Egri chiziqning qavariqligi va botiqligi. Aytaylik, f(X) funksiya x=x

Egri chiziqning qavariqligi va botiqligi.

Aytaylik, f(x) funksiya x=x₀ nuqtada f’(x) hosilaga ega, ya’ni funksiya grafigining M(x₀,f(x₀)) nuqtasidan novertikal urinma o’tkazish mumkin b’olsin.

Ta’rif. Agar x=x₀ nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’lib, y=f(x) egri chiziqning bu atrofdagi nuqtalarga mos bo’lgan bo’lagi shu egri chiziqqa M(x₀,f(x₀)) nuqtasidan o’tkazilgan urinmadan pastda (yuqorida) joylashsa, u holda f(x) funksiya x=x₀ nuqtada (qavariq) deyiladi.

Agar egri chiziq intervalning barcha nuqtalarida qavariq (botiq) bo’lsa, u holda bu chiziq shu intervalda qavariq (botiq) deyiladi.

Egri chiziq nuqtasining ordinatasini y bilan, shu egri chiziqqa M(x₀,f(x₀)) nuqtasida o’tkazilgan urinmaning x ga mos ordinatasini Y bilan belgilaylik. Aniqki, agar x₀ nuqtaning biror atrofidan olingan barcha x lar uchun y-Y<=0 (y-Y>=0) tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda egri chiziq x=x₀ nuqtada qavariq (botiq) bo’ladi.

Funksiyani hosila yordamida monotonlikka tekshirish .

1-teorema. Aytaylik, f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, ixtiyoriy x€(a,b) da f’(x) hosilaga ega bo’lsin.

f(x) funksiyaning (a,b) da o’suvchi bo’lishi uchun ixtiyoriy x€(a,b) da f’(x)>=0 bo’lishi zarur va yetarli.

2-teorema. Faraz qilaylik, f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, ixtiyoriy x€(a,b) da f’(x) hosilaga ega bo’lsin.

f(x) funksiyaning (a,b) da o’suvchi bo’lishi uchun ixtiyoriy x€(a,b) da f’(x)<=0 bo’lishi zarur va yetarli.

3-teorema. f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, , ixtiyoriy x€(a,b) da f’(x) hosilaga ega bo’lsin.

f(x) funksiyaning (a,b) da qat’iy o’suvchi bo’lishi uchun

1) ixtiyoriy x€(a,b) da f’(x)>=0;

2) ixtiyoriy x€(α,β) da f’(x)=0 tenglik bajariladigan (α,β)c(a,b) intervalning mavjud bo’lmaslik shartlarining bajarilishi zarur va yetarli.

4-teorema. f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, , ixtiyoriy x€(a,b) da f’(x) hosilaga ega bo’lsin.

f(x) funksiyaning (a,b) da qat’iy kamayuvchi bo’lishi uchun

1) ixtiyoriy x€(a,b) da f’(x)<=0;

2) ixtiyoriy x€(α,β) da f’(x)=0 tenglik bajariladigan (α,β)c(a,b) intervalning mavjud bo’lmaslik shartlarining bajarilishi zarur va yetarli.

Boshqa tomondan ham nazar tashlaylik, qavariq o’suvchi (kamayuvchi) yoki botiq o’suvchi (kamayuvchi) funksiyaga o’tkazilgan urinma quyidagicha bo’lishi mumkin: