Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar ko`rinishida ifodalash. Teskari matritsa
Download 253.43 Kb. Pdf ko'rish
|
4-maruza. Teskari matritsa
- Bu sahifa navigatsiya:
- Kifoyaligi.
- Misol.
- Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar ko`rinishida ifodalash
|
Teskari matritsa. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar ko`rinishida ifodalash. Teskari matritsa. 1 – ta’rif. A matritsa uchun tenglikni qanoatlantiruvchi B matritsa A ga teskari matritsa deyiladi va
ko`rinishda belgilanadi. Teorema. A kvadrat matritsa teskari matritsaga ega bo`lishi uchun A matritsa xosmas matritsa bo`lishi, ya’ni uning determinanti noldan farqli bo`lishi zarur va kifoyadir.
teskari matritsa mavjud bo`lsin. A matritsa xosmas matritsa bo`lishini, ya’ni ekanligini ko`rsatamiz. Agar bo`lsa, u holda ko`paytmaning determinant uchun:
=0
Ammo
tenglikka asosan buning bo`lishi mumkin emas. Demak, Kifoyaligi. (
) (1) xosmas, ya`ni determinant noldan farqli bo`lgan matritsa berilgan bo`lsin. Bu holda
teskari matritsa quyidagicha topiladi: 1) A matritsadan uning har bir
iborat matritsani
ga ko`paytirib, quyidagi B matritsani tuzamiz:
(
) 2) B matritsaning satrlari va ustunlarining o`rinlarini almashtirib,
matritsani tuzamiz:
(
) (2)
matritsa A matritsaga teskari matritsa ekanligini ko`rsatish uchun, ularni o`zaro ko`paytiramiz:
(
)
(
)
(
) Hosil bo`lgan (3) matritsaning asosiy diagonalida turgan elemetlari A matritsaning determinantidan iborat bo`lib, qolgan elementlari esa nolga tengdir. Uni
ga ko`paytirilsa,
birlik matritsa ekanligi ko`rinib turibdi. Demak, (2) matritsa (1) matritsaga teskari matritsa ekan. Teskari matritsani quyidagi usul bilan ham topish mumkin. A matritsaga teskari
matritsani topish uchun, uni quyidagi ko`rinishda yozamiz:
(
|
) (4) (4) ning chap tomonida A matritsa, o`ng tomonida esa E birlik matritsa yozilgan. (4) dagi matritsalarning ikkalasiga bir vaqtda A matritsani birlik E matritsaga keltiradigan satrlar bo`yicha elementar almashtirishlarni bajaramiz. (Bu elementar almashtirishlarni quyida misolda ko`rsatamiz.) natijada (4) matritsa quyidagi ko`rinishga keladi:
(
|
) (5) (5) ning o`ng tomonidagi matritsa A ga teskari matritsani ifodalaydi, ya`ni
.
Misol. (
) matritsaga teskari matritsani tuzing. Yechish. Bu matritsaning determinant: |
|
bo`lgani uchun A matritsa xosmas matritsadir, shuning uchun unga teskari matritsa mavjuddir. Algebraik to`ldiruvchilarni hisoblaymiz:
| ,
|
| ,
|
| ,
| |
|
| ,
|
|
| | ,
|
| ,
|
|
B matritsani tuzamiz:
(
) (
)
Bu matritsada satrlar va ustunlarning o`rinlarini almashtirib, A matritsaga teskari
(
)
Matritsani hosil qilamiz. Bu misolni ikkinchi usul bilan yechib ko`ramiz, uning uchun quyidagi matritsani tuzamiz: (
|
) A matritsa va E birlik matritsaning birinchi ustunini -2 ga ko`paytirib ikkinchi ustunga qo`shsak, quyidagiga ega bo`lamiz:
(
|
) Uchinchi ustunni -3 ga va 4 ga ko`paytirib, mos ravishda birinchi va ikkinchi ustunlarga qo`shamiz: (
|
) Ikkinchi ustunni
ga ko`paytirib, mos ravishda birinchi va uchinchi ustunga qo`shamiz: (
| |
)
Ikkinchi ustunni 9 ga bo`lib, ikkinchi va uchinchi ustunlarni almashtiramiz: (
|
|
)
Natijada A ga teskari
(
) matritsaga ega bo`lamiz. Bir xil natijaga ega bo`ldik. Teskari matritsa quyidagi xossalarga ega 1) Teskari matritsaning determinanti berilgan matritsa determinantining teskari qiymatiga teng, ya`ni
1) A va B kvadrat matritsalar ko`paytmasining teskari matritsasi uchun
tenglik o`rinli. 2) Transponirlangan teskari matritsa berilgan transponirlangan matritsaning teskarisiga teng, ya`ni
; 3) Teskari matritsaning teskarisi berilgan matritsaning o`ziga teng, ya’ni
Bularning isboti o`quvchining o`ziga havola qilamiz. Chiziqli tenglamalar sistemasini matritsalar ko`rinishida ifodalash. Ushbu tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin:
{
(6) Bu sistemaning noma’lumlari oldidagi koeffitsientlar, noma’lumlar va ozod hadlardan tuzilgan quyidagi matritsalarni qaraymiz:
(
), (
), (
) (7) Ravshanki, (
) (
) (
) Berilgan (6) sistemani matritsalarning tengligi ta’rifidan foydalanib, quyidagicha yozish mumkin: (
) (
) yoki, qisqacha
(8) (8) – chiziqli tenglamalar sistemasining matritsali ko`rinishi deyiladi. (8) da X matritsani topish uchun uning har ikki tomonini chapdan
ko`paytiramiz:
bo`lgani uchun
yoki (
) (
̀
̀
̀
̀
̀
̀
̀
̀
̀
) Bundan esa, ikki matritsaning tenglik shartiga asosan,
̀
̀
̀
̀
̀
̀
̀
̀
̀
(9) (6) ning yechimiga ega bo`lamiz. Misol. Ushbu {
tenglamalar sistemasini matritsaviy ko`rinishda yozing va uning yechimini toping. Yechish. Berilgan sistemani matritsalarini yozamiz: (
), (
), (
)
u holda sistemaning matritsaviy ko`rinishi quyidagicha bo`ladi:
A ga teskari
matritsani topamiz (
ni topishni o`quvchiga havola qilamiz), u
(
) ko`rinishda bo`lgani sababli
yoki
ga ega bo`lamiz, bundan
(
) (
) (
) (
) Demak tenglamalar sistemasining yechimi:
Download 253.43 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|