Ádettegi differenciallıq teńlemelerge qoyılǵan Koshi (baslanǵısh) máselesin sheshiw usılları

Tema: Ádettegi differenciallıq teńlemelerge qoyılǵan Koshi (baslanǵısh) máselesin sheshiw usılları

1. 
   Tiykarǵı túsinikler hám anıqlamalar.
   

Differenciallıq teń dep erkli ózgeriwshi ti belgisiz funkciyasın hám onıń birneshe tártipli tuwındıların yamasa differencialların baylanıstıratuǵın teńlemege aytıladı. Egerde belgisiz funkciya bir argumenttiń funkciyası bolsa onda bul teńlemeler ádettegi differenciallıq teńleme dep ataladı. Al egerde belgisiz funkciya eki yamasa onnan da kóp argumentleriniń funkciyası bolsa, onda bunday teńlemeler dara tuwındılı differenciallıq teńlemeler dep ataladı. Teńlemedegi tuwındınıń eń úlken tártibi differenciallıq teńlemeniń tártibi boladı.

Ulıwma jaǵdayda n-tártipli ÁDT tómendegishe jazıladı.

(1)

Bunda -erkli ózgeriwshi, belgisiz funkciya, - belgisiz funkciyanıń tártipli tuwındıları.

Egerden múmkin bolsa (1) teńlemeni eń úlken tuwındısına qarata sheship bul teńlemeni tómendegi kóriniste de jazadı:

(2)

Eger (1) hám (2) degi hám funkciyaları funkciyalarınıń sızıqlı funkciyaları bolsa, onda bul teńlemeler ádettegi differenciallıq teńlemeler dep ataladı.

(1), (2) teńlemesiniń sheshimi dep, bul teńlemelerdegi funkciyalarınıń ornına aparıp qoyǵanda bul teńlemelerdi birdeylikke aylandıratuǵın funkciyasına aytıladı, yaǵnıy

(1), (2) teńlemeniń ulıwma sheshimi

(3)

kórinisinde jazıladı. Bunda erkli turaqlılar. Egerde mánisleri belgili bolsa, onda

(4)

Funkciyasına iye bolamız. Bul funkciya ulıwmalıq (3) sheshiminen ajıratıp alınǵan (2) teńlemeniń dara sheshimi dep ataladı. ÁDTnıń hár bir dara sheshimi geometriyalıq jaqtan ólshemli keńisliginde berilgen bazı bir iymek siziqti ańlatadı. Bul iymek sızıq integrallıq iymek sızıq dep ataladı. Sonlıqtan (3) formulası menen anıqlanǵan ulıwmalıq sheshimi pútkil ólshemi keńislikti qaplaytuǵın hám bir-biri menen kesilispeytuǵın iymeklikler dástesin anıqlaydı.

Ámeliy hám ilimiy texnikalıq máselelerdi sheshkende (1), (2) ÁDTnıń (3) ulıwmalıq sheshiminen bazı bir qásiyetke iye bolǵan bir dara sheshimin ajıratıp alıw talap etiledi. Usı maqsette (1), (2) teńlemesine bazı bir qosımsha shártler tirkelip jazıladı.

2. 
   ÁDTlarǵa Koshi máselesiniń qoyılıwı.
   

Ulıwma sheshimniń belgili bir shártlerdi qanaatlandıratuǵın bir dara sheshimin ajıratıp alıw ushın (2) teńlemesine tómendegi shártler tirkelip jazıladı:

(5)

(6)

Bundaǵı (5) teńlemeniń sheshimi izlenip atırǵan kesindisiniń baslanǵısh noqatı, - aldın ala berilgen bazı bir haqıyqıy sanlar. (6) teńlemeleri menen anıqlanǵan shártler (5) teńlemesine qoyılǵan baslanǵısh shártler dep ataladı. Dara jaǵdayda egerde birinshi tártipli (1) teńlemege qoyılǵan Koshi máselesi berilse

(7)

(8)

Onda bul másele mınanday geometriyalıq mániske iye boladı. Berilgen noqatı arqalı ótetuǵın (7) teńlemeniń integrallıq iymekligin tabıwdı ańlatadı.

ekinshi tártipli ÁDTǵa Koshi máselesi tómendegishe qoyıladı:

(9)

(10)

Bunda -aldınnan berilgen haqıyqıy sanlar. Bul máseleniń geometriyalıq mánisi berilgen noqatı arqalı ótetuǵın (9) teńlemeniń integrallıq iymekligin tabıwdı ańlatadı htb.

Qálegen n-tártipli differenciallıq teńlemeni oǵan teń kúshli bolǵan birinshi tártipli ÁDTlerge qoyılǵan Koshi máselesi menen almastırıwǵa boladı. Onıń ushın

ornına qoyıwların orınlap tómendegi Koshi máselesin jazıwǵa boladı:

(11)

usı sebepli aldaǵı waqıtları birinshi tártipli ÁDTǵa qoyılǵan Koshi máselesin sheshiw usılların kórip shıǵamız. Óytkeni, bunday usıllardı bilsek olardıń járdeminde n-tártipli teńlemege qoyılǵan Koshi máselesin sheshe alamız.

Birinshi tártipli ÁDTge qoyılǵan Koshi máselesiniń sheshiminiń birden birligi haqqında Pikar teoreması:

Meyli

(12)

(13)

Koshi máselesi berilgen bolsın.