Farxod rajabov


Download 6.24 Mb.
Pdf ko'rish
bet23/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   29

Teorema.  Agar 
y ' - f ( x , y )   tenglamada   = f ( x )   funksiya  va  un-
yoki
1.3.  Birinchi  tartibli  differensial  tenglamalar.
222

df'
dan  y  bo'yicha  olingan  ~   xususiy hosila 
xOy  tekislikdagi  nuqtani  o ‘z 
ichiga  oluvchi  biror  sohada  uzluksiz  funksiyalar  bo‘lsa,u  holda  berilgan 
tenglamaning 
x  = x
0
  bo'lganda 
y  = y
0
  shartni  qanoatlantiruvchi birgina
yechimi  mavjuddir. 
x = x
0
  bo'lganda  y  funksiya  berilgan 
x
0
  songa  teng 
bo'lishi  kerak degan shart  boshlang‘ich shart  deyiladi.  Bu shart  ko'pincha
y x=Ia  = yo  ko'rinishda  yoziladi.
1-ta’rif. 
y ' = f ( x , y )   tenglamaning  boshlang‘ich  shartni  qanoat­
lantiruvchi  yechimini  topish  masalasi  Koshi  masalasi  deyiladi.
2-ta’rif.  Birinchi  tartibli  difFerensial  tenglamaning  um umiy  yechimi 
deb  qo‘yilgan  shartlam i  qanoatlantiruvchi 
y  = 
  funksiyaga  ayti- 
ladi:  bunda 
- c   ixtiyoriy  o'zgarmas  son.
a)  bu  funksiya 
c  o'zgarmas  m iqdoming  har  qanday  konkret  qiy- 
m atida  ham   differensial  tenglamani  qanoatlantiradi;
b) 
x = x
0
 bo'lganda 
y  = y
0
  boshlang'ich  shart  har  qanday  bo'lganda 
ham ,  ixtiyoriy  o'zgarmas 
c  ning  shunday  c
0
  qiymatini  topish  m um - 
kinki 
y  = 
  funksiya boshlang'ich  shartni  qanoatlanlantiradi,  ya’ni 
y
0
 =
0
,c0).
Biz  differensial  tenglamaning  um umiy  yechimini  izlashda  ko‘pincha 
y  ga  nisbatan  yechilmagan  F (x,y,c) = 0  ko'rinishidagi  munosabatga 
duch  kelamiz.
U m um iy  yechim ni  oshkorm as  holda  ifodalovchi 
F (x,y,c) = 0 
ko'rinishidagi  tenglik  differensial  tenglamaning  umumiy  integrali  deyiladi.
3-ta’rif.  Ixtiyoriy 
c  o ‘zgarmas  miqdorga  m a’lum   c = c
0
  qiymat 
berish  natijasida 
y-
  umumiy  yechimdan  hosil  bo'ladigan  har 
qanday  funksiya  xususiy  yechim  deb  ataladi.  Bu  holda 
F ( x ,y ,c 0) = 0 
m unosabat  tenglamaning  xususiy  integrali  deyiladi.
Um um iy  integral  geometrik  nuqtayi  nazardan  koordinatalar  tekis- 
ligida  bir  ixtiyoriy  o'zgarmas  c  miqdorga  bog'liq  bo'lgan  egri  diiziqlar 
oilasini  ifodalaydi.  Bu  egri  chiziqlar  berilgan  differensial  tenglamaning 
integral  egri  chiziqlari  deyiladi.  Xususiy  integralga  bu  oilaning tekislikda 
berilgan  biror  nuqta  orqali  o'tuvchi  bitta  egri  chizig'i  mos  keladi.
Tenglam aiiing  yechimi  deb,  faqat  tenglam ani  qanoatlantiruvchi 
y  = 
  funksiyanigina tushunmasdan,  balki  unga  mos  integral  egri 
chiziqni  ham   tushunish  kerak.
D ifferensial  ten g la m a larn i  y echishning  yagona  u suli  m avjud 
bo'lmaganligidan  differensial  tenglamalaming  ayrim  turlarini  va  ular- 
ning  yechimlarini  topish  usullarini  qaraymiz.
223

1.  Eng  sodda  birinchi  tartibli  differensial  tenglam a  quyidagi 
ko'rinishda  bo'lib,  bunga  o'zgaruvchalari  ajralgan  differensial  tenglam a 
deyiladi.
Mdx + Ndy = 0. 
(1)
Bu  tenglam aning  um umiy  integralini  hadlab  integrallash  orqali
topamiz: 
^Mcbc +  jN dy = c.
M isol. 
xdx + ydy = 0  tenglamaning  umumiy  yechimi  topilsin.
Yechish. 
xdx + ydy -  0  tenglama  o ‘zgaruvchilari  ajralgan  birinchi 
tartibli differensial tenglama.  Uni  integrallab,  umumiy  integralni topamiz:
x
2
 
2
jxdx +  jy d y = 
0
;  — + 
= c  ; 
2
c  = 
c
2
  deb  belgilab, 
x
2
 + y
2
= c
2 
ga  ega  bo'lamiz.
Bu  markazi  koordinatalar  boshida,  radiusi 
c  ga  teng  bo'lgan  kon- 
sentrik  aylanalar  oilasidan  iborat.
2
.
M, (x) x TV, 
(y)dx + M
2
 (x) x N
2
 (y)dy =0; 
(2)
(3)
ax
ko‘rinishidagi  tenglam alar  ham   o'zgaruvchilari  ajraladigan  tenglamalar 
deyiladi.
(2)  tenglamani 
M i( x ) - N i( y ) * 0   ga bo'lib,  uni  o'zgaruvchilari  ajral­
gan  tenglamaga  keltiramiz.
M,(x) 
N,(y)
Buni  integrallab,  um umiy  integralni  topam iz.  (3)—ko'rinishidagi 
tenglamani  o'ziga  xos  tom oni,  tenglamaning  o ‘ng  tomoni  har  b in   bitta 
  yoki    o'zgaruvchiga  bog'liq  bo'lgan  ko'paytuvchilaiga  ajralgan.
(3)  —  tenglamani  quyidagi  ko‘rinishda  yozamiz:
dy = M x ) * f
2
{y)dx\
bundan  / , ( * ) *  
0
  deb  quyidagi  ko‘rinishdagi  tenglamaga  ega  bo‘lamiz.
tfy
j. ^  j  = f \  (x ) d x .  Bu  ifodani  integrallab,  umumiy  integralini  topamiz.
S j ^ d y = \ f ^ d x + c -
1.4.  0 ‘zgaruvchilari  ajralgan  va  ajraladigan  tenglamalar.
224

Misol. 
y ' - x y 2  tenglamaning  umumiy  integrali  topilsin.
Yechish. 
y '  ni  —   ga  almashtiramiz;
ax
dy 
2
~— = xy  ;  bundan  dy = x y 2dx  y *  
0
  deb  quyidagmi  hosil  qilamiz; 
dx
dy 
j
—-  = xax;  buni  integrallaymiz;
y
edy 


x 2
I
- 7
 -   \xdx;  —  = — + c  bundan
Jy 

y
 
2

.
y  
= — r  + 
2
c
; 2
c.  ni  c  deb  belgilasak,  umumiy  integral  quyidagi 
x
ko'rinishni  oladi.
2
1.5.  Birinchi  tartibli  bir  jinsli  tenglamalar.
1-ta’rif.  Agar 
M  ning  har qanday  qiymatida  / (/ux,ß y )  = ß nf ( x , y )  
ayniyat  to ‘g‘ri  bo‘Isa, 
f ( x , y )   funksiya    va    o'zgaruvchilaiga  nis- 
batan 
n -  o'lchovli  bir  jinsli  funksiya  deb  ataladi.
1
-misol.  / (x, 
y ) = yjx2 - y
2
  funksiya  bir o'lchovli  bir jinsli  funksiya 
f ( n x ,   ß y )  = ^l(ßx
) 1
 ~ ( ß y
) 2
  = ß y jx
2
- y
2
  = ß f ( x , y ) .
2-misol. 
f ( x , y )  = x
2
- y
2
- y *   funksiya  to 'rt  o ‘lchovli  bir  jinsli 
funksiya
f  (MX,My) = (MX)2(My)2-(Mx)A =M*(x2y 2
 “ / ) •
x
2
+ y
2
3-misol. 
f ( x ,   y ) = ---------   funksiya  nol  o'lchovli  bir jinsli  funksiya.
xy
2 -ta ’rif.  Agar  birinchi  tartibli  differensial  tenglamada  ya’ni
X  
= f(x>y)> 
(4)
dx
da 
f ( x ,   y )   funksiya    va 
y
 
ga  nisbatan  nol  o'lchovli  bir  jinsli 
funksiya  bo 'lsa,  (4)  o ‘zgaruvchilarga  nisbatan  b ir  jinsli  tenglam a 
deyiladi.
Bir  jinsli  tenglamani  yechish.
Agar  tenglamaning  o ‘ng  tom onida  / (x, 
y )  funksiya  nol  o ‘lchovli
225


y
bir jinsli  funksiya  b o ‘lsa,  unda 
ß  = —  desak  f ( x , ÿ )  = f (  
1
,  —)  ga  ega
X  
X
bo'lam iz.  Bu  holda  (4)  tenglama
f = / 0 . z ) ; 
(4 ')
dx 
x
ko'rinishda  b o ‘ladi.
y
0
‘zgaruvchilami  almashtiramiz. 
z  = —  yoki  y  = z x ,   u  holda,
X
dy 
dz

 =  Z  + — X ;  
dx 
dx
Hosilaning  ifodasini  (4 ')  ga  qo'ysak  o ‘zgaruvchilarga  ajraladigan 
dz 
r
z  + x —  = / (
1

z)  tenglama  hosil  bo‘ladi. 
0
‘zgaruvchilami  ajratib  yo- 
dx 
zamiz:
dz 
dz 
dx
x -  = f ( \ , z ) - z   yoki 
7
^ —;—  = — . 
dx 
/ ( l , r ) - z  
X
Buni  integrallaymiz.
f----- —----- =   f—  
c 
yokj 
In 
IjcI =   f  ------ —----- 
c.
> f ( \ , z ) - z  
* x  
y0lü 
1
 
1
 

f ( l , z ) - z
y
Integrallagandan  keyin  z  o ‘m iga  —  nisbatni  qo'ysak  (4 ')  tengla-
X
m aning  um umiy  integrali  hosil  bo'Iadi. 
dy 
xy
Misol: 
x ¡ 
+ ^2
  tenglamani  umumiy  integralini  toping.
Yechish. 
y - z x   almashtirishni  bajaramiz. 
dy 
dz
~ r ~ z + ~ x ,  buni yuqoridagi tenglamaga qo‘yamiz.  U  holda tenglama 
dx 
dx
( \ - z 2)dz 
dx
yoki
3
Z
ko'rinishga  keladi.
Tenglam ani  integrallaymiz
в - ; ) * - *
*  + ln|zl = ln|.r| + In|c|.
2 z 2
226

cx2
y
 ni  o'm iga  z = —  ni  qo'yib,  berilgan  tenglamani  umumiy  echimini 
x
topamiz.
i
— r  = ln 
2
/
1.6.  Bir  jinsli  tenglamaga  keltiriladigan  tenglamalar
Quyidagi
dy _  ax + by + c
dx 
a^x + b ^  + c ^  
^
ko'rinishdagi  tenglam a  bir jinsli  tenglamaga  keltiriladi.  Agar 
c = c,  = 0 
bo‘lsa,  (5)  tenglam a  bir jinsli  tenglama.  Endi 
c  va  c,  (yoki  bulardan 
bittasi)  noldan  farqli  bo'lsin.
0
‘zgaruvchilami  almashtiramiz. 
x  = x,  + h,  y  = y t + k 
u  holda
dy _ d y t
dx 
dxl ’ 
^
dy
x,  y   va  —   lam ing  ifodalarini  (5)  tenglamaga  qo'ysak 
dx
dy. 
ax.+by.+ah + bk + c
-  i- = —
  —
 ■— 
1
 
—  —
 
• 
Cl\
dxt 
atx t  +bty t + aji + byk + c ^  
'  
'
h  va  k  ni
[ah + bk + c = 
0
;
\P\h + bxk  + q   = 
0

^
tenglamalar  o ‘rinli  bo'ladigan  qilib  tanlaymiz.  Bu  shartda  (3)  tenglam a
dy | 
axi+by, 
dx | 
a ^ x ^ + b j^  
bir  jinsli  tenglamaga  aylanadi.
Bu  tenglamani  yechib,  so‘ngra  (
6
)  formulaga  ko‘ra 
x  va    larga 
o'tsak  (5)  tenglamaning  yechimini  hosil  qilamiz.
Agar 
ab} 
= 0  b o ‘lsa  (
8
)  sistemani  yechimi  yo‘q.  Ammo  bu 
a. 
b.
holda  — = — ,y a ’ni 
a,  -  ua\  b.  -  ab  desak  (5)—tenglama: 
a b
dy 
(ax + by) + c
— = -------------------; 
rcn
dx 
jj(ax + by) + c
'  

ko'rinishga  keladi.
227

z  = ax + by; 
(
10
)
almashtirish yordamida tenglama  o‘zgaruvchilarga ajraladigan tenglamaga 
keltiriladi,  ya’ni:
dz 
,  dy 
dy 
1  dz 
a
—  
= a + b — ;  —  = 
------ ; 
(
11
)
dx 
dx 
dx 
b  dx 
b
(9)  tenglamaga  (10)  va  (11)  ifodalami  qo'ysak:
1  dz 
a _ z  + c 
b  dx 

Az + ct ’
tenglamani  hosil  qilamiz.
Bu  esa  o'zgaruvchilarga  ajraladigan  tenglam a  (5)  ni  integrallashga 
o'xshash  holda  tubandagi  tenglam ani  integrallaymiz.
B u n d an :
* = b
dx
ax + by + c
a lx + biy  + c l
dy 
2x 

y  -  3
M isol.  ~  = 
x _ 
2
 _ 
4
  tenglam aning  umumiy  integralini  toping.
Yechish.  Buni  bir jinsli  tenglamaga  keltirish  uchun  o'zgaruvchilami 
almashtiramiz.  
x{  + h; y  y {  + k.
dy 
2xl + y l +2h + k — 3  j 2 h + k —3 = 0
dx~  xx-  2 y {  + h - 2 k ~ 4   \ h - 2 k - 4  = Q  h = 2,  k = ~ L
1 - 2  

dx. 
-du = — L; 
x
.
.
2
x i + y t 
u = Z l
dx, 
jc

-  2y,  ’ 
x , ;  y \ ~ ux\’ 
2 ( 1  

m
2)

arctgu- — ln|l + i/2| = ln(x,) + ln|c|;  arctg« = 
2
 ln 
cxJ l  + u
2
r
 
7
 
-arcigu
cx,V 1 +  m  - e -  
;
bu  yerda 
u  o ‘miga 
ni  qo'yib:
IjOTCtg^- 
x \
  *
C y ß f + y i   = e
'  
ni  hosil  qilamiz.
Nihoyat 
  va  y  o'zgaruvchilarga  o ‘tib,  natijada
/------------------------------------ 

orcrv
 •V+1
c J ( x -
2 )2
 + (y + 
\)2
  = e
2
 
x
-2
  umumiy  integralni  hosil  qilamiz.
228

T a ’rif.  N om a’lum  funksiya  va  uning  hosilasiga  nisbatan  chiziqli 
bo'lgan  quyidagi  tenglamaga  birinchi  tartibli  chiziqli  tenglama  deyiladi.
^  + P ( x ) y  = Q(x)-7 
(12)
dx
bunda  P(x)  va  Q(x)  lar    ning  berilgan  uzluksiz  funksiyalari  (yoki 
o ‘zgarmas  sonlar).  (12)  chiziqli  tenglamaning  yechimini  ikki  funksiya 
ko‘paytmasi  shaklida  izlaymiz.  y  = u(x)  9 ( x ) ;
y   = ( u x 9 )   =u  9  + u9   ; 
(13)
yoki
1.7.  Birinchi  tartibli  chiziqli  tenglamalar.
buni  (12)  ga  qo'yamiz. 
yoki

du  n 
dS
y   - — 9  + — u;
dx 
dx
du 
dS
S
------ 1-------
u
  +  
p u &   =  Q;
dx 
dx
dx 
dx
Endi    ni  shunday  tanlaymizki,
,d9 
n du
w(—  + p 9 )  + 9 —  = Q; 
(14)
dx
tenglama  o'rinli  bo'lsin.
dS
—  + p 9  = 0; 
(15)
d S  
A
-
 = -pdx-,
- ln |c ,| + ln|i9| = - J  pdx\
yoki
& = c , e Spix.
(15)  tenglamaning  noldan  farqli  biror  yechimini  topish  yetarlik 
bo'lgani  uchun
5 W  = e - ,'", ; 
(16)
deb  olamiz.
Bu  topilgan    ni  qiymatini  (14)  ga  qo'yib  hosil  bo‘lgan  tenglamani 
yechamiz:
229


’   ^ \ Л /  .   “  
» 
л /   \ 
у
dx 
dx 
dx 
9(x)
tenglamani  hosil  qilamiz.  Bu  tenglamani  yechamiz: 
u=   fë -^ - d x  + c;  и
J 5 ( x )
va 
3
  ni  qiym atini  (13)  ga  qo'ysak
у = а д
Q(x)
Six)
dx + c
yoki 
y  = $ ( x ) j ^ ^ d x  + cS(x); 
(
17
)
hosil  bo'ladi.  Bu  berilgan  tenglamaning  umumiy  yechimi.
M isol. 
y ' + >w = sin x   tenglamani  eching.
Yechish.  Berilgan  tenglam a  chiziqli.  Bu  tenglam ani  yechish  uchun, 
yechimni 
y  = u - v   ko'rinishda  izlaymiz.  Agar  y ~ u v   bo'lsa,  u  holda 
y ’ = u'v + uv’  bo'lib  berilgan  tenglama  quyidagi  ko'rinishni  oladi.
u'v + uv'+ uvx = sinx  yoki  (u '+ ux)v + uv' = s in x  
(a)
Bu  erda  u  funksiyani
и' + га = 
0

(b)
tenglik  o'rinli  boMadigan  qilib  tanlaymiz.  U  holda  (a)  tenglam a  quy­
idagi  ko'rinishga  ega  b o ‘ladi:
uv' = sin x; 
(d)
(b)  tenglam ani  echamiz.
du 
du 
,
—  = 
-их; 
—  = 
- x d с; 
dx 
и
í—  = 
*-xdx;  ln w = — ——; 
и 
?
u = e
(bu  yechim 
c -  
0
  bo'lgan  holga  mos  xususiy  yechim   hisoblanadi)
—  
-J- d v
u = e 
2
  ni  (d)  tenglamaga  olib  borib  qo'ysak 

2
  —  = sin x   ga  ega
dx
bo‘ladi.
Bundan
А 
Л
esa 
dv = e
2
sinxdx,  v = c+  je 
2
  sinxdx.
Dem ak 
y  = uv = e 
2
■T 
J *  
.T* 
JT
je 
2
  sin
xdx + c  =ce 
2
 
+e 
2
  je  
2
  sin
xdx.

0 ‘z -o ‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Q anday  tenglam a  difTerensial  tenglam a  deyiladi?
2.  DifTerensial  tenglam a  tartibi  deganda  n im ani  tushunasiz?
3.  DifTerensial  ten g lam an i  u m u m iy   va  xususiy  y ec h im lari  deb  qanday 
yechim larga  aytiladi?
4.  B irinchi  tartibli  difTerensial  tenglam a  y echim i  m avjudligi  va  yagonaligi 
to'g'risidagi  te o re m an i  ifodalang.
5.  U m um iy  va  xususiy  yechim larni  g eom etrik  nuqtayi  n az ard an   talqin  qilib 
bering.
6.  Birinchi  tartib li  difTerensial  tenglam alarni  yechish  usullarini  ko'rsating:
a)  o'zgaruvchilarga  ajralgan  va  ajraladigan  te n g lam ala r  u ch u n ;
b)  chiziqli  te n g lam alar  uchun;
d)  bir  jinsli  ten g lam alar  uchun.
2 - § .  Ikkinchi  tartibli  chiziqli  difTerensial  tenglam alar
2.1. 
Ikkinchi  tartibli  chiziqli  difTerensial  tenglamalarni  yechish 
metodlari.  Ikkinchi  tartibli  chiziqli  difTerensial  tenglama  uchun  Koshi
masalasi.
Tubandagi  ko‘rinishdagi  tenglamaga  ikkinchi  tartibli  chiziqli  difTe­
rensial  tenglama  deyiladi.
y ” + P(x)y' + q( x) y  = f ( x ) .  
(1)
Ikkinchi  tartibli  chiziqli  difTerensial  tenglam ani  birinchi  tartibli 
difTerensial  tenglam ani  umumiy  yechimini  ko'rsatgandek,  umumiy 
yechimini  ko‘rsatib  boMmaydi.  Shuning  uchun  ikkinchi  tartibli  ch i­
ziqli  difTerensial  tenglamani  tatbiq  uchun  zarur  hisoblangan  xususiy 
hollarini  ko‘rib  o ‘tam iz.  Jum ladan,  o ‘zgarmas  koeffitsientli  ikkinchi 
tartibli  chiziqli  difTerensial  tenglam ani  qaraym iz.  U ning  umumiy 
ko'rinishi  tubandagicha:
y" + Py  + qy = f ( x ) ;  
(2)
bu  yerda  p,  q—lar  o ‘zgarmas  kattaliklar.
Agar  / ( x ) * 0   bo‘lsa  (2)  tenglama  ikkinchi  tartibli  bir  jinslimas 
chiziqli  difTerensial  tenglama  deyiladi.
Agar  / ( x )  = 0  bo‘lsa,  bir  jinsli  chiziqli  tenglam a  deyiladi.
y" + Py' + qy = 0; 
(3)
(2)  va  (3)  difTerensial  tenglamalarni  yechishni  o ‘rganishdan  oldin 
chiziqli  bog'liq  hamda  chiziqli  bog'liq  bo'lm agan  (erkli)  funksiyalar 
tushunchasi  bilan  tanishamiz.
y,(;c)  va  >■-,(.*)  funksiyalar  [a,b]  kesmada  berilgan  bo ‘lsin.  Agar 
shunday  o ‘zgarmas  a ,  va  a 2  sonlar  uchun  (ulardan  hech  bo ‘lmaganda 
bittasi  noldan  farqli).
231

- * a :
a ly l(x) + a
2
y
2
(x) = 0; 
(4)
ayniyat  o'rinli  bo'lsa,  u  holda  j>,(x)  va 
y
2
(x)  funksiyalar  chiziqli 
bog'liq  funksiyalar  deyiladi.
Agar  (4)  ayniyat  faqat 
a l = a 2 =0  bo'lganda  o ‘rinli  bo‘Isa,  u  holda 
^ ,(x )  va 
y
2
(x)  funksiyalar  chiziqli  bog'liq  bo‘lmagan  erkli  funksiyalar 
deyiladi.
Boshqacha  aytganda,  ikkita  .y,(x)  va 
y
2
(x)  funksiyalar    ^
ya’ni  ulaming  nisbati  o'zgarm as  songa  teng  bo‘lmaganda  chiziqli  erkli 
bo‘ladi.
Misol. 
(x) = sinx, 
y
2
(x) = co s  funksiyalar chiziqli  erkli  funksiyalar
b o 'la d i,  ch u n k i  a , - s i n x  + a 2 cosx = 
0
  ayniyat  faqat 
a l = a
2 =0 
bo'lgandagina  o'rinli  bo'Iadi.
Agar  j ,( x )   va  ,y
2
(x)  funksiyalar  chiziqli  erkli  funksiyalar  bo‘lsa, 
ulardan  hech  b in   aynan  nolga  teng  bo'lmaydi.
Endi  (2)  va  (3)  difTerensial  tenglamalarni  yechish  bilan  shugulla- 
namiz.  Dastlab:
y" + P(x)y' + q(x)y = 0; 
(3)
ikkinchi  tartibli  bir  jinsli  chiziqli  difTerensial  tenglamani  qaraymiz.
1-teorem a.  Agar 
y x (x)  va  ,y
2
(x)  funksiyalar (3)  tenglamaning  chiz­
iqli  erkli  xususiy  yechimlari  bo ‘lsa,u  holda  (3)  tenglamaning  umumiy 
yechimi
y(x) = cxy x(x) + c
2
y 2(x
(4)
bo‘ladi,  bunda  c ,,c
2
 -ix tiy o riy   o ’zgarmas  sonlar.
Isboti. 
va 
y
2
 (x)  (3)  tenglamaning  xususiy  yechimlari  bo'lsa,
u  holda  bu  funksiyalar  (3)  tenglam ani  qanoatlantiradi.
y lix )  + P(x) ■ y\ (x) + q (x) •>'i (x) = 0.
y"
2
(x) + P(x) ■ y'2(x) + q(x) ■ y
2
(x) = 0. 
(5)
Tubandagi 
cly l(x) + c
2
y
2
(x)  funksiya  ham   (3)  tenglamaning  yechi­
mi  bo'Iadi.  H aqiqatan  ham,  bu  funksiya  ham da  uning  hosilalari: 
y\ (*) = [c,*, 
(x)+c2y 2 (x)~\
  = 
c{y ‘
j  
(x) + 
c2y'2
 (x);


Download 6.24 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling