Chiziqli operatorlar spektral nazariyasi


Download 397.79 Kb.
Pdf ko'rish
Sana04.05.2020
Hajmi397.79 Kb.

171-amaliy matematika va informatika guruhi talabasi O’razmatova Surayyoning  

“Chiziqli operatorlar spektral nazariyasi” fanidan mustaqil ishi 

 

Mavzu:


 Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi

 

  



Reja: 

1. 


 Chiziqli operatorlarga doir tushunchalar:xos qiymat,xos vektor,chiziqli 

operatorlarning chegaralanganligi haqida teorema.

 

2. 


 Chiziqli operatorlar spektri haqida tushuncha.

 

3.   



Chiziqli operatorning rezolventasi. 

 

4. 



 Mavzuga  doir topshiriqlar.

 

 



 

Operatorlar nazariyasida spektr tushunchasi eng muhim tushunchalardan 

biridir. Chiziqli operator spektrini o`rganish matematik  fizika uchun muhimdir. 

Masalan, kvant mexanikasida sistema Hamiltoniani - bu Hilbert fazosidagi o`z-o`ziga 

qo`shma operatordir, uning spektrini o`rganish sistema  fizik xususiyatlarini o`rganish 

uchun muhimdir. Spektr tushunchasini dastlab chekli o`lchamli 

fazolardagi chiziqli operatorlar uchun eslatamiz. 

Faraz qilaylik, 

:

n

n

A C

C



 chiziqli operator berilgan bo`lsin. Agar biror 



 son uchun  



Ax

x



 

tenglama nolmas  



n

x

C



 yechimga ega bo`lsa, u holda  



 son operatorning  xos 

qiymati  deyiladi, unga mos keluvchi nolmas  x  yechim esa  xos vector deyiladi. 

Ma'lumki, har bir 

:

n

n

A C

C



 chiziqli operatorga  

 

ij

a

n n

 


 matritsa mos keladi va 

aksincha. Chiziqli algebra kursidan ma'lumki, agar 



 son operatorning  xos qiymati  

bo`lsa, 


det(

)

0



A

I





 bo`ladi  va  aksincha  

n n



  matritsa  determinanti 

det(

)

0



A

I





 

parametr  



  ning n- darajali ko`phadi  bo`ladi  va 

det(


)

0

A



I



 tenglama ko`pi bilan  

ta ildizga ega, ya'ni  

:

n



n

A C

C



 chiziqli operator  ko`pi  bilan  ta  xos qiymatga ega. 

Agar 



 son operatorning  xos  qiymati  bo`lsa  



A

I



 ga teskari operator mavjud emas 

va aksincha. Agar 



 son operator uchun xos qiymat bo`lmasa, ya'ni  

det(


)

0

A



I





  

bo`lsa, u holda  



A

I



 ga teskari operator mavjud  va u 

n

C

 fazoning hamma yerida 

aniqlangan bo`ladi. 

1-teorema

:

n



n

A C

C



 chiziqli  operator  chegaralangandir. 



Isbot. 

n

C

 fazoda 


1

2

,



,........,

n

e e

e

 ortonormal  bazisni  tanlaymiz. U holda har bir 

n

x

C



 

vektor  yagona  usulda 

1

n



i i

i

x

x e





 

ko`rinishda tasvirlanadi. Agar operator  

n

C

 da  aniqlangan chiziqli operator  bo`lsa, u 

holda 

1

n



i

i

i

Ax

x Ae





 

bo`ladi.  Shunday  ekan,  chiziqli  operator  o`zining   

1

2

,



,........,

n

e e

e

    bazis  vektorlardagi 

qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi. Endi  Ax  ning normasini baholaymiz 

 

Bu yerda: 



 

Yuqorida  aytilganlarning  natijasi  sifatida  shuni  ta'kidlash  lozimki,  chekli  o`lchamli 

fazolardagi 

chiziqli 

operatorlar 

uchun 


quyidagi 

ikki 


holat 

sodir 


bo`lishi mumkin: 

1. 

  son  uchun    Ax=



x  tenglama  nolmas  yechimga  ega,  ya’ni   

  son  A 



operator    uchun  xos  qiymat.  Bu  holda   

A

I



  ga  teskari  operator  mavjud 

emas; 


2. 

  son  uchun   



n

C

    fazoning  hamma  yerida  aniqlangan 

1

(

)



A

I



  operator 

mavjud va chegaralangan. 

Chekli 


o`lchamli 

fazolarda 

chiziqli 

operatorning 

xos 

qiymatlari 



to`plami 

operatorning  spektri  deyiladi.  Agar 



  son  A  operator  uchun  xos  qiymat 



bo`lmasa,  u  A  operatorning  regulyar  nuqtasi  deyiladi.  Umuman  aytganda, 

chekli o`lchamli fazolarda spektr termini kam ishlatiladi. 

   Agar  A  operator  cheksiz  o`lchamli  X  fazoda  berilgan  bo`lsa,  u  holda 

yuqorida  keltirilgan  1  va  2  holatlardan  farqli  bo`lgan  uchinchi  holat  ham

 

bo`ladi,ya'ni: 



3. 

1

(



)

A

I



    operator  mavjud,ya’ni    Ax=

x    tenglama  faqat  nol  yechimga 



ega,lekin  

1

(



)

A

I



 operator X fazoning hamma yerida aniqlanmagan yoki 

 

Im(


)

A

I

X





 

1-ta'rif. Agar  



 son uchun  

A

I



  ga teskari operator  mavjud bo`lib, u X  ning 

hamma yerida aniqlangan bo`lsa, 



  soni  A  operatorning regulyar nuqtasi deyiladi. 

1

( )



(

)

R A



A

I





 

operator  esa A operatorning  



 nuqtadagi  rezolventasi  deyiladi. Barcha regulyar 

nuqtalar  to’plami  

( )


A

 orqali  belgilanadi. 



2-ta'rifoperatorning  regulyar bo`lmagan barcha nuqtalari to`plami operatorning  

spektri deyiladi  va  u  σ(A)  orqali belgilanadi. 

3-ta'rif. Agar biror  



 son uchun  

(

)



0

AI

x





  tenglama  nolmas 

0

x



 yechimga ega bo`lsa, 



 son operatorning  xos qiymati  deyiladi, nolmas yechim 



esa  xos vektor  deyiladi. 

   Ko`rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar  to`plami spektrda yotadi, chunki 



 xos 

qiymat  bo`lsa, 



A

I



 operatorning  teskarisi  mavjud  emas. 

   Spektr quyidagi qismlarga ajratilad: 



4-ta'rif

a) Barcha xos  qiymatlar  to`plami  operatorning  nuqtali spektri  deyiladi  va  

( )


pp

A

bilan belgilanadi





b) Agar 



 xos qiymat bo`lmasa  va 

Im(

)

A



I

X



, ya'ni  



A

I



  operatorning qiymatlar 

sohasi  ning hamma yerida zich emas. Bunday  



  lar to`plami operatorning  qoldiq 

spektri  deyiladi  va  

( )


qol

A



 bilan belgilanadi

Endi o`z-o`ziga qo`shma operatorlar uchun muhim spektr ta'rifni keltiramiz. 



5-ta'rif. Agar biror  

( )


A

 




 son uchun nolga kuchsiz yaqinlashuvchi  

n

f

H

 birlik 



vektorlar ketma-ketligi mavjud bo`lib, 

0

lim (



)

n

A

I





 



bo`lsa, u holda  



  son  



A

A



  operatorning  muhim spektriga qarashli  deyiladi. 

operatorning  muhim spektri 

( )


ess

A



  bilan belgilanadi.  

Operatorning nuqtali va qoldiq spektrlari o`zaro kesishmaydi. Nuqtali va muhim spektrlar 

o`zaro kesishishi mumkin. 



2-teorema. Agar 

( )


A

L x



 va  



A



 bo`lsa, u holda 



   regulyar nuqta bo`ladi. 



Isbot. 

A

I



 operatorni quyidagicha yozib olamiz: 

                                 

1

(



)

A

I

I

A



 





                                       (1) 

Operatorning  spektri σ(A) regulyar  nuqtalar  to`plamining  to`ldiruvchi  to`plami 

bo`lgani  uchun  

( )


A



 ning ochiq  to`plam  ekanligini  ko`rsatish  yetarli. Endi  

( )

A

 


  

ixtiyoriy  nuqta  bo`lsin,  ya'ni  

A

I



 operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan 

bo`lsin. U holda  6-teoremaga  ko`ra, barcha  

1

,

( (



)

A

I

 






  lar  uchun   

A

I

I





 

operatorning  ham chegaralangan teskarisi  mavjud. Demak, 

( )


A

 


  nuqta o`zining    



1

1

( (



) )

0

A



I





  atrofi  bilan  



( )

A

  ga qarashli ekan. Bu esa  



nuqtaning  

( )

A

 



to`plam  uchun ichki  nuqta  ekanligini  bildiradi. 



  ning ixtiyoriyligidan 

( )

A



 ning 

ochiq to`plam  ekanligi  kelib chiqadi. Demak,20.4-teoremaga ko`ra  

( )


/ ( )

A

A





 

yopiq to`plam.                                                      

                                                                                                                                            ∆ 

Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiz



4-teorema 

(

)



A

L H



 o`z-o`ziga qo`shma operator bo`lsin. U holda: 

    a) 

( )


qol

A



 bo`sh to`plam. 

    b) σ(A)  to`plam R  ning  qismi,  ya'ni  

( )


A

R



     

    c) operatorning  har  xil  xos qiymatlariga  mos keluvchi xos  vektorlari o`zaro 

ortogonaldir. 



1-misol.  

 


2

,

L a b



 Hilbert fazosida  erkin   o`zgaruvchi  x  ga  ko`paytirish operatori ya'ni: 

                                        

 

 


2

2

:



,

,

, (



)( )

( )


A L a b

L a b

Af

x

xf x



 

operatorni qaraymiz. Uning  nuqtali,  qoldiq  va  muhim  spektrini  toping. 



Yechish

A

A



 bo`lishi uchun, deyarli barcha  

 


,

x

a b



 larda  

( )

u x



 bo`lishi zarur va 

yetarlidir 

 

va  



( )

( )


u x

x

x

u x

  


 tenglikka  ko`ra, 

A

A



  4-teoremaning     a)-tasdig`iga  

ko`ra  



qol

A

 



.  Ma'lumki, 

                                      

(

)( )



( )

Af

x

xf x



  ya'ni 

(

)

( )



x

f x



 ,                         (2)        

tenglama ixtiyoriy ‚ 

C



 uchun  yagona nol yechimga ega. Demak, operator xos 

qiymatlarga ega emas, ya'ni 



pp

A

 



  (2) -tenglama faqat nol yechimga ega ekanligidan  

3-teoremaga ko`ra  

(

) ( )


( )

A

I f x

g x



 tenglamaning  ixtiyoriy  

Im

g

A



 da yagona 

yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Ko`rsatish  mumkinki  

A

I



 operatorga  teskari 

operator 

                                      

1

1



(

)

( )



(

)

( )



A

I

g x

x

g x





                          (3) 



formula bilan aniqlanadi. Agar  

 


,

a b



 bo`lsa, u holda  

(

)



0

x





 , natijada 

1

(



)

A

I



 operator  

 

2

,



L a b

 fazoning hamma yerida aniqlangan va Banax  teoremasiga 

ko`ra, u chegaralangan bo`ladi. Demak, 

 

,

a b



 regulyar nuqta, ya'ni 



 

( )


,

A

a b



Lekin (3) formula bilan aniqlangan teskari operator  

 

,

a b



 bo’lganda  



 

2

,



L a b

 

fazoning hamma yerida aniqlanmagan. Demak, 

 

,

( )



a b

A



 . Bulardan, σ(A) = [a; b]

Endi operatorning spektridagi ixtiyoriy nuqta uning muhim spektriga qarashli 

ekanligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy  

 


,

a b



 uchun   

 

deymiz. Ma'lum nomerdan boshlab 

1

b

n

 



  bo`ladi va bunday nomerlar uchun 

1

n



f

tenglik o`rinli. Bundan tashqari har xil  va  m  larda 



n

m

A

A

 



 bo`lgani uchun 

(

)



0

n

m

f

f



  tenglik o`rinli, ya'ni 

 


n

f

 ortonormal sistema ekan. Ma'lumki, ixtiyoriy 

ortonormal sistema nolga kuchsiz ma'noda yaqinlashadi, shuning uchun 

 

n

f

 ketma-


ketlik ham nolga kuchsiz ma'noda yaqinlashadi. Endi 

(

)



n

A

I f



 norma kvadratini 

hisoblaymiz: 

 

Demak, ta'rifga ko`ra,  



 

,

a b



son operatorning muhim spektriga qarashli ekan. 



b



nuqtani operatorning muhim spektriga qarashli bo`lishini o`quvchiga mustaqil isbotlash 

uchun qoldiramiz. Shunday qilib, operatorning spektri faqat muhim spektrdan iborat 

bo`lib, u [a; b] kesma bilan ustma-ust tushadi. Xulosa, 

 

2-misol. 1-misolda qaralgan operatorni C[a; b] Banax fazosida, ya'ni 



                                      

 


 

:

,



,

, (


)( )

( )


A C a b

C a b

Af

x

xf x



 

operatorni qaraymiz. Uning nuqtali va qoldiq spektrini toping. 



Yechish. Ma'lumki, ((2) - ga qarang) 

(

)( )



( )

Af

x

f x



 ya'ni 

                                             

 


(

) ( )


0,

,

x



f x

f

C a b





                                   (4) 

tenglama ixtiyoriy 

C



uchun yagona  nol yechimga ega. Demak, operator xos 

qiymatlarga ega emas, ya'ni  



pp

A

 



 (4) tenglama faqat nol yechimga ega ekanligidan 

3-teoremaga ko`ra  

(

) ( )


( )

A

I f x

g x





 tenglamaning ixtiyoriy 

( )


Im

g x

A



 da yagona 

yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Demak, 

A

I



 operatorga teskari operator mavjud 

va u (3)- formula bilan aniqlanadi. Xuddi  1-misoldagi kabi ko`rsatishimiz mumkinki, 



σ(A) = [a,b] tenglik o`rinli. Haqiqatan ham, agar 

 


,

a b



  bo`lsa, u holda (3)-ning o`ng 

tomoni ixtiyoriy 

 

,

g



C a b



 da uzluksiz funksiya bo`lada, ya'ni 

 

1

((



) )

,

D A



I

C a b





  va 

teskari  operatorlar  haqidagi  Banax  teoremasiga  ko`ra,  

1

(



)

A

I



  operator 

chegaralangan bo`ladi. Demak 



 regulyar  nuqta, ya'ni 

 

( )


,

A

C a b



 Agar 

 


,

a b



  

bo`lsa, u holda (3)- formula bilan aniqlangan  

1

(

)



A

I



 operator C[a; b] fazoning 

hamma yerida aniqlanmagan, bundan  

 


,

( )


a b

A



. Bulardan, σ(A) = [a,b] ekanligi kelib 

chiqadi. Endi 

( )


( )

qol

A

A



 ekanligini ko`rsatamiz. Ixtiyoriy  

 

,

a b



 uchun  



A

I



 

operatorning qiymatlar sohasi 

                                         

 


Im(



)

,

: ( )



(

) ( )


A

I

g

C a b

g x

x

f x





 



C[a; b] fazoda zich emas. Haqiqatan ham, 

Im(


)

A

I



 chiziqli ko`pxillilikdagi 

ixtiyoriy  g  uchun  

( )

0

g





 shart bajariladi. Agar biz  

0

( ) 1


f x



 desak,  u holda 

Im(

)

g



A

I





 uchun  

 

tengsizlik o`rinli. Demak, 



Im(

)

A



I



 chiziqli  ko`pxillilikdan   

0

( ) 1



f x

 elementga 



yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Qoldiq spektr  ta'rifiga ko`ra, 

ixtiyoriy  

 

,

a b





 uchun  

( )

qol

A

 


 munosabat o`rinli. Bundan 

( )

( )


qol

A

A



 kelib 


chiqadi. Teskari munosabat  

( )


( )

qol

A

A



 doim o`rinli. Demak, 

 

( )


( )

,

qol



A

A

a b



 ∆ 



1-va 2-misollarda bir xil qonuniyat bo`yicha ta'sir qiluvchi  operator  har  xil 

 


2

,

L



a b



 

va C[a; b] fazolarda qaralgan. Har ikki holda ham operatorning spektri [a, b] kesma 

bilan ustma-ust tushgan, lekin spektrning qismlarida (strukturasida) o`zgarish bo`ldi. 

Birinchi holda (1-misolda) 

( )


qol

A

 



 edi, ikkinchi holda 

 


( )

,

qol



A

a b



.        

3-misol.  Endi 

2

l

  Hilbert fazosida ko`paytirish operatorini, ya'ni 

                         

2

2

:



A l

l

,   



1 1

2 2


(

,

,....



....)

n

n

Ax

a x a x

a x

,                                      (5) 



operatorni qaraymiz .Uning xos qiymatlarini va spektrini toping. 

Yechish. 

1

sup



n

n

a

a

  



 bo`lgan holda, ning chegaralangan ekanligi ma’lum. Bundan 

tashqari   

1

sup


n

n

A

a

a





  tenglik isbotlangan edi. 

Ax

x



 tenglama 

n

a



 bo`lganda 

(0,......., 0,1, 0,......)



n

e



 nolmas yechimga ega. Demak, 

,

n

a n

N



 sonlar operatorning xos 

qiymatlari bo`lar ekan. Agar birorta ham 

n

N



 da 



n

a



 bo`lsa, u holda 

A

I



 operator 

teskarilanuvchan bo`ladi va 

                             

1

1



2

1

2



(

)

(



,

,....


,...)

n

n

x

x

x

A

I

x

a

a

a





 




,                              (6) 

Bulardan 



1



2

,

,.... ....



( )

n

pp

a a

a

A



 tenglik kelib chiqadi. Ma'lumki, xos qiymatlar 

operatorning spektriga qarashli bo`ladi, shuning uchun 

                                                        



1

2

,



,.... ....

( ).


n

a a

a

A



 

Ikkinchi tomondan chegaralangan operatorning spektri yopiq to`plamdir, demak 

( )

pp

A

to`plamning yopig`i 



[

( )]


pp

A

 uchun 



                                      



1

2

,



,.... ....

[ ( )]


( )

n

a a

a

A

A



                               (7)   



munosabat o`rinli. Agar  

[

( )]



pp

A

 


 bo`lsa, u holda  (6)- tenglik bilan 

aniqlangan 



2

,

L

 



operator 



2

l

 fazoning hamma yerida aniqlangan va chegaralangan 

bo`ladi. Bundan 

/ [


( )]

( )


pp

C

A

A A



 ekanligi kelib chiqadi. 

     Bu yerdan 

                                                     

( )

[

( )]



pp

A

A



                                      (8)   

(7) - va (8)- munosabatlardan 

( )


[

( )]


pp

A

A



 ga kelamiz. Ko`rsatamizki, 

 

n

a

ketma-


ketlikning barcha limitik nuqtalari  operatorning muhim spektriga qarashli bo`ladi. 

Buning uchun limitik nuqta 



 ga yaqinlashuvchi 

 


k

n

a

 qismiy ketma-ketlikni qaraymiz. 

U holda 


 

 


k

n

e

ketma-ketlik ortonormal sistema bo`lganligi uchun nolga kuchsiz ma'noda 

yaqinlashadi. Demak, 

 son operatorning muhim spektriga qarashli ekan.               ∆ 



4-misol. Quyidagicha savol qo`yamiz. 

2

l

 Hilbert fazosida shunday 

2

2



:

A l

l

 chiziqli 



operatorga misol keltiringki, uning spektri oldindan berilgan 

M



 yopiq to`plam bilan 

ustma-ust tushsin. 

Yechish. Kompleks sonlar to`plami 

 separabel metrik fazo bo`lgani uchun, 

uning hamma yerida zich sanoqli D  to`plam mavjud. U holda  

M

D



 to`plam sanoqli va 



ning hamma yerida zich bo`ladi. Endi  

M

D



 to`plam elementlarini  



1



2

,

,.... ....



n

a a

a

 

nomerlab chiqamiz va 3-misolda qaralgan, (5) - tenglik bilan aniqlanuvchi  operatorni 

qaraymiz. 3-misolda ko`rsatilganidek 

                                       

( )

[

( )]



pp

A

A

M

D

M





.                                                     

 



Bu yerda, biz  

M



 deb olishimiz ham mumkin. Demak, spektri butun kompleks sonlar 

to`plami 

  bilan ustma-ust tushuvchi chiziqli operator mavjud ekan. Bu holda ta'rifga 

ko`ra, 


( )

A

 



 bo`ladi. Shuni ta'kidlaymizki,  

M



 agar  yopiq to`plam 

chegaralangan bo`lsa, u holda spektri  bilan

 

ustmaust tushuvchi  operator ham 



chegaralangan bo`ladi va aksincha. 

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar. 

1.  Chekli o`lchamli fazolarda operatorning spektri faqat chekli sondagi xos 

qiymatlardan iborat ekanligini ko`rsating. 



2. 

 


 

2

2



:

0,1


0,1 , (

)( )


( ) ( )

A L

L

Af

x

u x f x



 operatorning spektrini toping. 

Bu yerda  

 

:

,



u

a b



 uzluksiz funksiya. 



3. 



2

,

L

 



 fazoda integral operatorning xos qiymatlarini toping:



 

 

4.  Birlik operatorning spektrini toping. 

 

5.  Quyidagi operatorning xos qiymatlarini toping: 

 

  

6.  Yuqorida keltirilgan 





2

2



:

1,1


1,1

A L

L



 operatorning 



 nuqtadagi 

rezolventasini toping. 



7. 

1

2



3

,

,



  

 lar chiziqli operatorning 

1

2



3

,

,



  

xos qiymatlariga mos 

keluvchi xos vektorlari bo`lsin. 

1

2



3

,

,



  

 larning chiziqli erkli (chiziqli 

bog`lanmagan) ekanligini isbotlang. 



8.  Spektri birlik doiradan iborat bo`lgan operatorga misol keltiring

.

 



9.  Spektri 



 to`plamdan iborat bo`lgan chiziqli operator mavjudmi? 

Mavjud bo`lsa misol keltiring. 

10. 1-misolda 

b



 nuqtani  operatorning muhim spektriga qarashli 

ekanligini isbotlang



.

 

Download 397.79 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling