Binar operatsiyalarining ba’zi elementlari. Neytral element

6-variant.
1 – topshiriq. Berilgan savollarga javob tayyorlang.

1. 
   Neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar.
   

Binar operatsiyalarining ba’zi elementlari.

Neytral element. Butun sonlar to‘plami da berilgan ixtiyoriy songa 0 sonini qo‘shish, ixtiyoriy sonni 1 soniga ko‘paytirish bilan natija o‘zgarmasligi bizga ma’lum.

10-ta’rif. A to‘plamda berilgan * algebraik operatsiyaga nisbatan a,eA elementlar uchun a*e=e*a=a tenglik o‘rinli bo‘lsa, shu to‘plamning e elementi neytral element deyiladi.

Teorema. Berilgan A to‘plamda faqat bitta neytral element mavjud bo‘ladi.

Isbot. Aytaylik, A to‘plamda e dan tashqari e₁ ham neytral element bo‘lsin, u holda aA uchun e₁*a=a*e₁=a bajarilishi kerak. e₁*e=e*e₁=e, shu bilan birga e*e₁=e₁*e=e₁. Bu tengliklar bajarilishidan e=e₁ ekani kelib chiqadi.

Har qanday to‘plam ham neytral elementga ega bo‘lavermaydi. Natural sonlar to‘plamida qo‘shishga nisbatan neytral element mavjud emas, chunki a+e=a tenglikni o‘rinli qiladigan e soni N da mavjud emas.

Nomanfiy butun sonlar to‘plamida a+0=a; a·1=a tengliklar o‘rinli bo’lgani uchun, qo‘shish amaliga nisbatan 0 soni, ko‘paytirish amaliga nisbatan 1 soni neytral element hisoblanadi.

Agar A to‘plamda * amaliga nisbatan neytral e element mavjud bo‘lsa, * algebraik operatsiya bilan berilgan har qanday ifodada neytral e elementni * algebraik operatsiya bilan birgalikda tashlab yuborish mumkin bo’ladi:

Yutuvchi element.

11-ta’rif. Agar A to‘plamda ωA topilsaki, xA uchun a*ω=ω*a tenglik bajarilsa, berilgan * algebraik operatsiyaga nisbatan ω element yutuvchi element deyiladi.

Butun sonlar to‘plami Z da har qanday sonni 0 ga ko‘paytirish natijasida 0 soni hosil bo‘ladi: a·0=0.

Demak, ko‘paytirish amaliga nisbatan 0 element yutuvchi element hisoblanar ekan. Shuningdek ω element * algebraik amalga nisbatan yutuvchi element bo‘lsa, ω element bilan shu amal birgalikda berilgan har qanday ifodani ω element bilan almashtirish mumkin bo‘ladi.

Simmetrik element.

Ratsional sonlar to‘plamida quyidagi tengliklar o‘rinli:



Birinchi tenglikda ayirish amali qo‘shish amali bilan, b soni esa, unga qarama-qarshi (-b) soniga, ikkinchi tenglikda bo‘lish amali ko‘paytirish amali bilan, b soni esa unga teskari bo‘lgan  soni bilan almashtiriladi.

Qarama-qarshi, teskari sonlar simmetrik elementning xususiy hollaridir.

Aytaylik, A to‘plam va * algebraik operatsiya berilgan bo‘lsin, e element A to‘plamining neytral elementi bo‘lsin.

12-ta’rif. Agar aA uchun a*a ̃=a ̃*a=e tenglik o‘rinli bo‘lsa, a ̃ element a element uchun simmetrik element deyiladi.

Teorema. A da berilgan * algebraik operatsiya assotsiativ bo‘lsa, * operatsiyasiga nisbatan A ning har bir elementiga faqat bitta simmetrik element mos keladi.

Isbot. Aytaylik, A to‘plamda a elementga ikkita  va elementlar simmetrik bo‘lsin.

U holda ta’rifga asosan   

* operatsiyasi assotsiativ bo‘lganidan

e*.

Bundan ko‘rinadiki, * operatsiyasiga nisbatan A to‘plamning har bir elementi faqat bitta simmetrik elementga ega bo‘ladi.

Shunday to‘plamlar mavjudki, ularning har bir elementiga bitta ham simmetrik element mos kelmaydi.

Masalan, nomanfiy butun sonlar to‘plamida qo‘shish amaliga nisbatan aA₀ ga simmetrik element (-a) mavjud emas, -aA₀.

Ko‘paytirish amaliga nisbatan simmetrik element teskari element, qo‘shish amaliga nisbatan esa simmetrik element qarama-qarshi element deyiladi.

Ma’lumki, ratsional sonlar to‘plamida a ga teskari  (a≠0);  ga teskari  ; a ga qarama-qarshi (-a); (-a)ga qarama-qarshi -(-a)=a, ya’ni =a o‘rinli bo‘ladi.