F silliq kollektor m ning silliq yaproqlanishi bo'lsin. Biz o'rganamiz
Download 48.93 Kb.
|
|
1.Kirish. ^F silliq kollektor M ning silliq yaproqlanishi bo'lsin. Biz o'rganamiz ^ ning tangensial va ko'ndalang geometriyasining globalga ta'siri bargli kollektorning tuzilishi (M,^). TEOREMA A. — M toʻliq Riman koʻp va ^ boʻlsin M m ajralmas normal to'plamning to'liq geodezik qatlamlanishi bo'lsin. Keyin universal qopqoq Kl ning M topologik jihatdan L x H mahsulotidir i) L - ^ barglarining universal qopqog'i, ii) H - barg barglarining universal qopqog'i ^ tomonidan belgilanadi oddiy to'plami ^, iii) ^ ning Kl ga ko'tarilishi L x {p} ko'rinishdagi barglarning ko'payishi; peH, iv) ^ ning fA ga ko'tarilishi - {p} x H ko'rinishidagi barglar bilan filiatsiya; p e L, va v) birinchi omilga id -> L proyeksiyasi Rimann hisoblanadi suvga cho'mish. A teoremasidan dastlab isbotlangan quyidagi xulosani olamiz [5] da. Xulosa B. - 3F kodi o'lchovi - to'liq geodezik filiatsiya bo'lsin to'liq Rimann manifoldu M ning. Keyin M ning universal qopqog'i a mahsulot L x R va ^ ko'tarilishi mahsulot filiatsiyasi hisoblanadi. [9] da ko'rsatilganki, agar M ixcham 3-manifold bo'lsa, a kodimension-1 to'liq geodezik qatlamlanish, keyin ^ (M) cheksizdir. Kimdan Xulosa B. Xulosa C. - Agar M cheklangan fundamental guruh bilan ixcham bo'lsa, unda yo'q M ning kodimension-1 qatlamlanishi geodeziyalangan. A teoremasi De ning parchalanish teoremasi bilan chambarchas bog'liq Rham [17], [11]. Haqiqatan ham, agar ^ ham butunlay geodezik bo'lsa, A teoremasi ko'rsatadiki, M Riman ko'paytmasi L x H bo'lib, undan De Ram hosil bo'ladi teorema kelib chiqadi. [17] da De Ram Rimann manifoldu M ni hisobga olgan holda o'rganadi ning ta'siri ostida o'zgarmas T^(M) tangens fazosining pastki fazolari mos yozuvlar nuqtasi bilan chiziqli golonomiya guruhi x e M. Biz shunga o'xshash qo'llaymiz Rimann barglarini o'rganish bo'yicha fikrlar. M silliq bo'lsin manifold va ^ M ning silliq Riman barglari bo'lsin. Q bo'lsin Oddiy ^ to'plami va g Q invariantida silliq metrik bo'lsin ^ ning bargida yotgan egri chiziqlar bo'ylab tabiiy parallel tashish ostida. Mayli V Q bo'yicha noyob burilishsiz metrikani saqlaydigan asosiy ulanish bo'lishi va ^(x) mos yozuvlar nuqtasi x e M bo'lgan V ning golonomiya guruhi bo'lsin. ^(x) ning Q^ ga ta'siri bo'lsa, ^ ni kamaytirilmaydi (kamaytirish mumkin) deymiz qaytarilmas (kamaytirilishi mumkin). TEOREMASI D. - ^ silliq kodimension-q Riman ko'rinishi bo'lsin silliq kollektorning M. Oila bor c^o» ^i ? • • - -> Barglarning ^\ k ning M shundayki ^ == {\ ^ i -qaerda e^o ls a ^le yaproqlanishi (ehtimol 1 =0 codimension-0) abelian Li guruhi va ^ ^ , .. asosida modellashtirilgan. , ^\ hammasi qaytarilmas Riman barglari. tomonidan berilgan q bo'limi k q = ^ kodim (^i) buyurtma bo'yicha yagona va faqat (^,g) ga bog'liq. 1=0 V ning egri chizig'i R bo'lsin. Agar y ning takroriy egriligiga ega deymiz M ustida asosga o'xshash bir shakl mavjud bo'lib, VR == R ® a. TEOREMA E. — M he ixcham oddiy bog'langan analitik manifold bo'lsin va ^ bilan M ning qaytarilmas analitik Riman foliatsiyasi bo'lsin takroriy egrilik va kodim (c^) ^ 3. Keyin M tolalar ixcham ustida ning barglari bilan oddiygina qisqartirilmaydigan Riman simmetrik fazosini bog'ladi ^ tolalar sifatida Biz mikroblarning dastasi haqida bir necha so'z bilan boshlaymiz ikkita Riman manifoldlari L() va L^ orasidagi izometriyalar. Shuni eslang XQ e L() da izometriyaning har bir mikrobi dan izometriya bilan ifodalanadi L^ ning ba'zi ochiq kichik to'plamiga L() da XQ ning ochiq qo'shnisi. Bundan tashqari, ikkita mahalliy gomeomorfizm mavjud - manba xaritasi KO '• ^ - > LQ va baholash xaritasi n^ : ^ -> L^. Nihoyat, har bir mikrob /e ^ chiziqli izometriyani belgilaydi A: T^(Lo) - T^(L,) mikrobni ifodalovchi har qanday izometriyaning 7io(/) dagi differentsial orqali. * T : [a,b] -> LQ bo'lak-bo'lak silliq yo'l bo'lsin. T ning ko'tarilishi yo'ldir T : [a,b] -> ^ shundayki, KQ o ^ = T . LEMMA 2.1. - Agar T ko'taruvchiga ega bo'lsa ^ va X T bo'ylab parallel vektor maydon bo'lsa, u holda (r(s))^(X,) a ^ s ^ b uchun egri chiziq boʻylab parallel vektor maydon boʻladi. Lidagi n^o^. Isbot. — SQ e [a,fc] tuzatish. V mahalladan izometriya bo'lsin LQ dagi x(so) ning mikrobni ifodalovchi L^ ning ochiq to‘plamiga r(5o). Keyin SQ yaqinidagi barcha s uchun r(5)eV, ^i(^)) = /(r(5)) va /JX,) = (^(s^^XJ. Natija darhol bo'ladi, chunki / - V bo'yicha izometriya. Xulosa 2.2. — Faraz qilaylik, T ko'taruvchiga ega ^ va SQ e [a,b] tuzatadi. Agar C ^ T ning T^ )(L()) ga rivojlanishini bildiradi va Cs ni bildiradi n^o^ ning T^^(Li) ga rivojlanishi, keyin (i{So))^C, = C,. Proo/. — C, parallel tarjima qilish natijasida olingan T^( )(L()) dagi egri chiziq 1(5) da T ga teguvchi vektor T bo‘ylab r(s) ga qaytadi. Xuddi shunday, C ^ tangens vektorini TtiCcCs da n^ o^c ga parallel o‘tkazish yo‘li bilan olinadi)) bo'ylab Tii o? ^(^(shunday)) ga qaytish. Chunki ft(s))^ ning tangens vektorini yuboradi T ga TI^OT , lemma 2.1 xulosa beradi. Keyingi lemma standart natijadir. LEMMA 2.3. - Mikrobni tuzatish /e^. Agar har bir yo'l T bo'lsa: [a,b] -> LQ bilan r(a) = 7to(/) koʻtaruvchi ^ga ega ^(a) = / bilan, keyin ning bogʻlangan komponenti ^ o'z ichiga olgan / 15 a LQ qoplama maydoni. PQ : LQ -> LQ va p^\L^->L^ universal qoplama bo‘shliqlari bo‘lsin mos ravishda Lo va Li. Har bir mikrobga / e ^ va har bir ^Cg e LQ va ^ e Li shundayki, po(xo) = 7io(/) anc! Pi(^i) = 7ii(/)» bitta assotsiatsiya a mikrob /r ning XQ dagi mikrobni olib, Lo dan L ^ gacha bo'lgan izometriyani xaritasi p^ofop o 5co mahallasida aniqlanadi, bu erda / / va pj"x ni ifodalaydi tomonidan aniqlangan mahalliy izometriyaning teskarisini bildiradi p ^ ni ^ i kichik mahallasiga cheklash. Shubhasiz, agar / e ^ bo'lsa yo'lni ko'tarish xususiyati lemma 2.3da tasvirlangan bo'lsa, V dastasidagi f ham shunday bo'ladi Lo dan L ^ gacha bo'lgan izometriyalarning mikroblari. LEMMA 2.4. — LQ va Li toʻliq Riman manifoldlari boʻlsin va / e ^ lemma 2.3 dagi kabi. Keyin / LQ dan L ^ ga izometriyani belgilaydi. Isbot. — KQ va T^ ning manba va baholash xaritalarini bildirsin? / o'z ichiga olgan ulangan komponent bilan cheklangan. Chunki Lo oddiy ulangan holda, yuqoridagi muhokama va lemma 2.3 KQ a ekanligini bildiradi gomeomorfizm. Shunday qilib, n^ouo1 to'liqdan mahalliy izometriyadir manifold t.o ga L^. Demak, bu izometriya, chunki u qoplovchi xaritadir (176-bet [11]) va L^ oddiygina ulanadi. Ushbu bo'limning qolgan qismida ^ silliq kodimensiyadir k bog'langan Riman manifoldining (M,^) to'liq geodezik qatlamlanishi. Jf-egri cr : [c,d\ -> M - bo'laklarga bo'lingan silliq egri chiziq, uning barchasi tangens vektorlari y ning barglariga perpendikulyar. /: U -+ R* chegaralangan y ning barglarida suvga botish doimiysi bo'lsin ochiq to'plamga U c: M. ^f-egri o : [c,d] -> U berilgan bo'lsin. y = f o a. Barcha x 6 f'^y^)) uchun [10]ning 1.4 taklifi, bu izometriyalar oilasini belgilaydi (P( : Vc -> V( (c^t^d)) bu yerda (p((x) = y^(t) va Y( qoʻshnisi). a(t) a(t) dan ^ ning bargida. Bu izometriyalar oilalarini ^ f-egri chizig'i bo'ylab yopishtirish mumkin CT : [0,1] -^ M quyidagi tarzda. Mayli 0 = to < ^ < • • • < t, = 1 a/[rf_i,(J c: U, bu erda f^: U; -^ R*" bo'lishi uchun [0,1] bo'limi bo'lsin. .^7U,(i= 1, .. .,r) barglarida suvga cho‘kish konstantasi. Har bir egri chiziq uchun ^/^i-1» ^-]» yuqoridagi konstruksiya izometriyalar oilasini beradi. Kesish orqali ushbu izometriyalarning domenlarini pastga tushirish va ularni to'g'ri tuzish tartibda izometriyalar oilasi olinadi (*) (Pt:Vo-^V, (O^r^l) qayerda (1) V, a(t) ning ^ dan a(r) varaqidagi qo‘shnisi, (2) (p,(a(0)) = a(r) hamma uchun (, (3) har bir xeVo uchun egri chiziq (p,(x) ^f-egri chiziqdir va (4) (po - VQ ning identifikatsiya xaritasi. Biz (^) qoniqarli (1)-(4) oilani golonomiya elementi deb ataymiz ^-egri chiziq bo'ylab a. LEMMA 2.5. - a : [0,1] -+ M 3^-egri chiziq bo'lsin. Keyin mavjud a bo'ylab golonomiya elementi. Bundan tashqari, agar (p, 1 va (p^O^r^l) mavjud a bo'ylab golonomiyaning ikkita elementi, keyin barcha x uchun ^(x) = n>f(x)(0^t^l) o(0) yaqinida yetarlicha. -^ Isbot. - Mavjudligi allaqachon ko'rsatilgan. O'ziga xoslikni olish uchun oling a boʻlim 0 == (o < ti < ' • ' < tr = 1 / [0,1] va suvga botish fi: U, -> R1 ' e^/U barglarida doimiy, a/[(;-i,rj c: U,. uchun. har bir i va x yetarlicha a(0) yaqinida, M (x)) = fi(o(t)) == y,((p?(x)) uchun (e [r,. i, r,] golonomiya elementining (1) va (2) xossalari bo'yicha. Bundan tashqari, ikkalasi ham (p^x) va (p^Oc) J^ -egri chiziqlardir. Shunday qilib, ^ f -egri ko'taruvchilarning o'ziga xosligi bilan ofy;.oa, agar (p^. ,(x) = (p,2 ,(x) keyin (p^x) = (p?(x) barcha te[(,_i,(,]) uchun. Nihoyat, bu barcha te[0,l] uchun i dagi induksiyadan beri amal qiladi (p^(x) = x = (p^(x) a(0) yaqinidagi barcha x uchun (4) xossasi bo'yicha). a : [0,1] -> M qo'zg'almas Jf-egri chiziq bo'lsin. Har biri uchun (e [0,1], L, bildiradi Induktsiya metrikasi bilan ^ dan a(t) gacha bo'lgan barg va ^ ni bildiradi Lo dan L, ga izometriyalar mikroblari to'plami. Endi, T : [a,b] -> Lo bo'lsin x(a) = a(0) bo'lgan bo'lak-bo'lak silliq egri chiziq. TA'RIF. — T boʻylab a ning 0 davomi chekli ketma-ketlikdir (p; ochiq to'plamlarda aniqlangan ^-egri chiziqlar bo'ylab golonomiya elementlarining i = 1, .. .,r va- a bo'lim a == SQ < s^ < • - • < Sy = b ning [a,b] shunday bu (1) (p,1 a bo'ylab golonomiya elementidir, (2) (p;-1 = (p; Vo~1 da nVo hamma uchun f , va (3) T/[5,_i,5,] czVo /^ a« ^ Shubhasiz, T bo'ylab a ning 0 davomi T ning ^ ga 0^ ko'tarilishini beradi hamma uchun t e [0,1] izometriyaning (p; at T (s) qachon 5 e [5; -1, sj. LEMMA 2.6. — Faraz qilaylik (M,g) tugallandi. Keyin har bir J ^ egri chizig'i uchun cr : [0,1] -> M ^nrf ^y^ parcha-parcha silliq egri T : [a,b] -> LQ bilan r(a) = (7(0), r/i^r^ ^cf5r5 atonning davomi^ T. Isbot. — 5o toʻsiq = sup {5 e [a,b] : a ning davomi mavjud x/[a,5]} boʻylab. Lemma 2.5 bo'yicha, shuning uchun > a. Biz SQ = b ko'rsatishimiz kerak. Demak, deylik, SQ ^ b. (p, a bo'ylab golonomiya elementi bo'lsin va C bo'lsin, T ning T^o)(Lo) ga rivojlanishi. Endi, chunki M to'liq Riman manifoldu, ^ ning har bir bargi ham shunday. Demak, har bir t e [0,1] uchun, ^ egri chiziq mavjud: [a,b] -> L( bilan ^(^) = o(t) T^)(L,) dagi rivojlanish (p^(CJ) (qarang [II], 172-bet). Boshqa tomondan, har bir s < SQ uchun a bo'ylab T/[a,s]. Bu T/[a,5] dan ^\ gacha bo'lgan t e [0,1], 7ii( 5 < SQ, 7ii(0,(5)) t dagi J^ -egri chiziqdir. Demak, har bir s < 5o uchun ^(s) bo'ladi t da Jf-egri chiziq. Davomiylik bo'yicha ^(shunday) ham shunday. Shuning uchun, mavjud lemma 2.5 bo'yicha ^(So) bo'ylab golonomiya elementi. Bundan tashqari, beri ^(5) = ^((^(.s)) 5 < 5o uchun s 5o ga yaqin, yagonalik qismi lemma 2.5 golonomiya elementi ^F^o) bilan mos kelishini bildiradi n ^ ^ ^ s) bo'ylab ularning domenlarining bir-birining ustiga chiqishi bo'yicha. Demak, a mavjud 5o dan ortiqning davomi. Bu qarama-qarshilik 5o = b ni bildiradi. S(t,s) = ^(5) olib, quyidagi natijaga erishiladi. S(t,s) = ^(5) olib, quyidagi natijaga erishiladi. Xulosa 2.7. - Agar (M,g) to'liq bo'lsa, u holda har bir J^-egri chiziq uchun a : [0,1] —> M va har bir qismli silliq egri T : [a,b] —^ Lo bilan DE RHAM AYRISH TEOREMALARI 189 i(fl) = a(0), gomotopiya mavjud § : [0,1] x [a,b] -> M shundayki (i) S(t,a)= a(Q /yoki barcha t, (ii) §(0,s) = 1(5) /yoki a« 5, (iii) 8(?,s) e L^ /yoki aH ? anrf s, anrf (iv) t ->• 8(t,s) har bir belgilangan s uchun J^-egri chiziqdir. Xususan, t -> 6(t,fc) 15 r(fc) anrf da boshlanuvchi J^-curi^ L^ bilan tugaydi. Xulosa 2.8. - 7f (M,g) to'liq, keyin ^ ning istalgan ikkita bargi bo'ladi ^-egri chiziq bilan bog'langan. Isbot, — Deb ^ ning barglariga tenglik munosabatini aniqlang L ^ L' agar ular ^ f-egri chiziq bilan bog'langan bo'lsa. Bu munosabat aniq refleksiv va simmetrik. O'tish davri ekanligini ko'rsatish uchun, deylik <7o : [0,1] -> M va CTI : [1,2] -> M bo'lgan ^f-egri chiziqlar (Jo(O)eLo, ao(l)eLi, Oi(l)eLi va a^(2)eL^. T <7o(l) ni Oi(l) ga tutashtiruvchi L^ dagi istalgan egri chiziq bo lsin. ning gomotopiyasi natija 2.7 a^ ga qo'llaniladi va T Jf-egri c^ beradi: [1,2] -> M bilan (72(1) = cyo(l) va a^(2)eL^. OQ va a^ning birlashuvi c^f-egri chiziqdir. LQ ni L^ ga ulash. Endi, chunki ekvivalentlik sinflari ochiq to'yingan to'plamlar va M ulangan, faqat bitta ekvivalentlik sinfi mavjud. Izoh. - Hermann terminologiyasida [7], xulosa 2.7 isbotlaydi Har bir c^f-egri chizig'i muntazam ekanligini, natijada esa 2.8 har bir juftligini ko'rsatadi ^ barglari muntazam ravishda bog'langan. Demak, [7] ning 2.1 teoremasi bo'yicha har qanday ikkita ^ barglari diffeomorf universal qoplamaga ega. Aslida, ko'proq haqiqat. Xulosa 2.9. - Agar (M,^) to'liq bo'lsa, ^ ning istalgan ikkita bargi bor izometrik universal qoplama bo'shliqlari. Isbot. - 2.8 ga kelib, har qanday ikkita barg e ^ f-egri chiziq bilan bog'langan. Bu lemma 2.5 orqali ular orasidagi izometriyaning mikrobini aniqlaydi. Lemma 2.6 bo'yicha bu mikrob lemma 2.3 da tasvirlangan yo'lni ko'tarish xususiyatiga ega. Shuning uchun Ikki bargning universal qoplama bo'shliqlari lemma 2.4 bo'yicha izometrikdir. Shu nuqtadan boshlab, biz ^ ga normal taqsimot deb faraz qilamiz integral bo'ladi va shu tariqa n - k kodimensiyaning foliatsiyasini ^ belgilaydi (n = dim M) ^ F ga ortogonal. 2.7 xulosasining yana bir natijasi birinchi navbatda quyidagi teoremadir Jonson va Uitt tomonidan boshqa usul yordamida isbotlangan. TEOREMA 2.10 [10]. - Agar (M,g) to'liq bo'lsa, ^ ning har bir bargi har biriga to'g'ri keladi ^ ning bargi. Isbot. - H - ^ ning bargi va L - ^ ning bargi bo'lsin. Lo barg bo'lsin x da H ni uchratgan y. Xulosa 2.8 bo'yicha J^-egri o mavjud Lo ga L ga qo'shilish. a(0) ni x ga qo'shuvchi T egri chiziq bo'lsin. The 2.7 xulosasining gomotopiyasi L dagi nuqtaga x-ni tutashtiruvchi e^f-egri chizig‘ini beradi. Bu egri chiziq H da yotishi kerak. Shunday qilib H ning kesishmasida nuqta bor va L. Endi biz A teoremasini isbotlashni boshlaymiz. Lo of y bargni tuzatish. Agar x e M bo'lsa, L^ orqali ^ ning bargini bildirsin x. M va Rimanda x ning U mahallasi mavjud suvga botish /u '- U -> L^ n U doimiy ^/U barglari bo'ylab [10]. Endi (M,^) tugallanganligi sababli, 2.10 teoremasi ^ ning H ^ bargini nazarda tutadi x orqali Lo bilan uchrashadi. Shunday qilib, a:[0,l]-^M bilan Jf-egri chiziqlar mavjud a bo'ylab golonomiya, keyin / = (pi o/u : U -+ Lo - Rimann. ^/U barglari bo'ylab doimiy bo'lgan suvga botish. Shunday qilib, biz topishimiz mumkin M qaerda Lo-kosikl {(U,,/,,^p)}^p^ (i) {HjaeA M ning ochiq qopqog'i, (ii) /a : U, -> Lo - bu Rimann suvga botish, uning darajalari to'plami ^/U barglari,, (iii) g^ : /p(U,nUp) -> /JU,nUp) qoniqtiruvchi izometriya L = g ^ ° / p ustida U, n Yuqoriga. Bundan tashqari, konstruktsiyasi bo'yicha har bir g ^ an bilan aniqlangan izometriyadir Jf egri chizig'i bo'ylab golonomiya elementi a : [0,1] -> M ikkala a(0) bilan va a(l) Loda yotgan. Demak, lemma 2.6 bo'yicha izometriyaning mikroblari g ^ lemma 2.3 da tasvirlangan yo'lni ko'tarish xususiyatiga ega. Kesish orqali U,, deb taxmin qilishimiz mumkin, deb/a (UJ bir mahallada joylashgan Lo ning universal qopqog'i ahamiyatsiz. Shunday qilib, /, to ni ko'tarishimiz mumkin Lo va to^otsiklga rimann suv botishi / ni oling {(U,,7a,i«p)}a,peA qayerda (i) {UoJ^gA M ning ochiq qopqog'i, (ii) 7a: U, -> Lo ls Rimann suvga cho'mish, uning darajalari to'plamlari ^/U barglari, ( m ) tap •'7a(Uo(nUp) -> 7p(U,nUp) qoniqtiruvchi izometriya 7a = 0 7p ga teging • Umumiylikni yo'qotmasdan, biz U, n Up bog'langan deb taxmin qilishimiz mumkin har doim bo'sh bo'lmaganda. Demak, qurilish va lemma bo'yicha 2.4, har bir g^ LQ izometriyasigacha cho'ziladi. I(C-o) LQ ning izometriya guruhi bo'lsin. Aniqlash P={[go/J,:xeU, , aeA,g6l(to)} bu yerda [g o /J^ g o / ning urug'ini bildiradi, at x. n : P -> M bo'lsin manba xaritasi. U holda n : P -» M silliq asosiy I(to)-to'plam qaerda Men (to) diskret topologiyaga ega. Po P ning bog‘langan komponenti bo‘lsin. Keyin Po M ning muntazam qoplamasi va F baholash xaritasi: Po -> LQ n'1 ning barglari bo'ylab Riman suvga cho'mish doimiysi ^). beri Podagi ko'rsatkich to'liq va n"1 uchun to'plamga o'xshaydi ^) bizda shunday F : Po -> LQ - bu mahalliy arzimas tolali makon [8]. Lejt qilsin"1 ^). U holda L to'liq Riman manifoldidir va F/L : L -> LQ izometrik immersiyadir. Demak, L ning qoplama fazosidir F/L proyeksiyasi bilan LQ [11]. Demak, F/L : L -> LQ izometriyadir. Fix HoeTt"^^). PePo bo'lsin. n ~ning bargi Lp 1 ^) p orqali Xo bilan uchrashadi (2.10 teorema). Faraz qilaylik, z^ , z^ e Lp n Ho. Keyin F(zi) = F(z2). F/Lp : Lp -> LQ in'ektsion bo'lgani uchun bizda z^ = z^ mavjud. Shunday qilib Lp n Ho bir nuqtadan iborat (p(p). Aniqlang 0 : PO -^ Ho x to tomonidan ^^(P), F(p)). 0(pi) = deylik (S>(p2)' Keyin (p(pi) = (p(?2)) va shuning uchun L^ = Lp^. F(pi) = F(?2) bizda bu pi = p2- (a,b)eHo x LQ bo'lsin. Keyin L, n F- ^b} = {p} va Endi biz har bir barg tekis bo'lgan to'liq geodezik barglarni ko'rib chiqamiz. 2.11 TEOREMA. — Agar M a bilan ixcham Riman kollektori bo'lsa co o'lchamli-bir to'liq geodezik ko'ndalang yo'naltirilgan barg qatlami ^ tomonidan tekis barglari, keyin S1 ustidan M tolalar M ning universal qopqog'i esa R". Isbot. — Planterlarning [14] oʻsish xarakteristikalaridan birini eslaylik ^ F ning L bargi. p e L bo'lsin va L ning o'sish funktsiyasini p bo'yicha aniqlang g^(r) = vol (Bp(r)) bu yerda Bp(r) r radiusli L dagi ochiq sharni bildiradi. p da markazlashtirilgan. L ning o'sish turi keyin o'sish turi hisoblanadi gp funktsiyasi: R+ -> R+ va faqat L ga bog'liq. ^ ning har bir bargi bo'lgani uchun to'liq yassi Riman kollektori, shundan kelib chiqadiki, universal qoplama har bir barg R" ~ 1 uning standart ko'rsatkichi bilan. Demak, ^ ning har bir bargi bor darajali polinom o'sishi ^ n - 1. Xususan, ^ ning barcha barglari eksponensial bo'lmagan o'sishga ega. Demak, ^ ixcham bargga ega yoki boshqa ^ golonomiyasiz [15]. Agar ^ ixcham bargga ega bo'lsa, u holda M tolalar S1 dan yuqori [10]. Agar ^ golonomiyasiz bo'lsa, ^ topologik hisoblanadi yoʻqolib ketmaydigan yopiq bir shakl bilan aniqlangan koʻkatga konjugat [18]. Demak, S1 ustidagi M tolalar Tischler teoremasi [19] tomonidan. Nihoyat M ^ R" - 1 x R = R". Xulosa 2.12. — M ixcham, yo‘naltiriladigan, 3 o‘lchovli bo‘lsin To'liq geodezik ko'ndalang ko'lamli Rieman manifoldu yo'naltirilgan barglari ^ tekis barglari bilan. Keyin 1) S1 ustidagi M tolalar 2) M ning universal qopqog'i R3 3) 7ii(M) f5 eruvchan, 4) Salom(M,Z) + 0, va 5) agar ^ ning yopiq orbitalari bo'lmasa, u holda 7ii(M) abelian va M tolalari ustidan Isbot. — (1) va (2) oldingi teoremadan kelib chiqadi. Chunki ^ a kodimension-2 Evklid barglari, bundan kelib chiqadiki, 7ti(M) eriydigan va H^(M,Z) + 0 [1]. Aytaylik, ^ yopiq orbitaga ega emas. Keyin barcha barglar ^ oddiygina bog'langan va shuning uchun K^(M) abeliandir [1]. Bundan tashqari, beri ^ golonomiyasiz, M tolalar T2 dan yuqori Misol. — Bu misolda [6] toʻxtatib turish usuli qoʻllaniladi. Keling, L ixcham manifold bo'lsin va n : L -> L L ning universal qopqog'i bo'lsin. H manifold bo'lsin va (p : 7ii(L) -> Diff(H) omomorfizm bo'lsin. L x {pt.} ko'rinishdagi barglar bilan L x H barglari a ga o'tadi bog'langan tolalar to'plamining barglari ^F M = L x „ (^)H ko'ndalang tolalar. M ning to‘plam tolalari bilan barglanishi ^ bo‘lsin. Mayli T(^) va T(^) T(M) ning ^ va ^ ga tangens boʻlaklari boʻlsin, mos ravishda. Keyin T(M) = T(^) @ T(^). Har qanday Riman ko'rsatkichini qo'ying L bo'yicha. Bu T(^) da metrikani keltirib chiqaradi. T(^) ga istalgan ko‘rsatkichni qo‘ying. tomonidan T(^) va T(^) ni ortogonal deb belgilab, »biz Rimannni olamiz. M ustidagi metrik. Bu koʻrsatkich ^ uchun toʻplamga oʻxshaydi. Demak, ^ butunlay geodezik [10]. masalan. L = T^, ikki teshikli torus va H = S1 bo'lsin . Keyin 7ii(L) SL(2,R) ning kichik guruhidir va shuning uchun S1da tabiiy tarzda harakat qiladi . Vaqf berish L giperbolik metrik bilan biz M ning kodimension-1 foliyatsiyasini olamiz doimiy salbiy egrilikning butunlay geodezik barglari bilan. Misol. — G bi-invariantni qabul qiluvchi bog‘langan Li guruhi bo‘lsin metrik <—,—>. G ning 1 parametrli kichik guruhlari geodeziyalar bo'lganligi sababli Bog'langan H kichik guruhining chap kosetlari ning to'liq geodezik qatlamini hosil qiladi G. G dagi chap invariant vektor maydonlarning Li algebrasi ^ bo lsin H bilan bog'langan subalgebra va A1 bo'lsin ortogonal bo'lsin ^ dagi A ning to‘ldiruvchisi. Chunki har biri uchun <[X,Y],Z> = X, Y, Z e ^, X, Y e ^ va Z e ^ ni olganda, ^ shunday ekan integrallash mumkin, agar ^ ning ideali ^ bo'lsa, ya'ni H oddiy kichik guruh bo'lsa ning G. Agar shunday bo'lsa, xuddi shu dalil ^ ideal ekanligini ko'rsatadi bu G ning bog'langan oddiy K kichik guruhini belgilaydi, ya'ni H ga ortogonal. Shuning uchun G, H ning universal qopqoqlariga o'tishda va K bizda G == H x K guruh mahsuloti sifatida. Mantiqsiz oqim torus bu misolning alohida holatidir. Misol. - (L,^) va (H,/i) ikkita Riman manifoldlari bo'lsin p : H -> H H ning universal qopqog'i va H ko'tarilgan ko'rsatkich Ji bo'lsin. p : 7ii(H) -> Iso (L) tasvir bo'lsin. Nihoyat ^ : L -> (0,oo) bo'lsin 7Ci (H) ostida silliq musbat funktsiya o'zgarmasligi, ya'ni ^(p(y)(x)) = 5i(x) barcha y e 7ii(H) va x e L uchun. L x fl bo'yicha 7ti(H) harakatini belgilang y(^) = (P(y)00,y(}0) tor Y€7Ci(H) va (x,^) e L x fl. Bu harakat to'g'ri to'xtatiladi. ning barglari bilan L x fl ning barglanishi L x {pt.} shakli (Lxfl)/7ii(H) ning 3^ barg qatlamiga o'tadi, bu esa {pt.} shaklidagi barglar orqali x fl barg barglariga o'tadi ^. Bundan tashqari L x fl mahsulot egri bo'lsa, bu harakat izometrik sifatida ishlaydi metrik g=g(Q'>Ji . Bu koʻrsatkichda L x {pt.} barglari toʻliq geodezik va barglarga otgonaldir {pt.} x fl. Shunday qilib, ^ butunlay ortogonal to'ldiruvchi ko'katlar bilan geodezik ko'katlanish ^. (Doimiy boʻlmaslik uchun \ ni tanlash ^ barglari boʻlishining oldini oladi butunlay geodezik.) masalan. L = S2 bo'lsin kanonik metrik bilan va H = S1 bo'lsin . Mayli p : 7Ci(H) -> Iso (L) = 0(3) ni 7ti(H) generatoriga ruxsat berish orqali aniqlash mumkin. S2 ning ba'zi (ehtimol mantiqsiz) aylanishiga o'ting shimol-janub atrofida qutb o'qi. Nihoyat, \ dagi har qanday silliq musbat funktsiya doimiysi bo'lishi mumkin kenglik chiziqlari. M silliq kollektor va 3F silliq kodimensiya-^ bo'lsin M ning riman koʻpayishi. T(M) M va ning tangens toʻplami boʻlsin E c: T(M) ^F ga kichik to'plam tangensi bo'lsin. O'rnatishni tanlang T (M) ning pastki to'plami sifatida 3F ning oddiy to'plami Q qoniqtiradi T(M) = E © Q. ^ Rimann boʻlgani uchun, silliq metrik g boʻladi Barglar bo'ylab tabiiy parallelizm ostida Q invariant. Bu maʼnosida toʻplamga oʻxshash metrikaning mavjudligiga teng Reynxart [16]. r(E), r(Q) va J'(M) silliq bo'shliqlarni bildirsin mos ravishda E, Q va T (M) vektor to'plamlarining bo'limlari. Shuni eslang a bog'lanish V : ^(M) x F(Q) -^ F(Q) asosiy hisoblanadi, agar u tabiiy barglar bo'ylab parallellik. Ekvivalent, VxY = [X, YJQ hamma uchun Xer(E), Yer(Q) bu yerda [X,Y]o yolgʻonning Q-komponentini bildiradi. X va Y qavslari [4]. V yagona metrikani saqlaydigan asosiy bo'lsin nol burilish bilan Q da ulanish (hamma uchun VXYQ—VYXQ=[X,Y]QX,Y e ^"(M)) [12], [13]. x e M va C(x) x nuqtada aylanma fazo bo‘lsin. Har bir reC(x) uchun T bo'ylab parallel tashish Q^ izometriyasidir. Q^ ning barcha ana shunday izometriyalari to‘plami V ning ^(x) golonomiya guruhidir mos yozuvlar nuqtasi x bilan. Endi biz D teoremasini isbotlaymiz. Agar ^F qisqartirilmaydigan bo'lsa, ish tugadi. Faraz qilaylik ^ kamaytirilishi mumkin. Q^ invariant Q^ ning notrivial pastki fazosi bo'lsin ^(x). Mayli. X dan y gacha bo'lgan T egri chiziqni tanlang va Qy c= Qy bo'lsin T bo'ylab parallel tarjima bilan Q ^ tasviri. Keyin Qy bog'liq faqat y nuqtada va shuning uchun biz silliq taqsimotga erishamiz Q'c: QcT(M). LEMMA 3.1. — E ® Q' taqsimoti involutivdir. Isbot. - Agar X,Yer(E), u holda [X,Y] e F(E), chunki E involutivdir. Faraz qilaylik, X e F(E), Y e r(Q'). Keyin [X,Y]o ^= VxY e r(Q') va demak [X,Y] e r(E®Q'). Nihoyat, X, Yer(Q') deylik. Keyin [X,Y]Q = VxY - VyX € r(Q') va shuning uchun [X,Y] € r(E©Q'). LEMMA 3.2. - E ® Q ning integrali bo'lsin. Keyin ^ ' bo'ladi Rimann barglari va V ning oddiy to'plamga cheklanishi ^ ' Bu ^' uchun torsionsiz metrikani saqlaydigan yagona asosiy ulanishdir. Isbot. — Q" ning Q' ning ortogonal to'ldiruvchisi Q" bo'lsin. Keyin Q" bu ^' ning oddiy to'plami. Agar Xe^(M) va Y e F(Q") bo'lsa, chunki ,Q" golonomiyaning o'zgarmasligi, VxY e r(Q") va V ulanishni aniqlaydi. Q" ustida. Xer(E®Q'), Yer(Q") bo'lsin. Keyin VxY = Vx,Y + Vx^Y == [XH,Y]Q» + VXQ,Y. Lekin [XQ,,Y]Q = Vx^Y - VyXQ, va shuning uchun Vx^Y = [XQ,,Y]Q.. Demak, VxY = [XE,Y]Q. + [XQ,,Y]Q. = [X,Y]Q» Bu V ning ^ F' uchun asosiy ulanish ekanligini ko'rsatadi. V metrik saqlovchi va 3F' barglari bo'ylab tabiiy parallellikni keltirib chiqarganligi sababli, u Bundan kelib chiqadiki, g ning Q ga cheklanishi natural ostida invariantdir y va shunga o'xshash 3^' bo'ylab parallel ko'chirish - Rimann barglari lemmaning isbotini to'ldirish. Biz Q^ ni toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi sifatida parchalashimiz mumkin Q^ = Q$ ® Qji ® • " © QS ^(x) ostida o'zgarmas o'zaro ortogonal pastki fazolar, bu erda Q$ Q^ dagi ^V(x) va Q^, ..., Q^ bilan aniqlangan vektorlar toʻplami hammasi qaytarilmas. Har bir i = 0, 1, ... , k uchun ^\ M ning barglari bo'lsin taqsimotiga integral bo'lgan E © Q° © • • • © Q1 © • • • © Q^ qaerda Q1 Q1 ekanligini ko'rsatadi o'tkazib yuborilgan. Lemma bo'yicha har biri 3,2 J^. a Rieman ko'katlari va aniq ^i, .. . , ^ qaytarilmas. Agar kodim (^o) == ^ Biz tugatdik. Kodim (c^o) == m > 0 deb faraz qilaylik Y^, ... , Y,^ Q^ ning asosi bo‘lsin. Y,^, dan beri. .., Y,^ ^(x) bilan belgilanadi, bu vektorlar Y^ , .. vektor maydonlariga kengaytirilishi mumkin. , Y^ e r(Q°) qaysi V ga nisbatan paralleldir. Xususan, Y^ , .. . , Y ^ parallel ^o barglari bo'ylab. i,j == 1 uchun, . . . , m bizda bor [Y, Y,]Q = VyY, - VyY, = 0 va shunga o'xshash [Y, Y^o - 0. Demak, ^o ni bir-birining ustiga chiqadigan R^ ga mahalliy suv bosishi bilan aniqlash mumkin tarjimalar bilan farqlanadi, shuning uchun c^o modellashtirilgan Lie foliyatsiyasi ekanligini ko'rsatadi k R'". Aniq ^ = [\ ^ [ va D teoremasining isboti to'liq. 1 = 0 Xulosa 3.3. — ^ ixchamning Riman ko'rinishi bo'lsin manifold M. m = kodim (c^o) bo'lsin (ehtimol m==0). Keyin i) m o'lchamli torus T"1 ustidagi M tolalar . ii) M ning universal qopqog'i L x R"1 mahsulotidir bu erda L ^ Q barglarining universal qopqog'i va ^ Q ko'tarilishi mahsulotdir barglarning paydo bo'lishi. Isbot. — Mayli, Y^, ... , Y^ D teoremasining isbotidagi kabi bo'lsin coi, ... , co^ M da silliq bir shaklli bo'lib, ular tangens vektorlarida yo'qoladi ^Q ga va ko,(Y^) = 8^ ni qanoatlantiring. 1 ^ i ^ m ni tuzating. Agar X,Zer(E©Q1® •• • ©Q^), keyin rfo^.(X,Z) = - co^X.Z] = 0 dan beri E @ Q1 © • • • © Q^ hisoblanadi jalb qiluvchi. Agar X e r (E@Q1 © • • • © Q^) va 7'e{l,...,m} , keyin dWi(X,Yj) = - (o;[X,Yy] = 0, chunki Vj ^o barglari boʻylab parallel boʻladi • Agar 7\,72e{l,...,m} bo'lsa, Ao,(Y,^) = - co,[Y^.J = 0 dan beri [Y.,Y.]QO = 0. Shunday qilib d^i = 0 va shuning uchun C0i, ... , co^ chiziqli yopiladi. mustaqil yagona shakllar. Tishler teoremasi bo'yicha [19], T'" ustidagi M tolalar. Ikkinchi bayonot [1] ning 2-nuqtasidan kelib chiqadi. Endi E teoremasini isbotlaymiz. R: ^(M) xJ'(M) x r(Q)-^r(Q) bo‘lsin. V ning egriligi, ya'ni R(X,Y)Z==VxVYZ-VYVxZ-V^Y]Z. Eslab qoling M dagi r-shakldagi ko differensial asosga o'xshash [16], agar i^w = i^dw = 0 uchun barcha X e r(E) bu yerda i'x ichki mahsulotni bildiradi. Chunki ^ bor takroriy egrilik, M ustida asosga o'xshash bir shaklli a mavjud shundayki VR = R (x) a. X e M bo'lsin. /: U -> V darajasi bo'lgan suv bo'lsin to'plamlar j^/U ning barglari bo'lib, bu erda U M va dagi x ning qo'shnisidir V - R4 da ochiq to'plam , q = kodim (J^). Noyob Riemann bor metrik g V da f*(g) = g bo'lsin. V rimanlik bo'lsin V ustidagi ulanish. Keyin /^(V) = V/U. R - V ning egri chizig'i bo'lsin. a asosga o'xshash bo'lgani uchun V da yagona a shakli mavjud bo'lib, shunday /*oc = a. U holda bizda V = R ® a va shuning uchun V Rimanndir takroriy egrilik tensorli manifold. 7i : 0(Q) -> M asosiy Q ning ortonormal ramka to'plami bo'lsin. 0 (g) - to'plam. V va ga mos keladigan 0(Q) dagi bog’lanish r bo’lsin Fu F tomonidan induktsiya qilingan 0(Q)/U = TI'^U) dagi bog'lanish bo'lsin uen'^x). ^(u) (mos ravishda, ^¥°(u)) golonomiya guruhi bo'lsin (mos ravishda, cheklangan golonomiya guruhi) mos yozuvlar nuqtasi u bilan F. ^(u.U) (mos ravishda, ^(i^U)) golonomiya guruhi bo‘lsin (mos ravishda, cheklangan golonomiya guruhi) mos yozuvlar nuqtasi u bilan F^j. Mayli 7i : 0(V) -> V V ning ortonormal ramka to'plami bo'lsin va F bo'lsin. V ga mos keladigan 0(V) dagi ulanish. u = f^(u) va ^(u) bo'lsin. (mos ravishda, ^(u)) golonomiya guruhi (mos ravishda, cheklangan). golonomiya guruhi) mos yozuvlar nuqtasi u bilan F. Chunki M oddiy ulangan, bizda T0 bor ^) = ^¥(u). Oddiy bo'lish uchun U va V ni tanlash orqali ulangan, bizda T°(M,U) = ^(^.U) va ^°(u) = V(u). Chunki r a 0(Q) haqiqiy analitik asosiy tolalar to'plamidagi haqiqiy analitik aloqa, bizda (kerak bo'lsa U kichrayadi) ^°(u) = ^(^U) [11]. beri 0(Q)/U = /^(CKV)) va F^ = /-^r), bizda ^(^U) c ^(u) va shuning uchun ^V(u) cz ^(u) mavjud. Chunki ^ qaytarilmaydi, shundan kelib chiqadiki, V ning cheklangan chiziqli golonomiya guruhi qaytarilmas. V qaytalanuvchi egrilik tensoriga va xira (V) ^ 3 ga ega bo'lgani uchun uning egrilik tensori parallel [11]; ya'ni VR = 0. Shunday qilib VR = 0. Demak, M bilan oddiy bog'langan Riman simmetrik fazosi ustidagi tolalar N tolalar sifatida ^ barglari [3]. Shubhasiz, N ixcham va majburiydir qaytarilmas. Download 48.93 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|