Trigonometrische Funktionen
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6.4 Trigonometrische Funktionen 6.4.1 Im rechtwinkligen Dreieck erkl¨art man:
Gegenkathete Ankathete Hypotenuse Sinus:
sin α = Gegenkathete Hypotenuse Cosinus (oder Kosinus): cos α = Ankathete Hypotenuse Tangens:
tan α = Gegenkathete Ankathete = sin α cos α Cotangens (oder Kotangens): cot α = Ankathete Gegenkathete = cos α sin α 1
6.4.2 Am Einheitskreis erkl¨art man: sin x, cos x, tan x, cot x als Streckenl¨angen und das Bogenmaß x eines Winkels als L¨ange des von dem Zentriwinkel aus dem Kreis ausgeschnittenen Bogenst¨ ucks.
Außerhalb der Elementargeometrie verwen- det man als Argument von sin, cos, tan, cot stets das Bogenmaß! 6.4.3
Funktionsgraphen von sin, cos, tan, cot Mit Hilfe einer (bei Handzeichnung: n¨aherungswei- sen) Abwicklung des Einheitskreises auf die x-Achse lassen sich einzelne Punkte des Graphen von sin und von cos zeichnen. Gute N¨aherungen der Graphen erh¨alt man durch Verbinden der Punkte unter Beachtung bekannter Eigenschaften der Graphen. Mit Hilfe der Asymptoten und einzelner Punkte las- sen sich die Graphen von tan und cot n¨aherungswei- se zeichnen. 2
6.4.4 Eigenschaften 1. sin u. cos sind 2π-periodisch: sin(x + 2kπ) = sin x ∀k ∈ Z, ∀x ∈ R. cos(x + 2kπ) = cos x ∀k ∈ Z, ∀x ∈ R. 2. tan x ist nicht definiert f¨ ur x = π
+ kπ ∀k ∈ Z. cot x ist nicht definiert f¨ ur x = kπ ∀k ∈ Z. 3. −1 ≤ sin x ≤ 1 −1 ≤ cos x ≤ 1 −∞ < tan x < ∞ −∞ < cot x < ∞ 4. sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x 5. sin(x + π) = − sin x, cos(x + π) = − cos x 3
6. sin(x + π 2 ) = cos x, cos(x + π 2 ) = − sin x 7. Additionstheoreme: ∀x ∈ R, ∀y ∈ R: sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y − sin x siny 8. cos 2
2 x = 1 ∀x ∈ R. 6.4.5 Umkehrungen Auf dem Intervall [- π 2 , π 2 ] besitzt sin eine Umkehr- funktion, den arcsin (Arkussinus), definiert auf [−1, 1]. Auf dem Intervall [0, π] besitzt cos eine Umkehr- funktion, den arccos (Arkuscosinus oder Arkuskosi- nus), definiert auf [-1,1]. Auf dem Intervall ] − π 2
π 2 [ besitzt tan eine Umkehr- funktion, den arctan (Arkustangens), definiert auf R. Auf dem Intervall ]0, π[ besitzt cot eine Umkehr- funktion, den arccot (Arkuscotangens), definiert auf R. 4 6.4.6 Steigung eines Weges Steigung p % bedeutet: Auf 100 m Horizontalab- stand ist die H¨ohendifferenz p m. (Tafelskizze!) Steigungswinkel α: tan α = p 100 ⇒ α = arctan p 100
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