Элементарные и составные предложения высказывания смысл «и», «или», «не»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
БУХАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ НАЧАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ И ФИЗИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА


Самостоятельная работа

По предмету: Теории математика начального курса

Студентки группы 9-9 БТУ S-19 Мирзаева Н
Проверила: Сайфуллаева Н.Б,

Бухара 2022

Тема : Элементарные и составные предложения высказывания смысл «и», «или», «не»

План:
Введение

1. 
   Элементарные и составные
   
2. 
   Смысл «и»
   
3. 
   Смысл «или»
   

Введение
Логика – наука о законах мышления. Формальная логика – наука об элементарных законах и формах правильного мышления.
Математическая логика – исходит из основных законов формальной логики, использует логические процессы с помощью математических методов, полное отвлечение от конкретного содержания предложения.
Пример. Если все растения – красные, а все собаки – растения, то все собаки красные. С точки зрения формальной логики - это полная ерунда, а с точки зрения математической логики предложение составлено абсолютно верно.
Когда мы пишем сочинение, письмо, выступаем на собрании, то свои мысли выражаем при помощи предложений. Читая книгу, статью, мы опять встречаемся с тем, что рассуждения есть цепочка некоторых предложений.
Изучая математику мы тоже пользуемся предложениями, которые могут быть записаны как

• 
  на естественно (русском) языке, например, «Солнце больше Земли».
  
• 
  так и на математическом, с использованием символов «3 + 4 · 7 = 31».
  

Математические предложения характеризуются содержанием и логической структурой.
Но, как известно, любое предложение образуется из слов, а слова – из букв некоторого алфавита. Алфавит состоит из: десяти цифр, для записи чисел в десятичной системе (0,1,2,…,9); букв латинского алфавита, для обозначения переменных, множеств их элементов (a, b, c, …, z, A, B, C, …, Z); знаков, для записи действий (+, - , ·, :,  , и др.); знаков отношений, для записи предложений ( =, >, < и др.). А также в символических записях встречаются скобки, запятая.
Из этих знаков конструируются слова и предложения. Слово – это такая конечная последовательность букв алфавита, которая имеет смысл. Например, запись 7 - : 8 + смысла не имеет, и, значит словом ее назвать нельзя.

1. 
   Элементарные и составные
   

В математике различаются элементарные и составные предложения. Например:

• 
  «Число 56 делится на 8» – это элементарное предложение.
  
• 
  А предложения «Число 56 четное и делится на 8» и «Число х меньше или равно 8» составные.
  

В логике считают, что из двух данных предложений можно обра­зовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если ..., то ...», «тогда и только тогда, когда» и др. С помощью части­цы «не» или словосочетания «неверно, что» можно из данного пред­ложения получить новое.
Слова «и», «или», «если ..., то ...», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не» (слова «неверно, что») называют логическими связ­ками. Предложения, образованные из других предложений с помощью
логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными.
Приведем примеры составных предложений:
1) Число 28 четное и делится на 7. Это предложение образовано из двух элементарных: «число 28 четное», «число 28 делится на 7» с помощью логической связки «и».
2) Число х меньше или равно 8. Это предложение образовано из двух элементарных: «число х меньше 8», «число х равно 8» с помощью логической связки «или».
3) Число 14 не делится на 4. Это составное высказывание образовано из предложения «число 14 делится на 4» с помощью частицы «не».
Вы, наверное, уже обратили внимание на то, что все три предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамма­тической структуре - простые.
Не всегда, но так бывает: простое предложение по своей логической структуре может быть составным. Но об этом чуть позже!!!
Для выявления логической структуры составного предложения нужно установить:
1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;
2) с помощью каких логических связок оно образовано.
Выявим, например, логическую структуру предложения

1. 
   «Если углы вертикальные, то они равны». Оно состоит из двух элементарных предложений:
   

А: «углы вертикальные»
В: «углы равны».
Соединены они в одно составное предложение с помо­щью логической связки «если ..., то ...». Говорят, что данное составное предложение имеет логическую структуру (форму): «Если А, то В».

2. 
   «Число х меньше или равно 8»
   

А: «Число х меньше 8»
В: «Число х равно 8». «А или В»

3. 
   «Число 14 не делится на 4»
   

А: «Число 14 делится на 4»
Не А: «Число 14 не делится на 4». «Неверно, что А»
Упражнения с.16 (А.П. Пышкало. ТОНКМ)
№1. Какие из предложений элементарные, а какие составные.

1. 
   В равнобедренном треугольнике АВС (рис.) биссектриса ВД является медианой и высотой. (составное)
   
2. 
   В прямоугольном треугольнике АВД квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. (элементарное)
   
3. 
   Площадь треугольника АВС равна половине произведения основания АС на высоту ВД. (элементарное)
   
4. 
   Если треугольник АВС равнобедренный, то углы в нём при основании равны.(составное)
   
5. 
   В треугольнике АВД катет ВД длиннее катета АД или равен ему. (составное)
   

№2. Раскрыть логическую структуру каждого высказывания:

1. 
   «Число 12 четное и делится на 6»
   

А: «Число 12 четное»
В: «Число 12 делится на 6» А и В

2. 
   «Число является рациональным или иррациональным»
   

А: «Число рациональное»
В: «Число иррациональное» А или В

3. 
   «Треугольник АВС не является равносторонним»
   

А: «Треугольник равносторонний»
Не А: «Треугольник не равносторонний» Неверно, что А

4. 
   «Если число целое и положительное, то оно натуральное»
   

А: «Целое число»
В: «Положительное число»
С: «Натуральное число» Если А и В, то С
№3. Завершить предложения и раскрыть их логическую структуру.

1. 
   Средняя линия треугольника параллельна основанию и …. (равна её половине) А и В
   

Если а•в=0, то а=о или …. (в=0) Если А, то В или С

Среди суждений, устанавливающих различные отношения между понятиями, выделяют высказывания и высказывательные формы.

Высказыванием называется предложение, относительно которого имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно.
- Назовите синонимы слова истинное выражение. (Верное, правильное)
- Назовите синонимы слова ложное выражение. (Неверное)
Например, предложение «число 8 четное» есть истинное высказывание, а предложение «3 + 3 = 3²» ложное высказывание.
Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, Z.

2. 
   Смысл «и»
   

Если высказывание А истинно, то записывают: А – «И», если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «Л».
Значения И и Л называют значениями истинности высказывания.
Если высказывание элементарное, то его значение истинности определяется по его содержанию, опираясь на известные знания.
Среди данных предложений найдите высказывания и определите его истинноть:

1. 
   число 10-четное;
   
2. 
   2+5>8;
   
3. 
   х+5=8;
   
4. 
   В числе 15 один десяток и 5 единиц;
   
5. 
   От перестановки множителей произведение не изменяется;
   
6. 
   Некоторые числа делятся на 3.
   

О предложениях 1, 4, 5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 – ложную. Относительно предложения х+5=8 вообще сказать нельзя истинно оно или ложно.
А как быть, если высказывание составное? (на помощь приходит форма высказывания)
Например, истинно или ложно высказывание: «число 28 делится на 7 и на 9»?
Элементарное высказывание «число 28 делится на 7», входящее в составное, истинное - это известно из начального курса математики. Второе элементарное высказывание «число 28 делится на 9» - ложное (и это нам известно).
А каким будет в этом случае значение истинности составного высказывания, образованного из этих высказываний с помощью союза «и»? Ответить на этот вопрос можно, если знать смысл этого союза. Но так как составные выска­зывания образуются с помощью и других логических связок, то возникает необходимость в уточнении их смысла.
Кроме того, уточнение смысла используемых в математике связок обусловлено их неоднозначным толкованием в обыденной речи, что может привести к неоднозначному ответу при нахождении значения истинности составных высказываний.
Итак, если высказывание элементарное, то его значение истинности определяется по его содержанию.
А если оно составное, то значение истинности зависит от значения истинности составляющих его элементарных высказываний, соединенных при помощи слов: «и», «или», частицы «не», «если…, то…» и др., которые называются логическими связками.
Но не только частица «не» помогает строить отрицание высказываний. Сегодня на уроке мы научимся строить отрицание высказываний с помощью слов «неверно, что…».
Часто в математике приходится строить высказывание, в которых что-либо отрицается.

А	Ā
и	л
л	и

Например, дано высказывание «Число 12 простое». Это ложное высказывание. Построим его отрицание: «Неверно, что число 12 простое». Получили истинное высказывание. Отрицание высказывания А обозначают Ā читают: «Не А» или «Неверно, что А».

3. 
   Смысл «или»
   

Вообще, отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.
Закон двойного отрицания: = А .
Выясним смысл, который имеет в математике союз «и».
Пусть А и В - произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «и» составное высказывание. Полученное высказывание «А и В» называют конъюнкцией (от лат. eonjunctio - «единение») и обозначают (читают: «А и В»).

А	В
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Конъюнкцией высказываний А и В называется выска­зывание , которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно.
Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

Используя данное определение, найдем значение истинности выска­кивания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т.е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, вы­сказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.

Заметим, что данное определение конъюнкции не расходится с общепринятым пониманием союза «и». Действительно, если мы знаем, что каждое из предложений «сегодня идет снег» и «сегодня холодно» истинно, то мы будем считать истинным и предложение «сегодня идет снег и холодно». Если же одно из этих предложений или оба будут ложными, то и все предложение «сегодня идет снег и холодно» мы будем считать ложным.
Заметим также, что в обыденной речи конъюнкция может выра­жаться не только с помощью союза «и», но и другими, например, «а», «но», «однако», «не только..., но и ...». Например: «Число 15 делится не только на 3, но и на 5».
Законы конъюнкции:

1. 
   А ∧ А = А
   
2. 
   А ∧ В = В ∧ А – коммутативность или переместительный закон
   
3. 
   (А ∧ В) ∧ С = А ∧ (В ∧ С) – ассоциативность или сочетательный закон
   

Выясним теперь, какой смысл имеет в математике союз «или».
Пусть А к В - произвольные высказывания. Образуем из них с по­мощью союза «или» составное высказывание. Полученное высказыва­ние «А или В» называют дизъюнкцией (от лат. Disjunction) - «разделением и обозначают A v В (читают: «А или В»).

А	В	A v B
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Дизъюнкцией высказываний А и В называется выска­зывание A v В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.
Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

Используя данное определение, найдем значение истинности выска­зывания «число 28 делится на 7 или на 9». Так как это предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению, оно истинно.

Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используется как неразделительный, т.е. допускается возмож­ность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказыва­ние «15 кратно 3 или 5», согласно определению, считается истин­ным, поскольку оба высказывания «15 кратно 3» и «15 кратно 5» истинны.
Законы дизъюнкции:

1. 
   А ∨ А = А
   
2. 
   А ∨ В = В ∨ А – коммутативность или переместительный закон
   
3. 
   (А ∨ В) ∨ С = А ∨ (В ∨ С) – ассоциативность или сочетательный закон
   
4. 
   А ∨ = «и»
   

Очень важно знать какой из союзов «и» или «или» присутствует в предложении, иначе может получиться например такое недоразумение:
«Как-то раз Катя пошла гулять с собакой, и вернулась с прогулки взволнованная. Какой-то прохожий упрекнул ее в нарушении правил содержания собак в городе. Листок с правилами был наклеен на заборе, и одно из них гласило: собака на прогулке должна быть на поводке… в наморднике (кусочек бумаги после слов «на поводке» был оторван).
Она спустила собаку с поводка, но оставила в наморднике. На этом примере хорошо видна роль союза. Если бы был союз «и», прохожий оказался бы прав. Если бы союз «или» была бы пава Катя».

Список литературы:

1. 
   Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов высших учебных заведений. – М: Издательский центр «Академия», 2007. – 432 стр, гриф Минобр.
   
2. 
   Грес П. В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В.Грес. – М.: Логос, 2003. – С. 53–60.
   
3. 
   Козлов В. Н. Математика и информатика / В.Н. Козлов. – СПб.: Питер, 2004. – С. 34.
   
4. 
   Турецкий В. Я. Математика и информатика / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – (Серия «Высшее образование»). – С. 60–75.
   
5. 
   Математика для гуманитариев: конспект лекций / Авт. – сост.: И.И. Клебанов, А. В. Дудин, Е. В. Коробейникова. – Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2003. – С. 4–11.