Chiziqli tenglamalar sistemasi


Download 146.44 Kb.
bet1/5
Sana22.05.2022
Hajmi146.44 Kb.
#690530
  1   2   3   4   5
Bog'liq
7 мавзу 2
1-5 deadline, 5-deadlayn hisoboti. 613-18 guruh talabasi Qurbonova Gulruxsor., Extimollik mustaqil ish, Fayziyev17-18, 5, Server, Windows 10, 7- мавзу, 3-deadline(13-18 lab), 3-deadline(13-18 lab), 10-Ma’ruza. Dinamik dasturlash algoritmlarini loyihalash va tahl, 613-614 MI, Mustaqil ish Mavzulari, Mustaqil ishlar

7 - Maruza


Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari: Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning matritsa, Gauss va Gauss-Jordan usullari.


Reja

  1. Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida umumiy tushunchalar.

  2. Kroneker-Kapelli teoremasi.

  3. Chiziqli tenglamalar sistemasining iqtisodiyotda qo’llanilishiga misollar.

  4. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.

  5. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss-Jordan usuli.

  6. Bazis yechim tushunchasi.

  7. Gauss va Gauss-Jordan usullarining iqtisodiy masalalarni yechishga qo’llanilishi.

Ma’lumki, bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar sistemasi deyiladi. Quyidagi
a11x1 a12 x2  ...  a1n xn b1,
a x a x  ...  a x b ,

21 1 22 2 2n n 2


... ... ... ... ... ...
(1)

am1x1 am2 x2  ...  amn xn bm
sistemaga n noma’lumli m ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (yoki

soddalik uchun chiziqli tenglamalar sistemasi) deyiladi. Bu yerda
a11, a12 , , amn

sonlar (1) sistemaning koeffisiyentlari, sonlar esa ozod hadlar deyiladi.
x1, x2 , …, xn
lar noma’lumlar,
b1,b2 ,...,bm

Tenglamalar sistemasi koeffisiyentlaridan tuzilgan
a11 a12 ... a1n
a a ... a

A
21 22 2n

... ... ... ...
a a ... a
m1 m2 mn

matritsa tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi. Noma’lumlar

vektorini
X  (x , x ,..., x )T ustun vektor, ozod hadlarni B  (b ,b ,...,b )T
ustun

1 2 n 1 2 m
vektor shaklida ifodalaymiz. U holda tenglamalar sistemasi quyidagi matritsa shaklida yozilishi mumkin:
AX B.



Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega boʻlsa, u holda bunday sistema birgalikda deyiladi.


1-misol.


yechimga ega.


x y  2,


2x y  7
sistema birgalikda chunki sistema
x  3, y  1

Bitta ham yechimga ega boʻlmagan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda boʻlmagan sistema deyiladi.

2-misol.


birgalikda emas.


x y z  1,


3x  3y  3z  5
sistema yechimga ega boʻlmaganligi sababli

Birgalikda boʻlgan sistema yagona yechimga ega boʻlsa, aniq sistema va cheksiz koʻp yechimga ega boʻlsa aniqmas sistema deyiladi.
x y  1,


3-misol. 2x  2 y  2, sistema birgalikda, ammo aniqmas, chunki bu


3x  3y  3

sistema x   ,
y  1  
koʻrinishdagi cheksiz koʻp yechimga ega, bunda  -

ixtiyoriy haqiqiy son.
Birgalikda boʻlgan tenglamalar sistemasi bir xil yechimlar majmuiga ega boʻlsa, bunday sistemalar ekvivalent deyiladi.

4-misol.


2x  3y  5


x  2 y  3

  1. tenglamalar sistemasining yechimi (x, y)  (1,1) .


3x y  4
3x 2 y 1 (b) tenglamalar sistemasining yechimi (x, y)  (1,1) .


    1. va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent tenglamalar sistemasi deyiladi.

Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini noldan farqli songa koʻpaytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qoʻshish bilan hosil boʻlgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent boʻladi.

5-misol.


x  3y  5


3x y  5
(a) tenglamalar sistemadagi 1-tenglamani (-3) ga





koʻpaytirib 2-tenglamaga qoʻshib quyidagini hosil qilamiz.
x  3y  5

(b)


natijada (a) va (b) tenglamalar sistemasi ekvivalent.
10 y  10

Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini quyidagi teorema yordamida aniqlash mumkin.

Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun uning A asosiy matritsasi va kengaytirilgan ( A | B) matritsalarining ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarli.



Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo‘lsin. U holda

uning biror yechimi mavjud va
x1  1 ,x2  2 ,...,xn  n
dan iborat bo‘lsin.

Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o‘rniga qo‘ysak:

ega bo‘lamiz.


ai11ai 22 Λ ainn bi , i  1,2,...,m
(2)

Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:
a11   a12   a1n   b1
a   a   a   b

21
22 Λ 
2n
2 , i  1,2,...,m
(3)

1 Μ 2 Μ
n Μ
Μ

a   a   a
  b

m1   m 2  
mn   m

Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy matritsa ustunlari kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lgan ustunni tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi.
Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng,
r A r A B .

A (asosiy) matritsaning r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular A B  (kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz birinchi r ta ustun bazis bo‘lsin.
Bazis minor haqidagi teoremaga asosan A matritsaning oxirgi ustuni bazis ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa:

a11 a12 a1r
  b1

a   a   a
  b

21
22 Λ 
2r 2

1 Μ 2 Μ
r Μ
Μ

a   a   a
  b

m1   m 2  
mr   m

munosabatni qanoatlantiruvchi
1,2 ,...,r
lar mavjudligini bildiradi. Oxirgi

munosabat quyidagi m ta tenglamalarga ekvivalent:

ai11 ai 22 Λ airr
Agar (1) tenglamalar sistemasiga
bi , i  1,2,...,m

x1  1 ,x2  2 ,...,xr  r ,xr 1  0,...,xn  0 , (4)
qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi (2) ga aylanadi. Bundan noma’lumlarning

  1. qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya’ni sistema yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi.

Kroneker-Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemasining asosiy A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan A B

matritsasining ranglari teng.
r r A r A B
qiymatni berilgan sistemaning

rangi deb ataymiz. A matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis satrlarga mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma’lumlarni bazis o‘zgaruvchilar, qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar, deb ataymiz.
Oldingi mavzularda berilgan bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi.


Download 146.44 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling