Доказать, что определитель метрического тензора не является скаляром

1. 
   Частица с массой покоя и скоростью сталкивается со стационарной частицей с массой покоя которая поглощает налетевшую частицу. Найти массу покоя и скорость возникшей в результате столкновения составной системы.
   

2. 
   Частица с массой покоя упруго сталкивается со стационарной частицей равной массы. Налетающая частица обладает кинетической энергией Т₀. Какова ее кинетическая энергия после столкновения, если угол рассеяния равен Ɵ?
   

3. 
   Доказать , что определитель метрического тензора не является скаляром.
   

4. 
   Доказать, что сумма двух векторов может быть пространственно-подобной, изотропной или времени-подобной независимо от того, являются ли эти два вектора пространственно-подобными, изотропными или времени-подобными.
   

5. 
   Вычислить
   

6. 
   Доказать, что для электрического и магнитного полей величины В² — Е² и инвариантны относительно замены переменных и преобразований Лоренца. Существуют ли какие-нибудь инварианты, не сводящиеся к алгебраическим комбинациям этих двух инвариантов?
   

7. 
   Найти магнитное поле от текущего по бесконечной проволоке тока I , используя для этого соответствующие преобразования Лоренца и суперпозицию электрических полей, создаваемых распределенными вдоль бесконечной прямой зарядами.
   

8. 
   Доказать, что линейный элемент
   

соответствует гиперсфере радиуса R в евклидовом 4-пространстве, т.е. геометрическому месту точек, отстоящих на расстоянии R от некоторой заданной точки.

9. 
   В некотором электромагнитном поле электрический вектор образует угол с магнитным вектором поля , причем угол инвариантен для всех наблюдателей. Найдите угол .
   
10. 
    Доказать, что двухмерное пространство с метрикой
    

(1)
Представляет собой не что иное, как плоское 2-х мерное пространство Минковского , обычно описываемого метрикой

(2)
Для этого необходимо найти преобразования координат , переводящие метрику (2) в метрику (1)

11. 
    Найти матрицу преобразования Лоренца, состоящего из буста , в направлении оси х, вслед за которым производится буст , в направлении оси у. Доказать, что те же бусты, производимые в обратном порядке, порождают другое преобразование Лоренца.
    
12. 
    Две системы отчета движутся с 3-скоростями . Доказать, что их относительная скорость удовлетворяет соотношению.
    

13. 
    Система отсчета S’ движется со скоростью относительно системы отсчета S. Стержень в системе отсчета S’ составляег угол Ɵ’ с направлением движения. Какой угол Ɵ составляет этот стержень с направлением движения в системе отсчета S?
    

14. 
    Система отсчета S’ движется со скоростью относительно системы отсчета S. Под углом Ɵ’ к направлению движения в системе отсчета S’ выпущена пуля со скоростью .Чему равен этот угол Ɵ в системе отсчета S? Что произойдет, если «пулей» будет фотон?
    

15. 
    Зеркало движется перпендикулярно своей плоскости со скоростью . Какой угол с нормалью к зеркалу образует отраженный луч света, если падающий луч составляет с нормалью угол Ɵ? Как меняется при отражении частота света?
    

16. 
    Зеркало движется параллельно своей плоскости. Доказать, что угол падения фотона равен его углу отражения.
    

17. 
    К наблюдателю приходит сигнал от источника света, движущегося со скоростью . В момент испускания света угол между вектором и прямой, проходящей через наблюдателя и источник света, равен Ɵ. Как зависит Ɵ от | |, если наблюдатель не замечает ни красного смещения, ни смещения к голубому концу спектра?
    

18. 
    Фотон с длиной волны λ налетает на стационарный электрон с массой m_e и рассеивается с длиной волны λ’ под углом Ɵ. Вывести соотношение
    

19. 
    Доказать, что в общем случае тензор второго ранга в п-мерном пространстве нельзя представить в виде прямого произведения двух векторов, но его можно представить в виде суммы нескольких прямых произведений двух векторов.
    
20. 
    Доказать что дельта символ Кронекера – тензор.