Farxod rajabov


tekshirish  uchun  savollar


Download 6.24 Mb.
Pdf ko'rish
bet5/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29

tekshirish 
uchun 
savollar.
1.  Kompleks  sonlar  bilan  haqiqiy  sonlar  to'plamining  farqi  nimada?
2.  Kompleks  sonni  moduli  va  argumenti  deganda  nimani  tushunasiz.
8 -§ .  Kompleks  sonlar  ustida  amallar
8.1.  Qo‘shish.
z x = a } +b ti
  va  z,  = o
2
+
6
2/  kompleks  sonlaming  yig'indisi  deb, 
z\ + Z
2
 = (a\ + ai)
 + (èi + 
bi)i
  tenglik  bilan  aniqlanuvchi  songa  aytiladi. 
Geometrik  nuqtayi  nazardan  kompleks  sonlami  qo'shish  vektorlami 
qo'shish  qoidasiga  asoslanadi  (
22
-chizma).
Misol.
  z,  = 3 + 4/ 
va
  z,  =4 - 3 /  
kompleks  sonlami yig'indisini  toping. 
z , + z ,   =(3 + 4‘/) + (4 -3 /) = (3 + 4) + /(4 -3 ) = 7 + /.
34

8.2.  Ayirish.
z,  =C7,  + />,/'  va  z, 
~ a
,  + 6 , /   kompleks  sonlarni  ayirmasi  deb,  shun- 
day  kompleks  songa  aytiladiki,  unga  ayriluvchi  kompleks  sonni  q o ‘shganda 
kamayuvchi  kompleks  son  hosil  b o ‘ladi.
r,  -  z,  = 
( a t
  + 
b ti
) + 
( a
2
  + 
b
2
i)
 = 
( a t  - a 2) +
 /'(/>, 
-  b
2).
Ikkita  kompleks  son  ayirmasini  moduli  shu  sonlarni  kompleks  sonlar 
tekisligida  tasvirlovchi  nuqtalar  orasidagi  masofaga  teng  (23-chizma).
Misol. 
= 6  + 5/  va  z,  = 4 - 2 /   kompleks  sonlarni  ayirmasini  toping, 
z,  - z ;  = (6 + 5/r) -  (4 -  2/) = (6 -  4) + /(5 + 2) = 2 + 7/.
8.3.  Kompleks  sonlarni  ko‘paytirish.
¿,= < 7 ,+ /),/ 
va
  z^  = a„  + 
b j
 kompleks  sonlam ing  ko'paytmasi  deb, 
i 2 = - \
  ekanligini  hisobga  oigan  holda  kompleks  sonlarni  ko'paytmasi 
ikkita  ko‘phad  ko ‘paytmasi  shaklida  ko‘paytirishdan  hosil  b o ‘lgan  k o m ­
pleks  songa  aytiladi.
z\- Z
2
 =  (a\- a i ~  b\-
 ¿ 2) + 
(a¡bi  ~ aib\)i-
z,  v a z ,   kompleks  sonlar  trigonometrik  ko ‘rinishda  berilgan  b o ‘lsa 
ya’ni 
z\
  = /-|(c o s^l + / s i n ^ )   va 
zz
 = 
r
2
(c o s (p
2
 + / s i n


  u  holda  ularning 
ko'paytmasi 
z \ - z \   = r\-n(S-os{(p]  +(p.,) +i s\ n{cpy + ( p 2) )
  bo'ladi.
Misol.  Z] 
=3(cos 
— + /
sin 
—) 
va 
z^ = 
V 2 (c o s— 

/sin 
—) 
kompleks 


'  ' 

4
sonlarni  ko‘paytmasini  toping.
Yechish.
= 3 ^ 2
8.4.  Kompleks  sonlarni  bo‘lish.
Kompleks  sonlarni  b o ‘lish  amali  ko'paytirish  amaliga  teskari  amal 
sifatida  aniqlanadi.  Boshqacha  aytganda  z - z ,   = z ,   b o ‘lsa,  z  soni 
z\  = x\ + iV\
  ning 
z z
= -V"1 + 
i y  
1
  kompleks  songa  bo'linmasi  deyiladi.
_   zí
-  ~ 
b o ‘linmani  topish  uchun  kasrni  surat  va  maxrajim 
z i
  ni
z 2
qo'shmasi 
I 2
 
ga  ko‘paytiramiz.
___ Z T Z
2 
A'iA
'2  

y,y-, 
. x z y \ ~ x \ y ^

-
 
bundan  z ~ 

f ^  + / 

7
^ '  
z - ‘   
2 
xz\  + 
y : 
x l  
+   y 2
Agar  kompleks  sonlar  trigonometrik  ko ‘rinishda  berilgan  b o i s a ,
ya’ni 
z\
  = /•licosip, + / s i n ^ ,)   va 
zz  = rz(co$(p
2
 +i s mcp^)
  u  holda
Z, 
n (cos tp, + f sin 
r \ r, 
,
 
,
— = — ------------—-------  = — [ ( c o s ^ ,  - +
 /sm(
Z2 
}-2\Z
0
S(P -
 +   / S i n  
(p-,) 
f'2
Shunday  qilib,  kompleks  sonlarni  b o iis h d a   b o ’linuvchining  moduli
35
n  
7t 
.  .  [  7T 
7t
c o s  I  — +  —  +  / s in   — +  — 


J
 
I  4 
4
3V2 í  COSy + /sin Y   I = 3 \/2 /.

Misol. 
z\ = ^ 3 + i
  ni 
z i
 = -3  + 3/  ga 
a)  algebraik,  b)  trigonometrik  ko'rinishda  boiing.
Yechish.
z,  _  V3 + /   _ (V J + /)(—3 - 3Q 
3[(1 - V3) - (73  + 1)/]  _
a)  Z2 
-3 + 3/ 
(V3 + /)( -3 - 3 /)  
18
_ 0 - % / 3 ) - ( V 3 + i ) / _ 
1
- V
3
 
73 + 1..

6
 
6
 
* ’
b)  zi = -v/3+/ = 2(cos— + /sin—);  Z
2
 = -3 + 3/ = 3%/2(cos—  + / sin— );



4
71 
.  . 
71
2
cos —+ /sin — 


c
7i 
^  
^  


.ÍT 
J Í T . 
,  • 
,7t
 
j^ T . -
—   = ----------------?------------- =  - 7 = [ C 0 S ( -  -  — )  +  / S i n ( -  -  — )] =
z „ 
TZ 
Stt 

S7t 
2
J
2
 



4
3>/2(cos—  + /sm — ) 
^

4
2  r 

13a- , 
.  .  , 
1 3 ^ -., 


13a- 
.  . 
13a-,
= —j=Tcos(------ ) + /sin(------ )] = —r=(cos------ /sin----- ) =
3 V 2 

12 
3>/2 
12 
12
2
  ^[cos(;r + —) - /sin(;r + —)] = —^W -co s— + / sin—) =
bo‘luvchining  moduliga  bo'linadi,  argumentlari  esa  ayriladi.
" 3>/2l 

12'  ‘ J“ 1V^ 1 2 ^ " 37 i V ---- 12 
‘ “ “ 12"


7t

,  1
=   — 7= ■ [ -  COS(—  -  - )  +   I S in (—  -  — )]  =
3v2 



4

;r 
n  
.  n  . 
71
. . . .   n  
71 
7t 
.  7t
—;= • [(- cos—• cos —  sin—sin —) + /(sin — • cos— cos—• sin —)] =
3v2 
3
4
3
4
 
3
4
 
3
4

1  V2 
VJ  V 2 , 
. , £   &  
1  >/2 .- 
1 -V 3  
V 3 + 1 .
---/=[(------------------------) + 
l(----------------------)] = --------------------- 1.

y/2 
2  2 




2  2
 

6
8.5.  Darajaga  ko‘tarish.
Kompleks  sonlarni  ko‘paytirish  qoidasidan  darajaga  ko‘tarish  qoida- 
si  kelib  chiqadi.
z = r(cos
)  kompleks  son  uchun  «-natu ral  son  bo'lganda 
z" = f  "(cos ncp + / sin n(p).  Bu  formulani  Muavr formulasi  deyiladi.  Muavr 
formulasini  tadbiq  qilishda  / 4*=1;  / 4*+l= /;  / 4*+2= —1;  / 4i+3  = - /   bo‘Iishini 
e’tiborga  olishimiz  kerak.
Misol.
 
(-1
 + 
/)4
 
ni  hisoblang.

z*  = ( - l  + i)*  = (>/2 )  ' ^ cos~ ~ + '’sin—  j   =
= 4^cos4 • 
+ /sin 4 • 
= 4(cos3;r + /sin3;r) = 4 ( - l  + oi) = - 4  + oi.
8.6.  Kompleks  sondan  ildiz  chiqarish.
Udiz  chiqarish  amali  darajaga  ko‘tarish  amaliga  teskari  amal.  Kom­
pleks  sonning  
  darajali  ildiz  ¡fe  deb,  shunday  z * —  kompleks 
songa  aytiladiki,  z*   ning 
n —  darajasi    soniga tengdir,  ya’ni  (z*)  = z 
Aytaylik  z  
— r(cos 
 
sin (p)
 
va  z ‘ 
 p (co s#  

/sin 6)
 
bo‘lsin. 
Muavr  formulasiga  asosan  r(co s
 
+ / sin 
 
= //'(c o s
nO + /sin n6), 
bundan  r
 = 
p " ,n 6  = (p + 2 m c

p
 
va  6
 
ni  topamiz.
Bu  yerda 
k
  —  istalgan  butun  son,  ^   —  arifmetik  ildiz.
----------- ~ — r  
, , r ,  

ik
 
.  .  o  +  2 ^ x :s
D em ak, 
W  cos 
+ is\n
 (cos ---------- + / sin -- ---------);  bu

n
yerda 
k
 = 0,1...
m
- 1
Misol. 
lf{  ning  ildizlarini  toping.
Yechish. 
sonni  trigonometrik  ko‘rinishda  yozamiz.  z = l  bo‘lib, 
z = l = cosO + /sinO  bo'ladi.
y¡\  =  V eos 0 + / s i n  0  =  COS 
+  / sin 
_

3
a
: = 0; z,  = cos0 + /sin 0  = 1;
2 x  
. .   2n
 
1
 
,y¡3
k  = \\z-, 
= c o s
------
i-jsm
—  = -------/ — ;



2
„ 
4
k
 
.  . 
4n 

. -s/3
k  
= 2;  z ,  = c o s — -t-isin —  = —  
1
— .



2
0
‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Kompleks  sonlar  ustida  amallar  bajarganda  qanday  sonlar  hosil  bo'ladi, 
misollar  yordamida  tushuntiring?
2.  Kompleks  sonlami  ko‘paytirish  va  bo‘lishni  misollar  orqali  tushuntiring.
3.  Kompleks  sonni  darajaga  ko‘tarish  formulasini  keltirib  chiqaring.
37

II  BOB 
MATRITSALAR  ALGEBRASI
l - § .   Matritsalarni  ko‘paytirish
Matritsalaming  ko'paytmasi  haqida  birinchi  ko‘paytuvchining  satriari 
sonni  ikkinchi  ko‘paytuvchining  ustunlari  soniga  teng  boMgan  holdagina 
so'z  yuritish  mumkin,  ya’ni  faqat 
(nix.n)
  o’lchamli  matritsani  (ox A:) 
o'lchamli  matritsaga ko'paytirish  mumkin.  Ko'paytmada 
(m x к)
  o'lchamli 
matritsa  hosil  bo‘ladi.  Buni  quyidagi  sxema  bilan  ifodalash  mumkin:
( m x n ) ( n x k )  = ( m x k ) .
Xususiy  holda,  kvadrat  matritsalarni  ko'paytirish  uchun  ulaming 
tartiblari  bir  xil  bo'lishi  talab  qilinadi.  Ko‘paytma  ham  xuddi  shu 
tartibdagi  kvadrat  matritsani  ifodalaydi.
Aytaylik,  bizga 
A
  va 
В
  matritsalar  berilgan  bo'lsin. 
A
  va 
В
  matrit- 
salami  ko'paytirish  qoidasi  quyidagicha: 
A ' B = C
  ko'paytmaning  har 
bir c(j elementini  hosil qilish uchun 
A
 matritsaning  /-satridagi  elementlarini 
В
  ning  /-ustunidagi  mos  elementlariga  ko'paytirib,  natijalar  qo'shiladi. 
Masalan,  (
m x n
)  o'lchamli
A
  =
va  (
n x k )
  o'lchamli
O n
a t i
a u .
a 22
  ••
a 2,
- o
l a
O / I
° i 2 

, ait.
■  ■
« » 1
Oml -
• a « , • • • &  
m it
b n
b n -
b
■b¡k
b u
b 2 2 . . .
b t j
. . . b 2t
b „
b s l -
■b , j
  -
■  b , t
b nl
b „ 2 - -
■ b „ k
38

matritsalami  ko'paytirish  natijasida 
( n i x k )
  o'lchamli
С  =
c u
с \г
 ••
. C i r .
^
 21

22
 •
■ C2j
•• «• 2*
c n
C,2-
■  -C,J 

■ c , t
C»,l
C», l- " Cmj  •
• mC 
mk
matritsa  hosil  bo‘ladi,  bunda
n
C ,,
  =  
a n K
  +  
a i Z b 2 J   + ■ ■ ■ +   a , i b >,
  + ■ • • +  
a ,„ b „i  =
,v*l
(*)
Matritsalami  ko'paytirish  kommutativlik  xossasiga  ega  emas,  ya’ni 
A - B * B - A .
  Uchta  matritsani  ko'paytirish
[(»I X и ) ( л х ^ Ш х р )  = ( 
m x k ) ( k x р )  = ( т х p )
  sxema.  bo'yicha 
lga  oshiriladi.  Matritsalami  ko'paytirish  assosiati
amaiga 
ya’ni
tenglik  o‘rinlidir. 
Misol.
matritsalaming  ko'paytmasini  toping. 
Yechish. 
(*)  formulaga  ko‘ra:
paytirish  assosiativlik  xossalariga  ega, 
( A B ) - C  = A \ B - C )
/  
л 
*> 
i N
' 2
 
1
 
4"
A
 =


3
va 
В  =
1
 
1
 
- 2
Ч3 

1  ,
, 3  - 1 
Л
'3
 
3  - f
'2
 

4'
A- B =


3

1  - 2
,3 
1 1 ,
*> 
« 
^
3-2 + 3-l + (- l) -3
3-1 + 3 -l + ( - l )   ( - l )   3-4 + 3 -(-2) + ( - l) - 3 '
%
 
7  3  4
l-2 + (0)-l + 3-3
l l  + ( 0 ) l  + 3 ( - l )   1 - 4 + (0) - (—2) + 3-3
= 1 1 -2   IS
3-2 + 1-1 + 1-3
4
3-l + M  + I- (-l) 
3 - 4 +1 • (—2) + 1-3
JO  3  13,
0 ‘z -o ‘zini  tekshirisb  uchun  savollar.
1.  Matritsa  nima?
2.  Matritsalami  ko'paytirish  qoidasini  misollar  yordamida  tushuntiring.
2 - § .  Teskari  m atritsa
Bosh  diagonal  elementlari  birlardan  va  qolgan  hamma  elementlari 
nollardan  iborat.
39

(\
  О  . . .   0  o'!
E
  =
О 
1
  ...О  О
О 
0
 ... 
1
  О 
ч0  0 . . . 0   I ,
ko‘rinishdagi 
п -  tartibli  kvadrat  matritsaga  birlik  matritsa  deyiladi.  Ol- 
dingi  mavzuga  asosan, 
  matritsa  n -  tartibli  istalgan  A  matritsa  uchun
A -E  = E -A  = A
shartni  qanoatlantiruvchi  yagona  matritsa  ekani  kelib  chiqadi.
1-ta’rif. 
A  matritsa  uchun  A -B  = E  tenglikni  qanoatlantiruvchi  В 
matritsa 
A  ga  teskari  matritsa  deyiladi  va  u  B = A~'  ko'rinishda 
belgilanadi.
2 -ta’rif.  Barcha  satr  vektorlari  chiziqli  erkli  matritsa  xos  bo‘lmagan 
(aynimagan)  matritsa,  barcha  satr  vektorlari  chiziqli  bog'langan  matrit­
sa  xos  (aynigan)  matritsa  deb  ataladi.
Xos  bo'lmagan  matritsalarga  doir  quyidagi  ikkita  teoremani  isbotsiz 
keltiramiz.
1-teorema.  Xos  bo‘lmagan  matritsani  elementar  almashtirishlar 
yordamida  birlik  matritsaga  keltirish  mumkin.
2-teorema.  Xos  bo'lmagan  matritsaga  teskari  matritsa  mavjud  va 
yagonadir  (teoremaning  isbotlari  A.G.Kuroshning  «Oliy  algebra  kursi» 
kitobida  keltirilgan).
Teskari  matritsani  topish.
Aytaylik,  « -ta rtib li  kvadrat,  xos  bo'lmagan 
A  matritsa  berilgan 
bo‘lsin:
A =
v°™i 
an2 ■
 ■■a.
A  matritsaga  teskari  В  matritsani  topish  uchun,  uni  quyidagi 
ko'rinishda  yozamiz:
(
1
)
4 .
a ,2  . •a i„ 1 0. . . o  
N
a 2.
• • 
a 2„
0
1
..
. 0
°nl
  • • •
0
0 . ..1 
,
Chap  tomonida berilgan 
A  matritsa,  o ‘ng tomonda    birlik  matritsa 
yozilgan.  Bu  matritsalarning  ikkalasiga  bir  vaqtda 
A  matritsani  birlik 
E  matritsaga  keltiradigan  satrlar  bo'yicha  elementar  almashtirishlar 
qo‘llaymiz.
40

(
 1

. .
.  0
bn
b n -
■bhl
 
4
0
1
.

0
¿ 21
b
22
  .
■b2„


.
..1
b
„2
  • •  • 
b nn j
(2 )
(2)  ning  o‘ng  tomonidagi  matritsa  xuddi 
A
  ga  teng  teskari 
В
  matrit- 
sani  ifodalaydi,  ya’ni
A B  = E
bo'ladi. 
A
  matritsa  o‘z  navbatida 
В
 ga teskari boMganligi  sababli 
B- A = E 
ham  bajariladi.
Misol. 
Berilgan 
(\  -  \
 
2
N
J  -  J 
/
. 2 - 3   5,
matritsaga  teskari  bo'lgan 
A~l
  matritsani  toping.
Yechish. 
Buning  uchun  quyidagi  matritsani  tuzamiz:
"1
  - 1
2 1 0
O'
3  - 3
7
0 1 0
, 2   - 3
5
0 0 1
.
Birinchi  ustunni  1  ga,  so'ngra  -   2  ga  ko'paytirib,  mos  ravishda 
ikkinchi  va  uchinchi  ustunga  qo'shamiz:
О
о
1 1
- 2 '

0  1
0
  1
 
0
v2 - l  
1
0
  0 
l y
Ikkinchi  ustunni  2  ga  va  1  ga  ko‘paytirib,  mos  ravishda  birinchi  va 
uchinchi  ustunga  qo'shamiz:
о
о
3  1 - 1 '

0  1
2
  1 
1
0-1
 
1
\
0
  0 
1,
Uchinchi  ustunni  3  ga  ko'paytirib,  birinchi  ustunga  qo'shamiz  va 
ikkinchi  ustunni  I  ga  ko'paytiramiz:
О
О

-  
1
 
-  
г


1 - 1 - 1  
1
о
о
1
L.
J
о
Ikkinchi  va  uchinchi  ustunlarni  almashtiramiz:
о
О
0
1
1

1
  0
1
1
О
О
о
Г
О
1
41

Natijada 
A  ga  teskari  A~'  matritsaga  ega  bo’lamiz:
f  
6 - 1
  - Г
A ' 1 =
 
-1
 
1
 
- 1
 
-
0
‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Teskari  matritsaga  ta’rif  bering.
2.  Xos  va  xosmas  matritsalami  tushuntiring.
3.  Birlik  matritsa  deb  qanday  matritsaga  aytiladi?
4.  Misol  yordamida  berilgan  matritsaga  teskari  matritsa  tuzing.
3-§.  Chiziqli  tenglamalar  sistemasini 
matritsalar  ko‘rinishida  ifodalash
Bizga 
n  noma’lumli  n  chiziqli  tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
’*
11
*.
+ a x2x 2
 +.
•■+ а ь,х „=Ь],
a 2tx t + a ^ x ^
 +.
■■+ a 2„X„ = b2>
<*n\X\

a n2x 2
 +. • ■+ 
a m,Xn  = b„.
Bu  sistema  koeffitsientlaridan  tuzilgan  matritsa  quyidagicha  bo'ladi:
A =
a \\  a \2■ •
\ a n\  a n2-  ■
  ■
 a mtJ
Biz  faqat 
A  xos  bo‘lmagan  matritsa  bo'lgan  holnigina  qaraymiz.
(3)  sistemaning  chap  tomonida 
A  matritsani
X  =
x ,
matritsaga  ko'paytirishdan  kelib  chiqadigan 
n  satrli  va  bir  ustunli 
matritsaning  elementlari,  sistemani  o‘ng  tomonida  esa
42

ь, 
h
,
В  =
matritsaning  elementlari  turibdi.  Shu  sababli  ikki  matritsaning  tenglik 
t a ’rifiga  asosan,  (3)  ni  tubandagicha
V
' a u  a l2.  .  . a hl
X2
b г
a 2>  a 22  ■
  ■
  -a 2„
=
a  .  a  * . . .   a
\  II
 1 
II
 _ 
nn /
x »_
1
1
yoki  qisqacha
A X   =  В
 
(4)
ko‘rinishda  yozish  mumkin.  Bu  tenglama  matritsaviy  tenglama  (chiziqli 
tenglamalar  sistemasini  matritsali  ko‘rinishi)  deyiladi. 
A
  xos  boMmagan 
matritsa  bo'lgani  sababli,  unga  teskari  bo'lgan 
A
'1
  matritsa  mavjud,  shu 
sababli  (4)  ni  chap  to m o n d an  
A
' 1
  ko‘paytiramiz:
A ' ]  - ( A  X )  = A-'  B,
 
lek in  
A ~ ' \ A   X )  = ( Л ' ' -
a
) - X   = E X   = X ,  
demak,
X  -   A
 
• 
В
yoki
/  
'
a
u
a \ 2 . .
■ “
u ,
a ' 2 2  
.
■ 
- a
2 „
a
„ 2   ■
■ 

a ll b i  +   a n b 2  +   . . . +   ciUlb ll 
ci2lb [  +   a 22b 2  +  . . . +   a 2„ b n ,
+ “ »ibi  + ---+a„„b„
bundan  esa,  ikki  matritsaning  tenglik  shartiga  asosan  (4)  yoki  (3) 
ning  yechimiga  ega  bo'lamiz:
x ¡ = á nbl + a ,
2
b2 + . . . +  a inbl„
  ( / =  !,/»). 
(5)


Download 6.24 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling