Farxod rajabov


bunda  £  ning  qiymati  x  bilan  x+Ax  orasida  yotadi


Download 6.24 Mb.
Pdf ko'rish
bet21/29
Sana15.12.2019
Hajmi6.24 Mb.
1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   29

bunda  £  ning  qiymati  x  bilan  x+Ax  orasida  yotadi.
Ax
Ax
A 0
Demak, 
&'(x) =  lim -
7
— =  l i m / (# ).
A x  
Ax-tQ
A m m o,  Ax->0  b o 'lg a n d a  
b o 'lg a n i  u c h u n   bu  ho ld a
H m / t f )  = lim /( £ )   iekin  f(x)  funksiya  uzluksiz  bo'lgani  uchun
f-w
lim/ ( £ )  = / ( * )
f-*X
Shunday  qilib, 
0 '( x )  = f ( x )   teorem a  isbotlandi.
Teorema  geometrik  jihatdan  quyidagini  ifodalaydi:
A 0  = / ( £ )  Ax
orttirma  bir  asosi  Ax  bo'lgan 
egri  chiziqli  trapetsiy aning 
yuziga 
ten g  
b o 'lib ,
0
'{x) = / (x)  hosila 
x   kes- 
maning  uzunligiga  teng  (129-
* chizma).
Izoh.  Isbot  etilgan  teore- 
m adan,  xususiy  holda  har  qanday  uzluksiz  funksiya  boshlang‘ich  fun- 
ksiyaga  ega  degan  natija  kelib  chiqadi.
6
.
6
.  Nyuton-Leybnits  formnlasi.
Teorema.  Agar 
f(x)  funksiya  [a\  b\  kesmada  uzluksiz  va  F(x)  uzluk­
siz 
f(x)  funksiyaning  biror  boshlang'ich  funksiyasi  bo‘lsa,  u  holda,
\ f { x ) d x  = F ( b ) - F { a ) .
form ula  o'rinlidir.  Bu  form ula  Nyuton-Leybnits  formulasi  deyiladi. 
Isbot. 
F(x)  funksiya  f(x)  funksiyaning  biror  boshlang'ich  funksiyasi
j
bo'lsin,  6.5-mavzudagi  teorem aga  muvofiq 
\ f ( t ) d t   funksiya  ham   f(x)
a
funksiyaning  boshlang‘ich  funksiyasi  b o ‘ladi.  Ammo,  berilgan  funksiy­
aning  har qanday  2  ta  boshlang‘ich  funksiyasi  bir-biridan  o ‘zgarmas  C*
x
qo'shiluvchi  bilan  farq  qiladi. 
\ f ^ d t ~ F ^  + c   -
200

0 ‘zgarmas  C*ni  aniqlash  uchun 
x = a  deb  olamiz.
a
^ f ( t ) d t  = F (a ) + C*; 
0 = F ( a )  + C*; 
C* = - F ( a ) ;  
dem ak,
a
x
J /  
(t)dt = F ( x ) -  F ( a )   x  = b  deb  olsak,  Nyuton-Leybnits  formulasi
a
b
hosil  b o ‘ladi. 
^ f { t ) d t  = F ( b ) - F ( a )   t  ni    bilan   alm ash tirsak  
) f { x ) d x  = F ( b ) - F ( a ) .   | f ( x ) d x  = F ( x ) b
a
= F ( b ) - F ( a ) .
Integral  ostidagi  funksiyaning  boshlang‘ich  funksiyasi  m a’lum bo'lsa, 
u  holda  Nyuton-Leybnits  formulasi  aniq  integralni  hisoblash  uchun 
juda  qulay.
6.7.  Aniq  integralni  hisoblash  metodlari.
1)  Aniq  integralda  o ‘zgaruvchini  almashtirish.
Aniq  integralni  hisoblashda  ham   aniqmas  integralni  hisoblashdagi- 
dek  o'm iga  qo'yish  m etodi  yoki  o ‘zgaruvchini  almashtirish  m etodidan 
keng  foydalaniladi.
Teorema. 
f ( x )   funksiya  \cr,b\ kesm ada  berilgan  va  uzluksiz
b
b o 'lsin . 
\ f ( x )dx  in te g raln i  h iso b lash   tala b   q ilin sin . 
x  = 
a
o'zgaruvchini  kiritamiz.  U   holda,  agar 

  funksiya  quyidagi  shart- 
lam i  qanoatlantirsa:
1

(p{t)  funksiya  \ a \
0
\  kesmada  aniqlangan  va  uzluksiz;
2 )
 
(p{a) = a\ 
< p { 0 )   =  
b \
3) 
(p{t)  funksiya  [a ;/?]  kesmada uzluksiz 
hosilaga ega bo'lsa, 
u  holda
j f ( x ) d x =   jf[
 
(
1
)

a
bo'ladi.
Isbot.  Agar 
F ( x )   funksiya  f ( x )   funksiyaning  boshlang‘ich  fun­
ksiyasi  bo‘lsa,  quyidagi  tenglikni  yozish  mumkin:
J
f ( x ) d x  = F( x)  + C;
 
(2)
201

J / M O V í O ^ ^ M f l + c -  
(3)
Keyingi  tenglikni  to ‘g‘riligi  uni  2  tom onini 
t  bo'yicha  differentsi- 
yallash  bilan  tekshiriladi.  Nyuton-Leybnits  formulasiga  ko‘ra:
j / ( x ) d x  = F( x)
= F ( b ) - F ( a ).
Bunga  asosan:
(3)=>  J
f[p{t)]
a
= F [ (p { 0 ) '\- F \< p { a ) \ = F { b ) - F { a \ ,
a
ekani  kelib  chiqadi.  Keyingi  ifodalaming  o ‘ng  tom oni  teng  bo‘lgani 
uchun  chap  tomoni  ham   teng.  Aniq  integralni  birinchi  formula  bilan 
hisoblagandan  keyin  eski  o'zgaruvchiga  o ‘tish  zaruriyati  yo‘q.
M isol.  jV r
2
 
- x 2dx  integral  hisoblansin.
Yechish.  o‘zgaruvchini  almashtiramiz. 
x = rsm t,d x = rcostdt  inte- 
grallashning  yangi  chegaralarini  topamiz. 
x = 
0
  bo'lganda 
t = 
0

x  = r
n
bo'lganda 
t = — .  Demak,
j V r
2
 
- x 2dx =  jy jr
2
  - r
2
sin
2
 t r eostdt = 
- f e *
;
-cos
2
íJúfr = r
2
t 
sin 
2
/
-  + -------

4

i 
—  
n r  
2
  = ----

4
2)  Bo'laklab  integrallash.
Aytaylik, 
u = u{x)  va  9 = <9(*)  funksiyalar  \a\b\  kesmada  aniqlan- 
gan,  uzluksiz 
u'(x)  va  U  holda  [« (* )« ? (* )]  = w'(:t),9(;c) + w(;t),9'(;t)  bo‘ladi.
Bu  yerda,  w(jc)«9(;c)  funksiya  m '(x )^ (x ) + m(jc)í9'(^)  funksiyaning 
boshlang‘ich  funksiyasi.  Nyuton-Leybnits  formulasiga  asosan  bu  ayni- 
yatning  ikkala  tomonini 
a  dan  b  gacha  chegaralarda  integrallaymiz.
|(m 5) 
dx =  ^u'Sdx +  ^u&'dx

D em a k ,  u 9



^  
II
=  j $ d u +   j u d 9   yoki  j u d $  -  uS  -   jffdu.
Bu  tenglik  aniq  integralni  bo'laklab  integrallash  formulasi  deyiladi.
i
Misol.  fxe*dx  integralni  hisoblang.
Yechish.  Belgilashlar  kiritamiz  u = x,  d S  = e Idx,  du = dx\  & = e'; 
u  holda  bo'laklab  integrallash  formulasiga  ko‘ra


i
f x e rdx = x e ' 
+  Je'dx = e + e x
2e + l 
g a   e g a  
boMamiz.
0 ‘z-o‘zini  tekshirish  uchun  savollar.
1.  Integral  yig‘indi  deganda  n im ani  tushunasiz?
2.  A niq  integralga  t a ’rif  bering.
3.  A niq  integral  xossalarini  aytib  bering.
4.  A niq  integralni  hisoblash  m etodlarini  aytib  bering.
5.  N y u to n -L ey b n its  form ulasini  keltirib  chiqaring.
7-§.  Aniq  integralni  geometriyaga  va  mexanikaga  tatbiqi
7.1.  Tekis  figura  yuzasini  hisoblash.
1) 
T o ‘g‘ri  burchakli  koordinatalar  sistemasida  yuzlami  hisoblash. 
Bizga  m a’lumki,  musbat  uzluksiz  y = f ( x )   funksiyadan  olingan  aniq 
integral  y = f { x )  
egri  chiziq,  Ox  o ‘q,  x =a  va  x =b  (a)  to ‘g‘ri  chi- 
ziqlar  bilan  chegaralangan  egri  chiziqli  trapetsiyaning  yuzini  ifodalaydi.
b
s = \ f ( x ) d x .  
(
1
)
a
b
Agar  [a,  b\  kesmada  f { x ) <  0  bo'lsa,  u  holda  \ f i x )dx  aniq  integral
a
ham  manfiy  bo‘ladi.  Absolut  qiymatga  ko‘ra  bu  integral  tegishli  egri 
chiziqli  trapetsiyaning    yuziga  teng.
b
s = ~ l f ( x ) d x .  
(
2
)

Agar  f(x)  funksiya  [a,b]  kesm ada  ishorasini  chekli  son  m arta 
o'zgartirsa,  u  holda  integralni  butun  [a,b]  kesmada  qismiy  kesmachalar 
bo‘yicha  integrallar yig'indisiga  ajratamiz.  Qayerda 
f ( x ) > 0   bo‘lsa,  shu 
kesmada  integral  musbat,  qayerda  / ( jc
)< 0
  bo'lsa,  shu  kesmada  inte­
gral  manfiy  bo'ladi  va  yuza  (
1
)  va  (
2
)  formulalarga  ko‘ra;
ь
í
 =  | / W |
í
^ -
(3)
M isol.  0 < 
X < 2ж  bo'lganda. 
y= sinx  sinusoida  va 
Ox  o ‘q  bilan
*  chegaralangan 
 yuza  hisoblansin 
(130-chizma).
Yechish. 
Q<,
x
<
k
  bo‘lganda 
s i n x >
0
, ^ < x <
2
^  
b o 'lg a n d a  
esa  sin;c
<0
  bo'lgani  sababli
s=   Jsin;rafr +  Jsinxatc  =  j]sin jc] cabc;
0
 
n 
0
П
jsin x tfr = -  cos jc| 
I = —(cos я  — cos 
0
) = —
1(—1
 — 
1
) = 
2
;
0
2
*
jsin;ti£c = -cos;c|o*  = -  ¡cos 
I n  -  cos я\ = -
2
.
Demak,  s = 2 + |-2 | = 4 .  Agar  murakkabroq,  ya’ni  egri  chiziqli  tra-
petsiyadan  murakkabroq  tekis  figuraning  yuzini  hisoblash  talab  qilinsa, 
uni bir qancha egri chiziqli trapetsiyalar yig'indisi  ko'rinishida bo‘laklarga 
ajratamiz.  Keyinchalik  yuzani  ana  shu  egri  chiziqli  trapetsiyalar  yuza- 
larini  yig‘indisi  ko'rinishida  hisoblaymiz:

с 
b
s = 
J
/ ,  
(x)dx + 
J/ 2 
(x)dx +  f f
3
 (x)dx. 
(4)


a
Misol. 
y  = 4 x   va  y = x
2
  egri  chiziqlar  bilan  chegaralangan  yuza 
hisoblansin  (131-chizma).
Yechish.  Egrilami  kesishgan  nuqtalam i  topamiz:
Ular 
J x  = x
2
  =>  x = x
4
  tenglamadan  topildi.  Jc,  = 0; 
x
2
= l;
204

Misol. 
y  = 2x
2
 - 4 x  + 3,  x = - l ,   X = 1 
chiziqlar  ham da  abssissa  o ‘qining  [—
1

2

kesmasi  bilan  chegaralan  tekis  shakl  yu- 
zasi  hisoblansin  (132-chizma).
Yechish.  (3)-foim ulaga ko‘ra bu yuza:
2
S  =  j ( 2 x
2
  -  
4x + 3)dx =
-
2
x
2
> 3 , 1 ! ,   -
12
i .
= —   I

1-1
Endi  egri  chiziq  tenglamalari  para- 
m etrik  ko'rinishda  berilgan  bo‘lsin:
y  = 
 
va

  egri  chiziqlar  bilan  chegaralan­
gan  egri  chiziqli  trapetsiya  yuzasini  hisob- 
laymiz.  Yuqoridagi  parametrik tenglamalar 
biror 
[a,  b\  kesmada,  y = f( x )   fiinksiyani 
aniqlaydi  deb  faraz  qilamiz.  U   holda  egri 
chiziqli  trapetsiyaning  yuzasi:

b 
s =  j  f ( x ) d x =   Jydx  ga teng.  Bu  integralda

a
o'zgaruvchini  almashtiramiz.
x  = 
dx = 
;
y  = f ( x )  = f[
Demak, 
b
s = | \f/(t)
Bu  tenglamaYari  param etrik  ko'rinishda  berilgan  egri  chiziq  bilan 
chegaralangan  egri  chiziqli  trapetsiyaning  yuzasini  hisoblash  form ula- 
sidir.
M isol.  x = a c o s t;  y = A sin t  ellips  bilan  chegaralangan  sohaning  yu­
zasi  hisoblansin.
Yechish. 
  ning  qiymati  -   a  dan  +   a  gacha  t  ning  qiymati    dan

gacha  o'zgaradi.
0
 
0
 
n
S  = 2 J(Z>sin t) ( - a sin tdi) = -  la b  Jsin
2
 tdt = la b  js in
2
 
tdt -

2)  Qutb  koordinatalar  sistemasida  egri  chiziqli  sektoming  yuzi. 
Qutb  koordinata  sistemasida  egri  chiziq 
r  =   f(cp)  tenglama  bilan
berilgan  bo'lsin.  Bu  yerda  f(cp)  funksiya 
a<
  kesmada  uzluksiz.
  =   /()  egri  chiziq  cp=a  va  cp=b  radius  vektorlar  bilan  chega­
ralangan  egri  chiziqli  OAB  sektor  yuzini  topamiz.  [a; 
b]  kesmani
+ 
(/ = 
0
,
1
,
2
,...,«) 
n
nuqtalar yordamida
bo'laklarga  bo ‘lamiz. 
0
‘tkazilgan  radius 
^ =lV i  v e k to rla r 
o ralaridag i 
b u rc h a k la rn i
A
  A ^
2
...Aç7„deb belgilaymiz  (133-chiz-

ma). 
_
(pl  x  bilan  
  orasidagi  
  burchak- 
ka  mos  radius  vektor uzunligini  ^   orqali 
belgilaymiz.  Radiusi 
~
ri  va  markaziy  bur-
133-chizma.
chagi 
A
  b o 'lg an   doiraviy  sektom i
1
  2 .
qaray m iz,  uning  yuzi 
a s = —rj  A
  ga  teng.  U sh b u   y ig 'in d i

n
 
|  
n
S  = ~^Li ri2^ (Pi 
«Zinapoyasimon»  sektom ing  yuzini
2
 
,=i 
2
 
j . i
beradi.  Bu  yig'indi 
a<
  kesmada  r
2
= [ / ( x
) ] 2
  funksiyaning
1
 
p
integral  yig‘indisi  boMgani  sababli  qiymati  m axA
^ - > 0
  da  — 
jr'dtp
a
aniq  integralga  teng.  Bu  burchak  ichida  r   qanday  vektomi  olishimizga 
bog'liq  emas.  Bu  limit  shaklning  izlangan  yuzi  uchun  qabul  qilinishi 
tabiiydir.  Shu  sababli  OAB  sektom ing  yuzi:
S  = \ - \ r
2
d
yoki  S  = ^ f \ [ ( p ) ^ d ( p  ■

a
Misol.  r = ayJcos2(p  lemniskata  bilan  chegaralangan  yuza  hisob­
lansin.
7t
Yechish.  Agar  cp  burchak  0  dan  —  gacha  o ‘zgarsa,  chegaralangan
yuza  izlanayotgan  yuzaning  choragini  chizadi.
—5  = — 
^ r
2
d
 = —a
1
  Jco s
2
cpd(p =
1
1
a 2  sin2
n
-   a
2 
4  = —

4


“ o 
o
Demak,  leminskata  bilan  chegaralangan  yuza  S  =   a
2
 ga  teng.
206

7.2.  Tekis  egri  chiziq  yoyining  uzunligini  hisoblash.
Tekislikda  to ‘g‘ri  burchakli  koordinatalar  sistemasida  egri  chiziq 
y =f ( x )   tenglama  bilan  berilgan  bo‘lsin.  Bu  funksiya  [a,  b\  kesmada 
uzluksiz  va  differensiallanuvchi.
Bu  egri  chiziqning  x = a   va  x = b   vertikal  to ‘g ‘ri  chiziqlar  orasidagi 
yoyining  u zu n lig in i  to p am iz. 
B uning  u ch u n  
[a,  b\  kesm ani 
b — a
x , = a  + ------ i  (/' = 0,1,2..,.,n)  nuqta-  ^
n
lar  yordamida  n  ta  bo‘lakka  bo‘lamiz.
B o‘linish  nu q talarid an   o rd in ata 
o ‘qiga 
p arallel 
t o ‘g ‘ri 
c h iziq lar 
o ‘tkazamiz  va  ulam i  egri  chiziq  bilan 
kesishish  nuqtalarini  M   bilan  belgi- 
laymiz.  Mt
 
nuqtalarni  vatarlar  bilan 
tutashtiramiz.  U  holda  AB  yoy  ichida _ 
A  Mv  M,  Mv
 
..,  Mn  iB  siniq  chiziq  0 
hosil  bo‘ladi  (134-chizma).
a  *, 

134-chizma.
Ikki  nuqta  orasidagi  masofani  topish  formulasidan  foydalanib  siniq 
chiziq  perimetrini  hisoblaymiz:
£ = >/(■*■  - Jfo
)2
  + ( / ( Jci ) - / ( Jfo ))‘ 
+yj
{ x2
 
~ x >)2
  + ( / ( Jf: ) - / ( ;ri ) ) ’  +•■■
■•■ + >/(**.
1
  - ^ )
2
+ ( / ( jf * +, ) - / ( * * ) ) '   + ■••
+ ^ { X„ ~ *„-!  + ( / ( * „  ) - f { Xn-
1
 ) ) '
B undan 
AB 
yoyiga 
ch izilg an  
siniq 
ch iziq 
p e rim etri
^  _ 
¿^/(**+1
 
**)  + (/(■**+!) _ / ( * * ) )  
ga  teng.  Bunda  x0  =  a\  \ =b,
k - Q
 
P
Ax.  bo‘laklaming  eng  katta  uzunligini  maxzlx  deb  belgilaymiz.
T a ’rif.  AB  yoyga"  ichki  chizilgan  siniq  ch iziq   p e rim etri’
n
-1 
.-------------------------------------------------------------------
¿  = Z  
- JC*)2 + № * +i ) - / ( - * i ) ) 2  max Ax,  - > 0 d a   chekli  limit-
*-o
ga  ega  bo'lsa,  AB   uzunlikka  ega  deyiladi  va  bu  limit
lim  L =   lim  y J ( x k+]- x t ) 2  + { f { x k+]) - f { x k) Y
m a x A r ,_ ,(l 
n t a x A ^ - ^ O j ^   * 


/ /
AB  yoyning  uzunligi  deyiladi.
Biz  f ( x )   funksiya  [a, 6]  kesmada  uzluksiz  va /   (x)  hosilaga  ega
207

degan  edik.  Shu  sababli 
f { x )  funksiya  h ar  bir  [x*.,**.,.,]  oraliqda 
Lagranj  teoremasini  shartlarini  qanoatlantiradi.
Lagranj  teoremasiga  ko'ra: 
f ( x k+i) ~  f ( x k) = f ( ^ k)(xk+l  - x k)  bu
yerda 
x k <Çk < x
i+1
  o'zgaradi.
Bulaiga  asosan,  AB  yoyga  chizilgan  siniq  chiziq  perim etri
1 = X  
1
  -  ^
)2
+ № * ♦ .  ) -  
f ( x к 
))2
 =
*=0
n-\
=ZV(**+. -**)2+/'2(#x**+
1
- х к)2 =
к

= l J ( ^ +I- ^ ) 2{  l + /'2(í*)] =
Jt
=0
= X > / 1 + / ,2<&)(**+. -  ** ) = S V 1 + / ' 2( ^ )  •
A
:*0
f(x)  funksiya  [a, A]  kesmada  uzluksiz  /'(x )h o s ila g a   ega  b o ‘lganligi 
sababli  quyidagi 
ф  + f '
2
(x) funksiya  ham  uzluksiz  b o ‘ladi.  Shuning
Л-1 
.---------------------
uchun 
J \  + f '
2
(x)  funksiyaning  integral  yig'indisi 
2
_,ф  + f   (í*
4  ________
max Аде,- > 0   da  JV
^ / ’2
 (•*)<&  ga  intiladi,  ya’ni
k=0
Natijada 
AB = l  uzunligi  uchun  tubandagi  formulaga  ega  bo'lam iz:
ь

=  ¡ ^  + / '
2
{х)сЬс.
M isol. 
x
2
+ y
2
= r
2
  aylana  uzunligi  hisoblansin.
Yechish.  Dastlab,  aylananing bir chorakda yotgan  chizig'ining  uzun-
ligini  hisoblaymiz.  U   holda 
AB  ning  tenglamasi  y  = f r
2
 - x
2
  bo'ladi. 
Demak,
—/ =  
( J
1
 + —Г--dx=   f - ,  Г  -  dx = r arcsin —

oJ v 
r
2- * 2 
Butun  aylana  uzunligi 
l = 2 n r .
208
_  
Ж 
7ГГ
~ r
2
~ Y '

7.3.  Aylanish  jismining  hajmini  hisoblash.
Uzluksiz  manfiy  boMmagan  y = f ( x ) ,   дге[а,й]  funksiya,  (Ox)  abs-
sissa  o ‘qi.  x=a  va  x=b  to ‘g‘ri  chiziqlar  bilan  chegaralangan  aABb  egri 
chiziqli  trapetsiyaning  (Ox)  o ‘qi  atrofida  aylanishidan  hosil  bo‘lgan jism 
hajmini  aniqlaymiz.  Buning  uchun  [a,b\  kesmani
b - a   . 
.
X ,= a +------ i  ; /  = 
0
,
1
,
2
,...,/?
■n
n u q ta la r  y o rd am id a  b ir  xil 
uzu nlikd agi 
k esm ach alarg a
bo'lamiz.  Наг  bir 
kes-
m achad a 

;
jc
(] 
nuqta
tanlaymiz  (135-chizma).
Integral  yig‘indi  tuzamiz
* / : ( £  |)Д*|  + л - / : ( ^ ) Д х :  +... + л -/ (£ „ )Д х „  
= s r ] T f : (¿;l ) A x l
 
(1)
i = l
bu  yerda  Ax¡  = x t  - x t_,  (1)  ni  har  bir  qo‘shiluvchisi  doiraviy  silindr 
hajmiga  teng.
Butun  yig'indi  esa  zinapoyasimon jismga  mos  hajmni  beradi.  Uzluksiz 
f(x),  x s \ a , b \   funksiya  uchun  л —>oo  da  (1)  integral  yig‘indi  aylanma 
jismning  hajmini  beradi.
 lim ¿  / :2 ( £ )Ax,  = n   \ f 2 (x)dx_
>=l 
a
Misol.  y = x 2  egrini 
jc
= 0  
dan  x =2  gacha  kesmada  abssissa  o ‘qi 
atrofida  aylanishidan  hosil  bo'lgan  jism  hajmini  hisoblang.
V = n ^ x Adx = 
7 i-
32
7C 
5
7.4.  Aylanish  jismning  sirtini  hisoblash.
Oldingi  mavzudagi  chizm ada  aylanish  jismi  berilgan.  AB  egrini 
abssissa  o ‘qi  atrofida  aylanishidan  hosil  bo‘lgan  sirt  yuzini  hisoblash
talab  qilinsin.  y=f(x),  x e [ a ; 6 ]  
funksiya  \a,b\  kesmada  uzluksiz  va


b - a .
differensiallanuvchi  bo'lsin. 
kesmani  x : = a  + ------ ;  / = 0,1,...n
n
nuqtalar  yordamida  n  ta  bo'lakga  bo'lamiz.  Bu  nuqtalardan  ordinatalar 
o'tkazib,  uni  egri  chiziq  bilan  kesishgan  nuqtalarini  M (  bilan  belgi-
209

laymiz. 
M t  nuqtalam i  vatarlar  bilan  tutashtirib  A M lM
2
..M„_lB  siniq 
chiziq  hosil  qilamiz.  Bu  siniq  chiziqni  abssissa  o ‘qi  atrofida  ayla- 
nishidan  kesik  konus  yon  sirtlari  hosil  boMadi.  Bu  sirtlam ing  yuzasini
Sn  bilan  belgilaymiz.  U   holda  | 5 n}  ketma-ketlikni  limiti  aylanish jismi 
sirtini  yuzasini  beradi. 
 = lim-S1,,  A M xM
2
. . M n_xB  siniq  chiziq  ayla- 
nishidan  hosil  bo‘ladigan  sirt  yuzasi
yig‘indini 
n->  oo  da  limiti  esa  aylanish  jismi  sirtining  yuzasini  beradi.
M isol. 
x
2
+ y
2
= R
2
  aylanani  abssissa  o ‘qi  atrofida  aylanishidan 
hosil  bo‘lgan  jism   sirtining  yuzini  hisoblang.
h iso b lay m iz. 
f ( x )  = slR
2
- x
2
  ga  ten g .  T o 'la   s irtn i  h iso b lash d a
f ( x )  = y]R
2
- x
2
  egrini  koordinatalar  sistemasining  birinchi  choragi-
dagi  qismini  aylanishidan  hosil  bo'lgan  sirt  yuzini  hisoblab  ikkiga 
ko'paytiram iz.
=
Ê [ / ( * / - i  ) + f ( x! ) ]  V1+ ( / '( # ) ) 2* * ,  =

2
*  lim £ [ / ( # ,  ) ] ^ l  + 
( / '( £ ) ) 2
Axi =
2
^ j f { x ) ^ l  + ( / ' ( x ) )
2
dx.
/-I 

a
Demak,
b
(
2
)
a
210

F  kuch  ta ’siri  ostida    moddiy  nuqta  to ‘g‘ri  chiziq  bo'yicha  har- 
akat  qilsin,  bunda  kuchning  yo'nalishi  harakat  yo'nalishi  bilan  bir  xil 
bo‘lsin. 
M  nuqta  S= a  holatidan  S= b  holatga  ko'chganda  / ’ kuchning 
bajargan  ishini  topish  talab  qilinsin.
Bunda  ikki  hoi  bo'lishi  mumkin:
1)  agar 
F  kuch  o'zgarmas  bo‘lsa,  u  holda  A  ish  F  kuch  bilan 
o'tilgan  yo‘l  uzunligi  ko'paytmasiga  teng  bo'ladi,  ya’ni:
A = F ( b - a ) .
2)  F k u c h   moddiy  nuqtaning  olgan  o‘miga  qarab  uzluksiz  o ‘zgaradi, 
ya’ni 
Q < S < b   kesmada  F{S)  uzluksiz  funksiyani  ifodalaydi  deb  faraz 
qilamiz.  [a,b]  kesmaning  uzunliklari 
ASt,¿>£^,...,ASn  boMgan  n  ta  ix- 
tiyoriy bo‘Iakga  bo'lamiz.  Keyin  har bir qismiy  kesmada  ixtiyoriy 
nuqta 
tanlab  olamiz  va 
F(s)  kuchning  Aj,  = (/' = 1,2,..,«)  yo‘lda  bajargan  ishi­
ni 
ko'paytm a  bilan  almashtiramiz.
Bu  esa  bir  qism  kesmada  F  kuchni  o ‘zgarmas  m iqdor  deb  qabul 
qilishimizni  bildiradi.
Bunday  holda  (£ ,)As, ifoda  As, etarli  kichik  bo‘lganda  /"kuchning 
As,  yo ‘lda  bajargan  ishining  taqribiy  qiym atini  beradi,  yig‘indi
n
An ^
F ( l ) A s ,   esa  F  kuchning  butun  [a,  b]  kesmada  bajargan  ishi-
/ = 1
ning  taqribiy  qiymati  bo‘ladi.
An  yig'indi  [a,  b\  kesmada  F=F(s)  kuch  uchun  tuzilgan  integral
yig‘indi.  Bu  yig‘indining  max As,  - » 0  dagi  limiti  mavjud  va  u  F(s)
kuchning 
S = a   nuqtadan  S= b   nuqtagacha  bo'lgan  yo‘lda  bajargan
b
ishini  ifodalaydi.  A = ^ F { s ) d s -
a


Download 6.24 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   17   18   19   20   21   22   23   24   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling