Bo‘sh bo‘lmagan


Download 218.91 Kb.
bet1/2
Sana21.01.2023
Hajmi218.91 Kb.
#1107365
  1   2
Bog'liq
2-ma\'ruza Algebradan
oxford-practice-grammar-basic-tests, tuNxPLcaralBMxAc3a6N3A, zuhra, zuhra., Petrova, kurs ishi global iqtisodiyot new11, Hozirgi davrning global muammolari, Ma\'lumotlar bazasi 1-laboratoriya (1) (2).Maqsudova S, 1039, Raqamli iqtisodiyotda axborot kommunikatsiya texnologiyalar, Xalilova Ziyodaxon Latipjon qizi (207)Bolalar tafakkuri va uning indvidual xususiyatlari, Reja Iqtisodiyot va uning bosh masalasi Iqtisodiyot nazariyasin, Reja Iqtisodiyot va uning bosh masalasi Iqtisodiyot nazariyasin, Mavzu Ko’p omilli ekonometrik tahlilda omillarni tanlash muammo, Mavzu Ko’p omilli ekonometrik tahlilda omillarni tanlash muammo (1)

2-ma'ruza. O‘rin almashtirishlar gruppasi
Endi chekli nokommutativ gruppa bo‘lgan o‘rin almashtirishlar gruppasini aniqlaymiz. O‘rin almashtirishlar gruppasi bu bo‘sh bo‘lmagan chekli to‘plamni o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi barcha biyektiv akslantirishlar to‘plamining superpozi-tsiya amaliga nisbatan aniqlangan gruppasi hisoblanadi. Ushbu gruppa muhim
gruppalardan bo‘lib, to‘plamning quvvati 2 dan katta bo‘lganda u nokommutativ gruppa bo‘ladi.
Bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamda aniqlangan π : X → X biyektiv akslantirishga X to‘plamning o‘rin almashtirishi deb ataladi. X to‘plamning barcha o‘rin almashtirishlaridan iborat bo‘lgan to‘plamni S(X) kabi belgilaymiz. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, S(X) to‘plam superpozitsiyasi (kompozitsiya) amaliga nis-batan gruppa tashkil qiladi, ya’ni ixtiyoriy f, g ∈ S(X) o‘rin almashtirishlarning ko‘paytmasi sifatida ularning f ◦ g superpozitsiyasini qaraymiz.
Ushbu amal uchun assosiativlik o‘rinli bo‘lib, birlik element vazifasini ayniy akslantirish, teskari element vazifasini esa teskari akslantirish bajaradi. Ushbu (S(X), ◦) gruppaga o‘rin almashtirishlar gruppasi deb ataladi.
Agar X to‘plam chekli to‘plam bo‘lib, uning elementlari soni n ta, ya’ni |X| = n bo‘lsa, u holda (S(X), ◦) gruppa Sn kabi belgilanadi. Sn o‘rin almashtirish-lar gruppasining elementlarini qulayroq ko‘rinishda yozish uchun quyidagi bel-gilashlarni kiritib olamiz. |X| = n bo‘lganligi uchun X to‘plam o‘rniga In = {1, 2, . . . , n} to‘plamni qarab π : In → In biyektiv akslantirishni
π = {(1, π(1)), (2, π(2)), . . . , (n, π(n))}
(1) π(2) π(3) . . . π(n) (1.1)
ko‘rinishda yozib olsih mumkin. Demak, Sn gruppaning ixtiyoriy elementini (1.1) ko‘rinishda yozish mumkin.
Masalan, I4 da aniqlangan π ∈ S4 biyektiv akslantirishni π(1) = 2, π(2) = 4, π(3) = 3 va π(4) = 1 ko‘rinishda aniqlasak, bu elementni quyidagicha yozish mumkin:
1.2.1-tasdiq. Sn (n ≥ 3) gruppa nokommutativ (kommutativ emas) va |Sn| = n!.
Isbot. Dastlab, ushbu gruppaning nokommutativ ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun quyidagi π1, π2 ∈ Sn elementlarni qaraymiz
2.1-ta’rif. π ∈ Sn o‘rin almashtirish
2 i3 . . . ik i1
ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, ya’ni π(i1) = i2, π(i2) = i3, . . . , π(ik−1) = ik, π(ik) = i1 bo‘lib, a ∈ In \ {i1, i2, . . . , ik} elementlar uchun π(a) = a bo‘lsa, u holda bu o‘rin almashtirishga uzunligi k ga teng bo‘lgan sikl yoki k-sikl deb ataladi va (i1, i2, . . . , ik) ko‘rinishida yoziladi. Uzunligi 2 ga teng bo‘lgan sikl esa transpozitsiya deyiladi.
Uzunligi k ga teng bo‘lgan π = (i1, i2, . . . , ik−1, ik) siklni k xil usulda yozish mumkin, ya’ni quyidagi tengliklar o‘rinli
π = (i1, i2, . . . , ik−1, ik) = (i2, i3, . . . , ik, i1) = · · · = (ik, i1, . . . , ik−2, ik−1).
Sikl ko‘rinishidagi o‘rin almashtirishlarni sonlarning orasiga vergul qo‘ymasdan (i1i2 . . . ik) kabi yozish ham qabul qilingan. Masalan, (S3, ◦) gruppaning barcha elementlari
.2-ta’rif. Bizga π1, π2 ∈ Sn o‘rin almashtirishlar berilgan bo‘lsin. Agar π1(k) 6= k shartni qanoatlantiruvchi barcha k lar uchun π2(k) = k bo‘lib, va aksin-cha π2(i) 6= i lar uchun π1(i) = i bo‘lsa, u holda π1 va π2 o‘rin almashtirishlar kesishmaydigan o‘rin almashtirishlar deyiladi.
3 1 5 4 o‘rin almashtirish uchun π = π1 π2 = π2 π1
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa, π o‘rin almashtirishni kesishmaydigan π1 va π2 sikl-larning ko‘paytmasi shaklida ifodalanishini bildiradi. Bundan tashqari, o‘zaro ke-sishmaydigan o‘rin almashtirishlar uchun kommutativlik xossasi o‘rinli bo‘lib, bir nechta o‘zaro kesishmaydigan o‘rin almashtirishlarni ko‘paytirganda ham ularning joylashish tartibi ahamiyatga ega emas.
Quyidagi teoremada birlik elementdan farqli bo‘lgan ixtiyoriy o‘rin al-mashtirishni kesishmaydigan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkinligi ko‘rsatiladi.
2.1-teorema. Ixtiyoriy π ∈ Sn (n ≥ 2) o‘rin almashtirish o‘zaro kesishmaydi-gan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida (sikllarning joylashish tartibini hisobga olma-gan holda) yagona tarzda ifodalanadi.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun induksiya usulidan foydalanamiz. Agar n = 2 bo‘lsa, u holda S2 = {e, (12)} bo‘lib, teorema o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Teoremani barcha Sk, 2 ≤ k < n gruppalar uchun o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilib, uni Sn uchun isbotlaymiz. Ixtiyoriy π ∈ Sn, π 6= e element uchun (1), π2(1), π3(1), . . . , πs(1), . . . } ⊆ In to‘plamni qaraymiz. In to‘plam chekli bo‘lganligi uchun, πl(1) = πm(1) tenglikni qanoatlantiradigan l va m natural son-lari mavjud. U holda p = |l − m| uchun πp(1) = 1. Demak, πp(1) = 1 tenglikni qanoatlantiruvchi p natural soni mavjud. Bunday sonlarning eng kichigini i deb belgilaymiz, ya’ni i = min

Download 218.91 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2023
ma'muriyatiga murojaat qiling