Eyler teoremasi va uning bir isboti D. Musurmonov


Download 179.81 Kb.
Pdf ko'rish
Sana13.05.2020
Hajmi179.81 Kb.
#105550
Bog'liq
Eyler teoremasi va uning bir isboti 01


Eyler teoremasi va uning bir isboti 

D. Musurmonov

 

Teorema  (Leonard  Eyler  1747-yil):  Har  qanday  uchburchakka  tashqi  va  ichki 



chizilgan aylanalar markazi orasidagi masofa l uchun quyidagi tenglik o`rinli

l

2

=



R(− 2r) 

Isbot:  Berilgan  chizmaga  ko`ra,  ΔABC  ga  tashqi  chizilgan  aylana  markazini  O

ichki  chizilgan  aylana  markazini  O

1

  deb  belgilaymiz.  U  holda  OO



1

=l,  OF=R

O

1

K=r bo`ladi. 



AC  yoy  BF  bissektrisa  yordamida  𝐹 

nuqtada teng ikkiga bo`linadi: 



AF

̆ =FC

̆  

AB  yoy  CL  bissektrisa  yordamida  L 

nuqtada teng ikkiga bo`linadi: 



AL

̆ =LB

̆  

Bundan  esa,  LAF

̆=LB

̆ +FC

̆   kelib 

chiqadi.  O



1

CF  burchak  esa  LB  va  FC 

yoylar  yig`indisining  yarmi  bilan 

o`lchanadi  va  bundan 



CO

1

F=



O

1

CF 

ekani  ma’lum  bo`ladi.  Demak,  O

1

FC 

uchburchakning  O

1

F  va  CF  tomonlari 

o`zaro teng ekan.  

Endi, qanday qilib O

1

F

2

=2R



FM tenglik o`rinli ekanini tushunishga harakat 

qilamiz. BirinchidanO

1

F=CF. ΔCMF ning to`g`ri burchakli uchburchakligidan  



MC

2

=CF

2



FM



2

 (*) 


Ikkinchidan,  AM=MC  hamda  M  nuqtada  kesishuvchi  AC  va  FH  vatarlar 

xossasidan AM



MC=FM



MH. Bundan  



MC

2

=



FM



MH (**) 

(*) va (**) tengliklarni birlashtirib, quyidagi ishlarni bajaramiz: 

CF

2



FM

2

=FM



MH 

CF

2

=

FM

⋅(

FM+MH

)

 



CF

2

=FM



FH 


CF

2

=FM

2



O

1

F

2

=2R



FM



OO

1

F uchburchakka ko`ra quyidagiga egamiz: 



O

1

F

2

=

OO



1

2

+OF

2



2OF





ON 

2R



FM l

2

+R

2



2R





ON 

2R



FM l

2

+R

2



2R(OM − r) 



l

2

+R

2

=

2R(FM+OM − r) 



l

2

+R

2

=

2R(− r) 



l

2

=



R

2



2Rr

Teorema isbotlandi. 

 

Download 179.81 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling