Дан параллелепипед. Указать отрезки а сонаправленные с отрезком; б являющиеся представителем вектора

1. 
   Дан параллелепипед . Указать отрезки а) сонаправленные с отрезком ; б) являющиеся представителем вектора .
   
2. 
   Точки являются серединами сторон и треугольника . Какие из пар векторов являются коллинеарными: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и ; ж) и ?
   
3. 
   В параллелепипеде точки – середины ребер , , и , а – точка пересечения диагоналей. Доказать, что а) ; б) ; в) .
   
4. 
   В параллелограмме точка – точка пересечения диагоналей, а точки и соответственно середины сторон и . Указать на чертеже представители следующих векторов: а) ;
   
   1. 
      б) ; в) ; г) .
      
5. 
   В параллелепипеде точки – середины ребер и , точка – точка пересечения его диагоналей. Указать на чертеже представители следующих векторов: а) ;
   
   1. 
      б) ; в) ; г) .
      
6. 
   Пусть – центр правильного шестиугольника . Выразить векторы через векторы а) и ; б) и .
   
7. 
   Даны векторы и . Построить векторы: а) ; б) ; в) .
   
8. 
   Доказать, что если и , и , то .
   
9. 
   Доказать, что если и , то .
   
10. 
    При каких условиях для ненулевых векторов и возможны следующие равенства: а) ;
    
    1. 
       б) ; в) ?
       
11. 
    Доказать, что для двух неколлинеарных векторов и вектор делит пополам угол между векторами и .
    
12. 
    В треугольнике – медианы. Выразить векторы через векторы и . Найти сумму векторов , дать геометрическую характеристику полученному результату. Доказать, что для любой точки верно равенство , где – центр тяжести треугольника.
    
13. 
    Какими должны быть векторы и , чтобы векторы и были а) ортогональны; б) равны по длине; в) коллинеарны; г) равны по длине и ортогональны?
    
14. 
    В параллелограмме – точка пересечения диагоналей, – середины сторон и . Построить векторы: а) ; б) ; в) ; г) .
    
15. 
    Точка – центр правильного шестиугольника . Выразить векторы через векторы и .
    
16. 
    В треугольнике и – середины сторон и . Выразить векторы и через векторы и .
    

1. 
   Система векторов является линейно независимой. Можно ли векторы , ,
   

17. 
    принять в качестве базиса в пространстве?
    
18. 
    Векторы и неколлинеарны. Доказать, что система векторов , , является линейно зависимой. Найти координаты вектора в базисе
    
19. 
    Точка – центр правильного шестиугольника . Найти координаты векторов в базисе .
    
20. 
    В параллелепипеде точки – середины ребер . Найти координаты векторов в базисе , , .
    
21. 
    Даны векторы . Определить координаты векторов:
    

а) ; б) ; в) .

22. 
    Можно ли выбрать в качестве базиса векторы:
    

а) ;
б) ?

23. 
    Даны векторы , и . Верны ли равенства: 1). ;
    

2) ; 3). ; 4). ; 5). ; 6). ?

24. 
    Найти длину вектора , если , .
    
25. 
    Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах , где .
    
26. 
    При каком значении векторы и ортогональны, если , и ?
    
27. 
    Найти угол между векторами и , если векторы и ортогональны.
    
28. 
    В ортонормированном базисе , . Доказать, что треугольник равнобедренный, вычислить его внутренние углы.
    
29. 
    В ортонормированном базисе , . Найти длину высоты треугольника .
    
30. 
    Даны векторы , и . Найти скалярную проекцию вектора на направление вектора .
    
31. 
    Вектор , длина которого равна , образует с базисными векторами и соответственно углы и . Какой угол он образует с вектором ?
    
32. 
    Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные из вершин основания, перпендикулярны между собой.
    
33. 
    В кубе найти величину угла: а) между его диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; б) между скрещивающимися диагоналями смежных граней; в) между диагональю куба и пересекающейся с ней диагональю грани.
    
34. 
    Вычислить , если .
    
35. 
    Векторы и ортогональны и . Вычислить 1). ; 2). .
    
36. 
    Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , , где , , .
    
37. 
    В ортонормированном базисе . Вычислить .
    
38. 
    Найти площадь треугольника , если в ортонормированном базисе .
    
39. 
    В ортонормированном базисе , . Найти высоту треугольника .
    

40. 
    Найти площадь треугольника , если .
    
41. 
    Найти синус угла между векторами и , если .
    

42. 
    В ортонормированном базисе , . Определить ориентацию этой тройки векторов.
    
43. 
    В некотором базисе . Выяснить, компланарны ли эти векторы.
    
44. 
    В ортонормированном базисе , . Найти высоту тетраэдра .
    
45. 
    Объем параллелепипеда равен 5. В ортонормированном базисе . Найти координаты вектора , если он ортогонален векторам и .
    
46. 
    Точки – центры тяжести граней тетраэдра . Найти отношение объемов тетраэдров и .
    
47. 
    - замкнутая пространственная ломаная, где .
    
    1. 
       Доказать, что
       
48. 
    В пространстве даны два параллелограмма и . Доказать, что середины отрезков являются вершинами нового параллелограмма.
    
49. 
    Показать, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра взаимно перпендикулярны.
    
50. 
    Доказать, что если в параллелепипеде все диагонали равны, то он прямоугольный.
    
51. 
    Доказать, что в кубе плоскость и диагональ перпендикулярны.
    
52. 
    Доказать, что если в некотором пространственном четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других сторон.
    
53. 
    Найти синус угла при вершине равнобедренного треугольника, если его медиана, проведенная к боковой стороне, составляет с основанием угол, синус которого равен .
    
54. 
    На стороне параллелограмма взята точка так, что . Прямая пересекает диагональ в точке . Определить отношение : .
    
55. 
    Основание равнобедренного треугольника равно , угол при вершине равен . Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне.
    
56. 
    Найти косинусы углов равнобедренного треугольника, у которого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную к основанию.
    
57. 
    Найти синус угла ромба, если из середины его стороны противоположная сторона видна под углом .
    
58. 
    Угол при вершине трапеции равен . Боковая сторона вдвое больше меньшего основания . Найти .
    

59. 
    В аффинной системе координат заданы вершины параллелограмма . Найти координаты вершины .
    
60. 
    В аффинной системе координат , , . Найти координаты центра тяжести треугольника .
    
61. 
    В прямоугольной системе координат , . Найти координаты оснований биссектрис углов треугольника.
    
62. 
    В прямоугольной системе координат , . Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника .
    
63. 
    В прямоугольной системе координат . Найти координаты остальных вершин квадрата .
    
64. 
    Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов разностороннего треугольника, с прямыми, содержащими третью сторону, лежат на одной прямой.
    
65. 
    Найти множество всех точек плоскости, отношение расстояний от которых до заданных точек и равно 2.
    

66. 
    В аффинной системе координат задана прямая . Найти: а) координаты направляющего вектора прямой; б) координаты точки, принадлежащей прямой; в) каноническое, параметрические уравнения и уравнение прямой в отрезках; г) уравнение прямой, параллельной прямой , и проходящей через точку .
    
67. 
    В аффинной системе координат заданы точки – середины сторон треугольника . Найти уравнения прямых, содержащих стороны этого треугольника.
    
68. 
    – параллелограмм, – его центр. В аффинной системе координат , . Найти уравнения прямых и .
    
69. 
    В прямоугольной системе координат . Найти проекцию точки на прямую .
    
70. 
    В прямоугольной системе координат . На прямой найти точку такую, что .
    
71. 
    Найти уравнение прямой, проходящей через точку , и отсекающей на координатных осях равные отрезки.
    
72. 
    В прямоугольной системе координат . Найти а) уравнения прямых, на которых лежат высоты, медианы треугольника ; б) прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противоположной стороне.
    
73. 
    Найти координаты вершин ромба , если , .
    
74. 
    В прямоугольной системе координат . Найти третью вершину треугольника , если она лежит на прямой , а площадь треугольника равна 8 кв. ед.
    
75. 
    Даны вершина и прямые , содержащие медианы треугольника . Найти вершины и треугольника.
    
76. 
    – квадрат. В прямоугольной системе координат . Найти уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата.
    
77. 
    Составить уравнение прямой, содержащей биссектрису угла между прямыми и , в котором лежит точка .
    
78. 
    Составить уравнение прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла треугольника , если .
    
79. 
    Через точку провести прямую, равноудаленную от точек и .
    
80. 
    Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису большего из внутренних углов треугольника, стороны которого лежат на прямых , , .
    

81. 
    Составить уравнения прямых, проходящих под углом к прямой .
    
82. 
    В равнобедренном треугольнике расстояние от вершины до боковой стороны равно . Найти уравнение прямой ,содержащей сторону , если .
    
83. 
    Написать уравнения прямых, содержащих стороны квадрата, описанного около окружности с центром и радиусом 5, если одна из его диагоналей параллельна прямой
    
84. 
    Найти координаты образа и прообраза точки при повороте вокруг начала координат на угол .
    
85. 
    Найти уравнение образа и прообраза прямой при осевой симметрии с осью .
    
86. 
    Даны прямые и . Найти такие точки и , что и , где .
    

87. 
    Найти координаты образа и прообраза точки в центральной симметрии с центром .
    
88. 
    Найти уравнение образа и прообраза прямой при повороте на угол вокруг начала координат.
    
89. 
    В ортонормированном репере дано аналитическое выражение преобразований и :
    
90. 
    
    

Доказать, что и − движения. Определить их род. Найти их инвариантные точки.

91. 
    Даны прямые и . Найти координаты таких точек и , что , и .
    
92. 
    Найти уравнение оси симметрии точек и .
    
93. 
    Найти координаты образа и прообраза точки при параллельном переносе на вектор .
    
94. 
    Найти уравнение образа и прообраза прямой при центральной симметрии с центром .
    
95. 
    Даны прямые и . Найти координаты таких точек и , что , и .
    
96. 
    Найти инвариантные точки преобразования, заданного формулами:
    

97. 
    Найти инвариантные точки преобразования, заданного формулами:
    

98. 
    Найти координаты образа и прообраза точки в гомотетии с центром и коэффициентом .
    
99. 
    Найти уравнения образа и прообраза прямой в гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом , если: а) ; б) .
    

100. 
     Найти координаты образа и прообраза точки при гомотетии с центром и коэффициентом .