Ekvivalеntlik munosabati. Ekkivalеntlik munosabatining to`plamlarni sinflarga ajratish bilan aloqasi. Tartib munosabati. Reja

Ekvivalеntlik munosabati. Ekkivalеntlik munosabatining to`plamlarni sinflarga ajratish bilan aloqasi. Tartib munosabati.

Reja:

1. 
   Ekvivalentlik munosabati.
   
2. 
   Ekvivalentlik munosabatining to’plamni sinflarga ajratish bilan bog’liqligi.
   
3. 
   Tartib munosabati.
   

1-ta’rif. Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa, u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi.

Masalan, «a || b», «a = b» kabi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo’ladi.

1-misol. Sinf o’quvchilari orasida «bir oyda tug’ilgan» munosabati berilgan bo’lsin. Bu munosabat refleksiv, chunki har bir A o’quvchi o’zi o’zi bilan bir oyda tugilgan. Munosabat simmetrik, chunki A o’quvchi B bilan bir oyda tugilgan bo’lsa, B ham A bilan bir oyda tugilgan bo’ladi. Munosabat tranzitiv, chunki A o’quvchi B bilan, B o’quvchi Cbilan bir oyda tugilgan bo’lsa, A bilan C ning ham tug`ilgan oyi bir xil bo’ladi. Demak, bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo’lar ekan. U sinf o’quvchilarini «bir oyda tugilgan o’quvchilar» sinflariga ajratadi. Bunday sinflar soni ko’pi bilan 12 ta bo’lishi mumkin.

2-misol. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar to’plamida parallellik munosabati ekvivalentlik munosabati bo’lishini ko’rsatamiz. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar kesishmasa yoki ustma-ust tushsa, parallel hisoblanishini eslatib o’tamiz.

Parallellik munosabati:

1. 
   refleksiv, chunki ixtiyoriy a to’g’ri chiziq uchun a||a bo’ladi;
   
2. 
   simmetrik, chunki a||b bo’lsa, b||a bo’ladi;
   
3. 
   tranzitiv, chunki a||b va b||c bo’lsa, a||c bo’ladi (parallel to’g’ri
   

chiziqlar xossasiga ko’ra).

3-misol. kasrlar to‘plamida tenglik munosabati berilgan. (18- chizma)

18-chizma

Bu munosabat:

1. 
   Refleksiv, chunki ixtiyoriy kasr o‘z-o‘ziga teng;
   
2. 
   Simmetrik, chunki x kasrning y kasrga tengligidan y kasrni x kasrga tengligi ham kelib chiqadi;
   
3. 
   Tranzitiv, chunki x kasrning y kasrga va y kasrning z kasrga tengligidan x kasrning z kasrga tengligi kelib chiqadi.
   

Agar to‘plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsa, u holda bu munosabat to‘plamni juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlariga ajratadi. Yuqoridagi misolimizda qism to‘plamlar

.

Bu qism to‘plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va qism to‘plamlarining birlashmasi birlamchi misolda berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi.

4-misol. Z butun sonlar to’plamida aRb ⇔ m | (a - b) munosabatni qaraylik. Bu munosabat Z to’plamni ekvivalent 7 ta sinfga ajratadi:

=

=

=

=

=

=

=
Consider the equivalence relation “≡ (mod 7)” on the set Z of integers. We have the following decomposition of Z into exactly 7 equivalence classes: