Farxod rajabov


 Teskari trigonometrik funksiyalar hosilalari uchun formulalar chiqaring


Download 6.24 Mb.
Pdf ko'rish
bet19/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   29

13. Teskari trigonometrik funksiyalar hosilalari uchun formulalar chiqaring.
177

4 - § .  H o sila n i  funk siy alarn i  te k sh irish g a   ta tb iq i
4.1.  Funksiyanlng  o ‘sishi  va  kamayishi.
Hosila  tushunchasini  funksiyani  o'sishi  va  kamayishini  tekshirishga 
tadbiq  etamiz.
1
-teorem a. 
1
)  agar 
[a\  b]  kesmada  hosilaga  ega  bo'lgan  f(x)  fun- 
ksiya shu  kesmada  o'suvchi bo'lsa,  uning hosilasi 
[a;  b\  kesmada  manfiy 
bo'lm aydi  ya’n i / ' ( x ) >
0
.
2
)  agar  f(x)  funksiya 
[a;  b\  kesmada  uzluksiz  (a,b)  oraliqda  diffe- 
rensiallanuvchi  bo'lsa  va 
a  uchun  f ( x
)>0
  bo‘lsa,  bu  funksiya 
[a; 
b\  kesmada  o ‘sadi.
Isboti.  Teorem aning  birinchi  qismini  isbotlaymiz.
f(x)  funksiya 
[a\  b]  kesmada  o ‘sadi  deb  faraz  qilamiz  x   ga  A x
orttirm a  beram iz  / ( x + Ax) ~ / ( * )   nisbatini  tuzamiz.
Ax
f(x )  o ‘suvchi  funksiya  shunga  ko‘ra 
A x > 0   bo'lganda  / ( x  + A x)> / ( x ) .
A x < 0   bo'lganda  / ( х  + Д х ) < / ( х ) .
Ikkita holda  ham   A x + A*)—
f ( x)  > q
Ax
f ( x  
+
 A x ) -
fi x ')   .
Demak,  hm —--------------- —  > 0 .  Endi
Ar->0 
fa x
ikkinchi  qismini  isbotlaymiz.  [a; 
b\  oraliq­
da  f ( x
)>0
  deb  faraz  qilamiz.  [e; 
b]  kes- 
maga  tegishli  ikkita  ixtiyoriy  x,  va 
x
1
  (x,Lagranjning  chekli  orttirm alar  haqidagi  teoremasiga  ko'ra
f ( x
2
) - f ( x l) = f ' ( Ç ) ( x
2
- x l) 
x , < £ < x 2.
Shartga  ko‘ra,  / ' ( £ ) ’> 0  demak,  / ( x , ) - / ( x , ) > 0   bu  esa  f(x) 
o ‘suvchi  funksiya  demakdir.  Agar  f(x)  funksiya  [a;b]kesmada  kamaysa 
shu  kesmada  / ' ( x ) < 0   bo‘ladi.  Agar  (a,b)  oraliqda  / ' ( x ) < 0   b o‘lsa 
[a;b]  kesm ada  f(x)  kamayadi.
Funksiya  faqat  kamayuvchi  yoki  faqat  o'suvchi  bo'ladigan  interval- 
lar  m onotonik  intervallar  deyiladi.
M isol. 
y  = x*  funksiyaning  o'sish  va  kamayish  sohalari  topilsin. 
Hosilani  topam iz.  x>0  bo ‘lsa  /  > 0  funksiya  o ‘sadi.  x<0  b o ‘lsa 
ÿ < 0  
funksiya  kamayadi  (118-chizma).
178

1 -ta’rif.  Agar  f ( x )   funksiyaning  x,  nuqtasidagi  qiymati  x,  ni  o ‘z 
ichiga  olgan  bironta  intervalning  hamma  nuqtalardagi  qiymatlaridan 
katta  bo‘lsa  f ( x )   funksiya  x,  nuqtada  maksimum  (max)  ga  ega  bo‘ladi. 
Boshqacha  aytganda,  agar absolut  miqdori  bo'yicha yetarli  darajada  kichik 
bo'lgan  har  qanday  musbat  (yoki  manfiy)  Ax uchun  / (x,  + Ax) < / ( x ,  ) 
bo‘lsa,  f ( x )   funksiya  x = x ,  nuqtada  maksimumga  ega  bo'ladi.  119-chiz- 
mada  y = f ( x )   funksiya  x = x ,  nuqtada  maksimumga  ega.
2 -ta ’rif.  Agar  absolut  miqdori  bo'yicha  yetarli  darajada  kichik  bo'lgan 
har  qanday  Ax  uchun  / ( x 2 + Ax)> / ( x , ) b o ‘lsa  f(x)  funksiya  x = x 2 
nuqtada  minimumga  ega  bo'ladi.
M asalan,  y = x 4  funksiya  x = 0   da  minimumga  ega.
M aksimum  va  m inim um   ta ’riflari  munosabati  bilan  quyidagi  hol- 
larga  e ’tibor  berish  kerak.
1)  kesmada  aniqlangan  funksiya  x 
ning  faqat  qaralayotgan  kesm aning 
ichidagi  qiymatlarida  maksimal  va  m in­
imal  qiymatlariga  yetishi  mumkin;
2)  funksiyaning  maksimumi  va  min- 
imumini  qaralayotgan  kesmada  uning 
eng  katta  va  eng  kichik  qiymatlari  deb 
qarash  xato  bo'ladi.  Funksiyaning  mak­
simum  va  m inim um lari  funksiyaning 
ekstremumlari  yoki  ekstremal  qiymat­
lari  deyiladi.  Ekstremal  qiymatlar topish 
usuli  quyidagicha:
1-teorem a.  (Ekstremum  mavjudligining  zaruriy  sharti).  Agar  diffe- 
rensiallanuvchi  y = f ( x )   funksiya  x = x ,  nuqtada  maksimumga  yoki  m in­
imumga  ega  bo‘lsa  uning  hosilasi  shu  nuqtada  nolga  aylanadi,  ya’ni 
/ '( x , )  = 0  bo'ladi.  Agar  f ( x )   funksiya  maksimum  va  m inim um   nuqta- 
Iarda  hosilaga  ega  bo ‘lsa,  y = f ( x )   egri  chiziqning  shu  nuqtalariga 
o ‘tkazilgan  urinm a  Ox  o ‘qiga  parallel  bo'ladi.
Haqiqatan  ham,  f ' ( x l) = tg
  tenglikdan,  (bu  yerda  
  urinma 
bilan  Ox  o ‘qi  orasidagi  burchak)  
= 0  ekanligi  kelib  chiqadi.  1-teore- 
madan  bevosita  ushbu  natija  kelib  chiqadi.
Natija:  agar  argument  x  ning  qaralayotgan  hamma  qiymatlarida  f(x) 
funksiya  hosilaga  ega  bo‘lsa,  u  holda  funksiya  x  ning  faqat  hosilani 
nolga  aylantiradigan  qiymatlarida  ekstremumga  ega  bo‘ladi.
Bunga  teskari  fikr  to ‘g ‘ri  emas.  Hosilani  nolga  aylantiradigan  har 
qanday  qiymatda  ham  maksimum  yoki  minimum  boiaverm aydi.
4.2.  Funksiyaning  maksimumi  va  minimumi.
Masalan, 
 = x 3 .
ÿ  =  3 x : ;  x = 0  •
179

II
*
Funksiya  hosilasi  x = 0   nuqtada  nolga 
teng  bo'ladi,  am m o  bu  nuqtada  funksiya 
maksimumga  yoki  m inimumga  ega  emas 
(
120
-chizma).
T
>t
nuqtalarda  ham   funksiya ekstremumga  ega 
bo'lishi  mumkln.
Funksiya  hosilasi  mavjud  bo'lm agan
120-chizma.
Agar  b iro r  n u q tad a   hosila  m avjud 
bo'lm asa,  shu  nuqtada  hosila  uzilishini 
ko'ramiz.  Argumentning  hosila  nolga  ay- 
lanadigan  yoki  uziladigan  qiymatlari  kritik
qiym atlar  deyiladi.
H ar  qanday  kritik  qiymatda  funksiya  maksimum  yoki  minimumga 
ega  bo'lavermasligi  mumkin.  Funksiyaning  ekstremum ini  topish  uchun, 
ham m a  kritik  nuqtalar  topiladi,  so'ngra  har  bir  kritik  nuqtani  ayrim 
tekshirib,  u  nuqtada  funksiya  maksimum  yoki  m inimum ga  ega  bo'lishi, 
yoki  bo'Irriasligi  aniqlanadi.
2
-teorem a.  (Ekstremum  mavjudligini  yetarli  sharti.) 
f(x)  funksiya  kritik  nuqta  x  ni  o ‘z  ichiga  olgan  bironta  intervalda 
uzluksiz  v a ' shu  intervalning  hamm a  nuqtalarida  differensiallanuvchi 
bo'lsin,  agar  shu  nuqtaning  chap  tom onidan  o ‘ng  tom oniga  o'tishda 
hosilaning  ishorasi  m usbatdan  manfiyga  o'zgarsa  funksiya  x=x,  nuqtada 
maksimumga  ega  bo'ladi,  ya’ni
Agar  funksiya  hosilasi  ishorasini  o ‘zgartirmasa  u  maksimumga  ham  
m inim um ga  ham   ega  boMmaydi,  u  o ‘sadi  yoki  kamayadi.
4.3.  DifferentsiaUanuvchi  funksiyani  birinchi  va  Uddnchi  hosila 
yordamida  ekstremumga  tekshirish.
1.  Funksiyaning  birinchi  hosilasini,  ya’ni 
f ' ( x )   ni  topamiz.
2.  Argument 
  ning  kritik  qiymatlarini  topam iz.  Buning  uchun:
a)  birinchi  tartibli  hosilani  nolga  tenglaymiz  va  haqiqiy  ildizlarini 
topam iz.
b) 
  ning  f ' ( x )   hosila  uzilishiga  duchor  bo'ladigan  qiymatlarini 
topam iz.
3.  Hosilaning  kritik  nuqtadan  chapdagi  va  o ‘ngdagi  ishorasini  tek- 
shiramiz.  Ikkita  kritik  nuqta  orasidagi  intervalda  hosilaning  ishorasi
^<^1
 
f \ x ) >  
0

-  bo‘lsa  funksiya 
x x  nuqtada  maksimumga  ega
/ ’(*)<0
jr Y  '»i.n  ^ ° ^ sa 
*1
  nuqtada  m inimumga  ega  bo'ladi.
180

o'zgarmaydi.  Shunga  ko'ra,  masalan:  x2  kritik  nuqtaning  chap  va  o ‘ng 
tomonidagi  hosila  ishorasini  tekshirish  uchun,  hosilaning  a   va  (3  nuqta-
lardagi  ishorasini  aniqlash  kerak.
x.  < a  <
 
. T,
x 2  < P  <
 x3
4)  Argumentning  kritik  qiymati  x - 
hisoblaymiz.
:x ,  da  funksiyaning  qiymatini
kritik  nuqta 
x j
 
dan  o'tishda
kritik  nuqtaning
f ’(x)  hosilaning  ishorasi
xarakteri
X < X j
X = X j
X>X/
+
/ ' ( * , )   =  
0
yoki  uziluvchi
maksimum  nuqtasi

/ ' ( * , )  

o

minimum  nuqtasi
+
/ ' ( * , )  

o
+
funksiya  o‘sadi
/ V , )  = o
-
funksiya  kamayadi
Funksiyani  ekstremumini  ikkinchi  hosila  yordamida  tekshirish.
y =f(x)  funksiyaning  hosilasi  x=x,  nuqtada  nolga  aylanadi,  bundan 
tashqari  f” (x)  mavjud  va  x  nuqtaning  biror  atrofida  uzluksiz  bo'lsin.
Teorema.  / ' ( x , )  = 0  b o isin,  u  vaqtda  / ' ( * , ) < 0   bo‘lsa,  funksiya 
x,  nuqtada  maksimumga  ega  bo'ladi,  / ’’(j:i) > 0   bo‘lsa,  funksiya  x, 
nuqtada  minimumga  ega  bo'ladi.  Agar  kritik  nuqtada  / '( X | )  = 0  boMsa, 
x = x ,  nuqtada  yo  maksimum  yoki  m inimum   bo'lishi  yoki  bo‘lmasligi 
ham  mumkin.
Funksiyaning  eng  k atta  va  eng  kichik  qiymatlari.
1)  funksiyaning  kesmada  hamm a  maksimum  va  minimumlari  topi- 
ladi;
2)  kesmaning  boshi  va  oxirgi  nuqtalarida  funksiyaning  qiymatlari 
aniqlanadi:
f(a);  f(b);
3)  funksiyaning  yuqorida  topilgan  ham m a  qiymatlari  orasidagi  eng 
kattasi  tanlab  olinadi,  ana  shu  qiymat  funksiyaning  berilagan  kesmadagi 
eng  katta  qiymati  bo'ladi.
4.4.  Egri  chiziqning  qavariqligi  va  botiqligi.
Differentsiallanuvchi  /(x)  funksiya  grafigini  qaraymiz.
1 -ta’rif.  Agar  (a,b)  intervalda  egri  chiziqning  hamma  nuqtalari 
uning  har  qanday  urinmasidan  yuqorida  bo‘lsa,  egri  chiziq  qavariqligi 
bilan  pastga  yo‘nalgan,  shu  intervalda  egri  chiziqning  hamma  nuqtalari
181

uning  har  qanday  urinmasidan 
.  pastda  bo'lsa,  egri  chiziq  qavar- 
iqligi  bilan  yuqoriga  yo'nalgan 
deyiladi  (
121
-chizma).
1-teorema.  Agar 
(a;  b)  in- 
tervalning  ham m a  nuqtalarida 
f ( x )   funksiyani  ikkinchi  hosilasi 
manfly  ya’ni  / ’(jc
)<0
  bo‘Isa  shu 
intervalda 
y = f( x )   egri  chiziqn- 
ing  qavariqligi  yuqoriga  qaragan 
b o 'Ia d i  (egri  c h iz iq   qavariq 
bo'ladi).
2-teorema.  Agar 
(b,  c)  intervalning  hamma  nuqtalarida f[x)  funksiyani 
ikkinchi  hosilasi  musbat  ya’ni 
f ’(x
)>0
  bo'lsa  shu  intervalda 
y-f(x)  egri 
chiziqning  qavariqligi  pastga  yo‘nalgan  (botiq)  bo'ladi.  (
121
-chizma).
123-chizma.
2-Ta’rif.  Uzluksiz  egri  chiziq  qavariq  qismini  botiq  qismidan  ajrat- 
gan  nuqta  egri  chiziqning  burilish  nuqtasi  deb  ataladi  (
121
-chizma).
3-teorema.  Egri  chiziq 
y = f ( x )   tenglama  bilan  berilgan  b o ‘lsin. 
Agar 
f { a )  = 0  bo‘lsa  yoki  / ' ( * )   mavjud  bo'lm asa  va  x = a   nuqtadan 
o'tishda 
f ( x )   ning  ishorasi  o'zgarsa,  egri  chiziqning  abssissasi  x —a 
bo'lgan  nuqtasi  burilishi  nuqtasi  bo‘ladi.
4.6  Asimptotalar.  -
Ko‘pincha 
y=f(x)  egri  chiziqning  shaklini  tekshirishga to ‘g‘ri  keladi. 
Buning  uchun  esa  o'zgaruvchi  nuqta  abssissasi  yoki  ordinatasi  bir vaqt- 
da  cheksiz  o ‘sganda  tegishli  funksiyaning  o'zgarish  xarakterini  tek ­
shirishga  to ‘g‘ri  keladi.
Ta’rif.  Agar  egri  chiziqning  nuqtasi  cheksiz  uzoqlashganda  uning 
biror 
I  to ‘g‘ri  chiziqdan  masofasi  s  nolga  intilsa  /  to ‘g‘ri  chiziq  egri 
chiziqning  asimptotasi  deyiladi.
Vertikal  (ordinata  o ‘qiga  parallel)  va  og‘m a  asim ptotalam i  bir-biri- 
dan  farq  qilamiz.
182

Vertikal  asimptota ta ’rifidan,  agar  lim 
f ( x )  =   yoki  l i m / ( * ) - ° °
jf->ö
+0
yoki  lim / ( * )  = °°  bo ‘lsa,  u  holda 
x=a  to ‘g‘ri  chiziq  y=f(x)  egri  chi-
x
 ->a
ziqning  vertikal  asimptotasi  deyiladi.
Dem ak,  vertikal  asim ptotani  topish  uchun  abssissaning  shunday 
x= a  qiymatlarini  topish  kerakki,    shu  sonlarga  yaqinlashganda  y=f(x) 
funksiya  cheksizlikka  intilsin.  Bu  holda 
x=a  to ‘g‘ri  chiziq  berilgan  egri 
chiziqning  vertikal  asimptotasi  b o ‘ladi.
7
Misol. 
 = ------   egri  chiziq  x  = 4  vertikal  asimptotaga  ega,  chunki
x - 4
x - » 4   bo'lganda  y=®  bo'ladi  (123-chizma).
4.7.  O g‘m a  asim ptotalar.
Og‘m a asimptota tenglamasi 
y = k x + b  
■. 
bo'lsin, 
k  va  b  sonlami  aniqlaymiz.  M P
—  M  nuqtadan  asimptotagacha  bo ‘lgan
m asofa 
lim 
MP = 0  Ox  o ‘qqa  og'ish
burchagi 
( p
 
bo'lsa  N M P  uchburchakdan
\4KT _   MP 
It
-  

  o ‘zgarmas  ( —  ga  teng
COS#> 
2
b o ‘lm agan )  b u rch a k   s h u n in g   u c h u n  
lim A/M = 0  (124-chizma).
N M  = ( QM -  QN) = \ y - y \  =
 |/ W  -  (far + ¿>))| 
lim [/(x)-Ax-f>] = 
0
124-chizma.
lim 
x
J->+eO
=  
0
Birinchi  ko‘payiuvchi  x  cheksizlikka  intiladi.Shuning  uchun  ushbu
tenglik  bajarilishi  kerak.

- k - b
-
holda  lim —= 

*-*®x
Demak,  ton
- k

0
 
k =   lim
*-»+* 
x
- 0
  b  o ‘ztarm as  bo‘lgan 
/ ( * )
M isol. 
y -
x - 2
funksiya  grafigini  yasang.
Yechish.  1)  Funksiyaning  aniqlanish  sohasini  topamiz.
183

£>'
0 0
= ( - ° ° ,
2
) U (
2
,+«>).
2)  Berilgan  funksiya  juft  ham ,  toq  ham   davriy  ham   emas.
3) 
x = 0  da   = 0 ,  ya’ni  grafik  koordinatalar  boshidan  o ‘tadi.
4)  Tli m / ( x )  = ±o°  boMgani  uchun 
x = 2  to ‘g‘ri  chiziq  grafigini
vertikal  asimptotasi  bo'ladi.  Endi  quyidagilami  topamiz.
2
k =   lim [ / ( x ) - f c t | =  lim
jr-»±ao x (x _ 2)
=  
1
.
b=  lim f / ( x ) - f c c l =   lim
r
  >hii» 

r _
x
- 2
- x
=  lim —

2

x
- 2
Demak, 
y  = x + 2  to ‘g‘ri  chiziq  funksiyaning  og‘m a  asimptotasi 
b o iad i.
5)  Hosilani  topam iz.
y =
2
x ( x -
2
) - x
2
 
x ( x - 4 )
( x -
2 )2
 
( x -
2
) 2 ’ 
y '  hosila  x = 0  va  x = 4  nuqtalarda  nolga  aylanadi.  x = 2  da 
u zilish g a  ega.  Bu  n u q ta la r  so n   o ‘q in i  4  ta   o raliq q a   ajratadi: 
(-oo;
0
),  (
0
;
2
),  (
2
;4)  va  (
4
;+oo).
H ar  qaysi  oraliqda 
y ' ning 
isho rasin i  tek sh iram iz.  H osila 
>-'(-oo;
0
)  va  (
4
;+oo)  oraliqdagi 
musbat  (fixnksiya o ‘sadi),  (
0
,
2
)  va 
(2,4)  oraliqlarda  manfîy  (funksi­
ya  kam ayadi).  x = 
0
  nuqtadan 
o ‘tishda  hosila  ishorasini  musbat- 
dan manfïyga o'zgartiradi,  yani bu 
nuqta  maksimum  nuqtasidir.
x = 4  nuqtadan  o'tishda  esa 
hosila  ishorasini  manfiydan  mus- 
batga  o ‘zgartiradi,  ya’ni  bu  nuqta 
m inim um   nuqtasidir.
-Vinax  =  - K ° )   =  
y »   =  y ( 4 )   =  8
6

Ikkinchi  tartibli  hosilani 
topam iz.
y   =
(2x - 4 X x - 2 ) 2 -  2(x - 2 X x 2 -  4x) 
8
( x -
2 )4
 
~ ( x
- 2
 Ÿ
184

Ikkinchi  tartibli  hosila  hech  qayerda  nolga  aylanmaydi  va 
x = 2  da 
uzilishga  ega  b o iad i.  ( -
00

2
.)  oraliqda 
y ” < 
0
,  ya’ni  bu  oraliqda  egri 
chiziq  pastga  qavariq.  Burilish  nuqtalari  yo‘q.
7)  Topilganlarga  asosan  funksiya  grafigini  yasaymiz  (ï25-chizm a).
4.8.  Funksiyaning  differensiali
Aytaylik, 
y  = f ( x )  funksiya  \a,b\  kesmada  differensiallanuvchi 
bo'lsin.  Shu  funksiyaning 
[a,b]  kesmaga  tegishli  biror    nuqtasidagi
hosilasi  lim —  = / '( * )   bo'lsin,  A x -» 0   da  nisbat  m a’lum   songa  inti-
A*-»0 
Ax
ladi.  Bundan  ko'rinadiki,  A y -> 0   nisbat 
f \ x )   hosiladan  cheksiz  kichik
Av 
1
miqdorga  farq  qiladi,  ya’ni  —  = / '( * )  + a  buni  ikkala  tom onini  Axga
Ax
ko‘paytirsak
A
y = f ' ( x ) A x  + a A x ;  
(1)
Bunda,  /'( x ) A x ,A x g a   nisbatan  birinchi  tartibli  cheksiz  kichik 
miqdor,  or-Ax, A x g a  nisbatan  yuqori  tartibli  cheksiz  kichik  miqdor, 
chunki
lim 
=  lim  = 
0
.
Demak, 
Ay  orttirma  ikki  qismdan  iborat.  Birinchisi  bosh  qismi, 
/ '( x ) - A x ( / '( x ) * 0 )   ko‘paytma  funksiyaning  differensiali  deyiladi  va  u 
dy  bilan  belgilanadi.
dy = f \ x )  Ax. 
(2)
Bundan  foydalanib  yuqoridagi  ifodani  quyidagicha  yozish  mumkin.
A
y = dy + a A x 
(3)
Funksiyaning  orttirmasi  funksiya  differensialidan  Ax  ga  nisbatan 
yuqori  tartibli  cheksiz  kichik  miqdorga  farq  qiladi.
Agar  / ' ( x ) * 0 bo‘lsa,  u  holda 
a - A x   ko'paytm a  dy  ga  nisbatan 
ham   yuqori  tartibli  cheksiz  kichik  miqdordir.
Ay 
a à x  
. . a
 
lim —  = 
1
 + lim --------- = 
1
 +  lim ------- = 
1

a
\
Air-»0 
¿y
 
A.r->0 
f \ x ) A x
 
A*-»0/'(jc) 
^
Shuning  uchun  taqribiy  hisoblarda 
Ay = dy  deb  olinadi.
Misol. 
y  = x
3
  funksiyaning 
dy  differentsiali va  Ay orttirmasi topilsin.
1)  x  va  Ax  qiymatlarda;  2)  * = 10,  Ax = 0,1  qiymatlarida;
Yechish.  1)  Ay = (x + Ax)
3
- x
3
  = 3 x 2Ax + 3x(Ax
) 2
 + (A x)3.
185

dy = ( x 3)'Ax = 3 x
2
A x .
2
)  agar  x = 
10
,Ax = 
0
,l  bo'lsa,
Ay = 3-10
2
 -0,1 + 3 -1 0 -(0,1
) 2
 +(0,1
)3
  =30,301 
rfy = 3-10
2
-0 ,l = 30.
Ay  ni 
dy  ga  almashtirganda  natija  0,301  ga  farq  qiladi.  Hosilaga 
tegishli  teoremalar  va  form ulalar  differensiallar  uchun  ham   o ‘z  kuchini 
saqlaydi.
Misol. 
y  = ctg
2
x; 
dy = -2ctgx- 
1
 
dx.
J
(h
 
ДУ
№ r
r  
t
в
0
/1
 

Х+ЛХ 
x
sm  X
Differensialning  geometrik  m a’nosi.
y  = f ( x )  funksiya  va  unga  xos  egri 
chiziqni  qaraylik.  Egri  chiziqni  ixtiyoriy 
M ( x ,y )   nuqtasini  olib,  unga  shu  nuqtada 
urinm a  o'tkazaylik,  urinm aning 
Ox  o'qining 
m usbat  yo'nalishi  bilan  hosil  qilgan  bu r- 
chagini 
  bilan  belgilaymiz.  x  ga  Ax 
orttirm a beram iz,  u  holda 
ây-f(x+âx)~f(x) 
b o ‘ladi.  126-chizmada  A
y = M xB\ 
A  nuq- 
ta  
esa 
A(x + Ax ; / ( x  + Ax)) 
yoki
tga = f'(x)\  MB = Ax ;  BA=f( x ) â x   b o 'lg a- 
126-chizma. 
nidan  differensial  ta’rifiga  asosan 
dy= f'(x)Ax.
Shunday  qilib 
BA = dy  (126-chizma).
Bundan  ko'rinadiki, 
f i x )   funksiyaning  x  va  Ax  ning  berilgan 
qiymatlariga  mos  keluvchi  difFerensiali 
y  = f i x )   egri  chiziqqa    nuqta­
da  o'tkazilgan  urinm aning  ordinatasi  orttirmasiga  teng  ekan.
4.9.  Fnnksiyaning  difierensialini  taqribiy  hisoblashlarga  tatbiqi.
Oldingi  mavzudagi  (3),  (4)  formulalaiga  asosan  taqribiy  hisoblash- 
larda
/ ( x  + A x ) - / ( x ) « / '( x ) A x  
(
1
)
tenglikdan  foydalaniladi.  (
1
)  formulani  quyidagicha  yozamiz.
f ( x  + Ax) «  f i x )  + /  '(x) A x. 
(2)
186

l-m isol. 
4,325  ni  hisoblang.
Yechish.  (2)-fonnuladan  foydalanamiz.
V4,325  «  V4 + - ! =  • (4,325 -  4) = 2 + 
0,325
= 2 + 0,081 = 2,081.
2-\/4 

4
2
-misol.  cos48°ni  hisoblang.
Yechish.  / (
jc
) = 
cosji
:  bo'lsin,  u  holda  / '( x )  = - s i n x   (2)  formulaga
n
asosan  cos(;t + A x )« c o s;c -sin jcA x . 
x  = —  deb  olamiz.

OO 
^
 
*5 
1
  A 
^
Ax = 3  = ----- 3  • 
jc
 + A
x
 = — + —   •
180 

180
f
 _  
'\
cos 48°  = cos
= 0,7071 + 0,7071 • 0,052 = 0,7071 + 0,03 7 = 0,7441.
7t 
3jT 
.  7t
 
V
2
 
V
2
  3?T
cos-----------sm —= -------------------

180 



180
0 ‘z-o‘zini 
tekshirish  uchun  savollar.
1.  Kesmada  o‘suvchi  va  kamayuvchi  funksiya  ta’rifini  izohlab  bering.
2.  Funksiyaning  o‘suvchi  va  kamayuvchi  bo‘lishining  zaruriy  va  yetarlik 
shartlarini  isbotlab  bering.
3.  Funksiyaning  ekstremum  nuqtalarini,  funksiyaning  ekstremal  qiymat- 
larini  ta’riflang.
4.  Ekstremumning  zaruriy  va  yetarlik  shartlarini  isbotlang.
i. 
y = f( x )   funksiya  grafigining  qavariqlik  va  botiqlik  ta’rifini  hamda  bur- 
ilish  nuqtalarini  ta’riflab  bering.
6.  y =f ( x )   funksiya  grafigining  qavariqli  va  botiqli  intervallari  va  burilish 
nuqtalari  qanday  topiladi?
7.
 -Vertikal  va  og'ma  asimptotalaming  mayjudlik  sharti  qanday  va  ular 
qanday  topiladi?
8.  Funksiyani  umumiy tekshirish va grafigini yasash sxemasini  bayon qiling.
9.  Funksiya  differensiali  deb  nimaga  aytiladi?
10.  Funksiyaning  differensiali  uning  hosilasi  orqali  qanday  ifodalanadi?
11.  Funksiya  differensialining  geometrik  ma’nosi  nimadan  iborat?
12.  Qanday  funksiyalar  uchun  differensial  aynan  orttirmaga  teng  bo'ladi?
187
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling