 𝐶 1 nuqtaga
o‘tsin. Natijada 𝑄 ning hosil bo‘ladigan obrazi 𝑄 1 ni qaraymiz. Bunda 𝐴𝑄𝐵 uchburchak 𝐴𝑄 1 𝐶 1 uchburchakka o‘tadi, shuningdek 𝑄𝐴𝑄 1 uchburchak teng tomonli, demak 𝑄𝑄 1 = 𝐴𝑄. Shuning uchun 𝐶
𝑄 = 𝐶 1 𝑄 1 + 𝑄
1 𝑄 = 𝐵𝑄 + 𝐴𝑄. Bundan kelib chiqadiki, 𝐶 1 𝐶 = 𝐶 1 𝑄 + 𝑄𝐶 = 𝐵𝑄 + 𝐴𝑄 + 𝐶𝑄. Shu kabi 𝐴𝐴 1 и 𝐵𝐵
1 ekanini
isbotlash mumkin. (Izoh. Shuningdek L. Radzivilovskiyning «Ещё раз о точке Торричелли» maqolasini o‘qib ko‘ring. Kvant, 2014, N3, 38-42 b.) 6 Download 0.59 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|