Buralish ta’rifi va belgilanishi. Ixtiyoriy parametrlashtirilgan chiziq buralishining formulasi. Frene formulalari

6-Ma’ruza: Buralish va uni hisoblash formulalari. Frene formulalari.

Reja:

1. 
   Buralish ta’rifi va belgilanishi.
   
2. 
   Ixtiyoriy parametrlashtirilgan chiziq buralishining formulasi.
   
3. 
   Frene formulalari.
   

Tayanch so`z va iboralar: absolyut buralish, buralishi, tabiiy tenglamalari, Frene formulalari, tabiiy uchyoqlik.

Tabiiy parametrlashtirilgan chiziq

(1)

tenglamasi orqali berilgan bo‘lsin. cheksiz yaqin nuqtalarida chiziqqa yopishma tekisliklar o‘tkazaylik. YOpishma tekisliklar tashkil etgan burchakni belgilaylik. YOpishma tekisliklar tashkil etgan burchak P va Q nuqtalardagi binormal vektorlar tashkil etgan burchakka teng, ya’ni . chiziqning P va Q nuqtalar bilan chegaralangan kesmasi (yoyi)ning uzunligi bo‘lsin.

Ta’rif. chiziqning P nuqtasidagi absolyut buralishi deb, nisbatning nuqta chiziq bo‘ylab P nuqtaga intilgandagi limitiga aytiladi va

(2)

ko‘rinishda belgilanadi.

Teorema. Regulyar (uch marta uzluksiz differensiallanuvchi) chiziq o‘zining (egrilik) noldan farqli bo‘lgan har bir nuqtasida ma’lum bir absolyut buralish ga ega. Agar chiziq (1) ko‘rinishdagi tenglama orqali berilgan bo‘lsa, u holda

(3)

o‘rinlidir.

Isboti: nuqtalarda bo‘lgani uchun o‘zaro kallinear yoki ulardan biri nolь vektor bo‘lishi mumkin emas. Aks holda shu nuqtalarda yopishma tekisliklarni mavjudlik va birdan birlik sharti bajarilmaydi.

17-chizma

nuqtalardagi binormal vektorlarni 0 nuqtaga ko‘chiramiz. Ular birlik vektorlar bo‘lgani uchun OAV uchburchak teng yonli yoki

SHunday qilib, (4)

(*) va (**) munosabatlardan vektorlarning kollinearligi kelib chiqadi.

(5)

(5) ga

(6)

larni qo‘ysak,

(7)

kelib chiqadi. SHuni isbot qilish so‘ralgan edi.

«+» ishorada chiziq bo‘ylab P nuqtadan Q nuqtaga o‘tishda yopishma tekislik urinma atrofida dan tomonga buriladi «-» ishorada esa dan yo‘nalishga buriladi.

Endi ko‘rinishda berilgan ixtiyoriy parametrlashtirilgan chiziq uchun buralish formulasini yozaylik. va parametrlar orasida moslik o‘rinli

(8)

(8* )

(9),

(10)

Agar chiziq , , koordinat ko‘rinishida berilgan bo‘lsa (10) quyidagicha yoziladi.

(11)

Misol: Har bir nuqtasida bo‘lgan chiziqni aniklang.

Ma’lumki

ko‘ramizki chiziq tekis chiziq bo‘lib chiziqning har bir nuqtasidan yo‘naltiruvchi vektorlari bo‘lgan uchta nurlar chiqadi. Ular uch yoqli burchakning qirralarini ifodalaydi. Ushbu uchyoqni tabiiy uch yoq deb ataymiz.

vektorlarning hosilalarini shu vektorlarning o‘zlari bilan ifodalaymiz

SHunday qilib

(12)

(12)-ni Frene formulalari deyiladi.

Egrilik K₁ va buralish K₂ chiziq bo‘ylab – parametrning funksiyasi bo‘lib (13) tenglamalarni chiziqning tabiiy tenglamalari deyiladi.

Agar chiziqning tabiiy tenglamalari berilgan bo‘lib bo‘lsa, u o‘zining fazodagi o‘rni farqi bilan bir qiymatli ravishda aniqladi.