Cheksiz kichik va Cheksiz katta miqdorlar. Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi

17-variant

1. 
   Cheksiz kichik va Cheksiz katta miqdorlar.
   
2. 
   Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi.
   
3. 
   Ixtiyoriy A,B,C,D to’plamlar uchun quyidagi munosobat isbotlansin
   

4. 
   Quyidagi ketma-ketlikning umumiy hadiga ko’ra dastlabki 6 ta hadi topilsin:
   

Javoblar:

1. Faraz qilaylik, _n  ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.

2-ta’rif. [2. p.130]Agar _n  ketma-ketlikning limiti nolga teng, ya’ni lim _n  0 n

bo‘lsa, _n  - cheksiz kichik miqdor deyiladi. Masalan,

1 ⁿ, q 1

_n  ва _n  q n

ketma-ketliklar cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.

Aytaylik, x_n  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti a ga teng bo‘lsin: lim x_n  а. n

U holda _n  x_n  a cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Keyingi tenglikdan topamiz: x_n  a _n . Bundan esa quyidagi muhim xulosa kelib chiqadi:

x_n  ketma-ketlikning a (a  R) limitga ega bo‘lishi uchun _n  x_n  a ning cheksiz kichik miqdor bo‘lishi zarur va etarli.

Ketma-ketlikning limiti ta’rifidan foydalanib quyidagi ikkita lemmani isbotlash qiyin emas.

1-lemma. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlar yigindisi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.

2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdor ko‘paytmasi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.

3-ta’rif. [2, p.70, def. 3.7]Agar har qanday M soni olinganda ham shunday natural n₀ soni topilsaki, barcha n  n₀ uchun

x_n  M

tengsizlik bajarilsa, x_n  ketma-ketlikning limiti cheksiz deyiladi va lim x_n  

n kabi belgilanadi.

Agar x_n  ketma-ketlikning limiti cheksiz bo‘lsa, x_n  cheksiz katta miqdor deyiladi. Masalan,

x_n  (1)ⁿ n

ketma-ketlik cheksiz katta miqdor bo‘ladi.

2.[a₁, b₁] va [a₂, b₂] segmentlar berilgan bo‘lsin. Agar

[a₁, b₁] [a₂, b₂]

bo‘lsa, [a₁, b₁] segment [a₂, b₂] segmentning ichiga joylashgan deyiladi. Bu holda a₁ a₂ b₂ b₁ bo‘ladi.

[a₁, b₁],[a₂, b₂],....,[a_n, b_n ],... (6)

segmentlar ketma-ketligi quyidagi

[a₁, b₁] [a₂, b₂] ... [a_n, b_n] ...

munosabatda, ya’ni n N da

[ , ] . [ , ]

bo‘lsa, (6) ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi deyiladi.