Exercise 3A 1

 

 

© Pearson Education Ltd 2019. Copying permitted for purchasing institution only. This material is not copyright free. 

 

1 

Exercise 3A

1   

(1 6) (4 3) (3 2) (2 4)

(1 4 3 2)

6 12 6 8 10

32 10

3.2

x

x

x

x

















  



  





 

 

Centre of mass is at (3.2, 0). 

 

 

 

2   (1 2) (2 5) (3 1)

(1 2 3)

2 10 3

6

15

6

2.5

y

y

y

y













 



 





 

 

Centre of mass is at (0, 2.5). 

 

 

 

3   (2

1) (3

4) (5 5)

(2 3 5)

2

12 25 10

11 10

1.1

x

x

x

x

  

 







 

  









 

 

Centre of mass is at (1.1, 0). 

 

 

 

4   

 

 

 

 

 

(1 0)

(3 2)

(2 4)

(1 3 2)

0 6 8

6

7

3

1

2 m

3

x

x

x

PG













 

  





 

 

 

5  (5 4) (3 2) (

5)

4(5 3

)

20 6 5

32 4

6

m

m

m

m

m













 

 







 

 

 

 

Use 

1 1

1

m x

x

m







 

Simplify. 

Solve for 

.

x

 

Give both coordinates. 

Use 

i

i

i

m y

y

m







 

Simplify. 

Solve for 

.

y

 

Give both coordinates. 

Use 

i i

i

m x

x

m







 

Simplify. 

Solve for  .

x  

Give both coordinates. 

Draw a diagram.  

The rod has no mass. 

Take 

P 

as the origin and 

use 

i i

i

m x

x

m







 

Simplify. 

Solve for 

.

x

 

Use 

i

i

i

m y

y

m







 

Simplify. 

Solve for 

m

. 

 

 

© Pearson Education Ltd 2019. Copying permitted for purchasing institution only. This material is not copyright free. 

 

2 

 

6   

 

 

 

 

 

 

 

 

Take 

P

 as the origin. 

 

 

(0.4 0) (0.6 0.5) (

2) 1 (0.4 0.6

)

0.3 2

1.0

0.7

m

m

m

m

m











 













 

 

The mass of the particle is 0.7 kg. 

 

 

7 

(2

)

(3

2)

(7

1)

(8

1)

1 (2

3

7

8 )

2

6

7

8

20

2

7

20

1

6

2

m a

m

m

m

m

m

m

m

ma

m

m

m

m

a

a









  



 















 



 

 

 

8 

Suppose the particle is placed at (0, 

y

). 

 

 

 

(3

2) (2 7) (1 4) (6

)

0 (3 2 1 6)

6 14 4 6

0

6

12

2

y

y

y

y

  



 





 

  

 

 



 

 

 

 

The particle must be placed at (0, –2). 

 

 

9 

1

2

1

2

5

10

5

m

m

m

m











(1)

 

 

 

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

(5 2) (

3) (

2)

1 10

10 3

2

10

3

2

0

Adding

2

, 2

2

10

5

10

2

3

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m









 

 











 











(2)

(2)

(1)

 

 

 

 

 

The rod, being light, has no mass. 

Draw a diagram showing all the 

information.  

G

 is the centre of mass. Assume the 

mass of the particle required is 

m

 kg. 

Use 

i i

i

m x

x

m







 

Simplify. 

Solve for 

m

. 

Use 

i

i

i

m y

y

m







 

Divide by 

m

. 

Solve for 

a

. 

Use 

i

i

i

m y

y

m







 

Simplify. 

Solve for 

y

. 

Give both coordinates. 

Use the total mass. 

Use 

, and

10.

i i

i

i

m x

x

m

m









 

Simplify. 

Eliminate 

m

2

 

Solve for 

m

1

 

Use 

(1)

. 

 

 

© Pearson Education Ltd 2019. Copying permitted for purchasing institution only. This material is not copyright free. 

 

3 

10 Let 

M

be the total mass of the system, so we have 

 



 







1

5

1

M

m

m

m

m















 

 

i.e. 

2

5

M

m





 

 

Given that the centre of mass is at 





0 ,1

taking moments gives 

 



 



1

1

5

2

m

m

m

M

 











 

 

 

i.e. 

6

M 

 

 

Hence 

6

2

5

m





so 

0 .5

m 

 

 

Challenge 

 

 

 

 

Without loss of generality we can assume that 

(0,0)

P 

, 

(2,0)

Q 

and 

(5,0)

R 

 

 

Then the total mass is 

1

2

3

6

M 







 

 

Let 

( ,0)

G

x



be the centre of mass then taking moments gives 

 

6

2

2

3 5

1 9

x 



 



i.e. 

19

6

x 

 

 

Hence the ratio  

 

19

:

2 :

12 :19

6

PQ PG 

