Функция ҳосиласи

Функция ҳосиласи. 

 

Функция орттирмаси. 

)

(

)

(

0

x

f

x

x

f

y











 

 

y=f(x)    функциянинг  х

0

  нуқтасидаги  орттирмаси  нисбатининг 

x



нолга 

интилганлигандаги  лимити  мавжуд  бўлса,  бу  лимит  y=f(x)  функциянинг  х

0

 

нуқтадаги ҳосиласи дейилади. 

 

x

x

f

x

x

f

x

y

x

f

x

x

























)

(

)

(

lim

lim

)

(

'

0

0

0

0

0

 

 

Геометрик нуқтаи назардан у=f(x) функциянинг х

0

 нуқтадаги ҳосиласи унинг 

графигига  М(x

0

,f(x

0

))  ўтказилган  уринманинг  ОХ  ўқининг  мусбат  йўналиши 

билан ҳосил қилган бурчагининг тангенсига тенг. 

 

y=f(x)  эгри  чизиққа    М

0

(х

0

,у

0

)  нуқтада  ўтказилган  уринма  тенгламаси  ушбу 

кўринишга эга.  

у-у

0

=f ’(x

0

)(x-x

0

) 

 Нормалнинг тенгламаси ушбу кўринишга эга: 

)

(

)

(

'

1

0

0

0

x

x

x

f

y

y









 

х-эркин ўзгарувчи, u=U(r) ва v=V(r) 

дифференциалланувчи  функциялар,  С  -  ўзгармас  сон  бўлсин,  у  ҳолда  

қуйидаги дифференциаллаш қоидалари ўринли. 

 

)

(

'

))

(

(

)))'

(

(

(

)

5

'

)

4

'

'

)'

(

)

2

'

)

(

)

3

'

'

)'

(

)

1

1

'

'

1

x

g

x

g

f

x

g

f

V

UVэ

V

U

V

U

V

U

V

U

V

U

CU

CU

V

u

V

u









































 

 

Ҳосилалар жадвали 

 

1

1

2

2

2

2

2

2

'

2

1

1

ln

'

)'

(

)

18

1

1

)'

(

)

17

1

1

)'

(

)

16

log

1

)

(log

)

8

1

1

)'

(arccos

)

15

)'

(

)

7

1

1

)'

(arcsin

)

14

ln

)'

(

)

6

sin

1

)'

(

)

13

1

1

)

5

cos

1

)'

(

)

12

2

1

)'

(

)

4

sin

)'

(cos

)

11

)

(

)

3

cos

)'

(sin

)

10

1

)'

(

)

2

1

)'

(ln

)

9

0

'

)

1

v

u

u

u

u

v

u

x

arcctgx

x

arctgx

e

x

x

x

x

e

e

x

x

a

a

a

x

ctgx

x

x

x

tgx

x

x

x

x

nx

x

x

x

x

x

x

c

v

v

v

a

a

x

x

x

x

n

n

















































































 

 

1-мисол. ҳосила таърифидан фойдаланиб, 

у=

3

1





x

x

 функциясини ҳосиласини топинг. 

 

Ечиш. х га  

х



орттирма бериб, 

у



орттирмани топамиз. 

2

2

0

2

2

)

3

(

2

'

)

3

(

2

)

3

0

)(

3

(

2

)

3

)(

3

(

2

lim

)

3

)(

3

(

2

)

3

)(

3

(

3

9

3

3

3

3

)

3

)(

3

(

)

3

)(

1

)(

1

(

)

)(

3

(

3

1

3

1

3

1





























































































































































x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xH

x

x

y

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

y

x

 

 

2-мисол. 

 

у=ln

2

 sin2x 

 

x

x

ctg

x

x

x

x

y

2

sin

ln

2

4

2

2

cos

2

sin

1

2

sin

ln

2

)'

2

sin

(ln

'

2















 

 

3-мисол. 

 

x

x

x

x

y

3

2

3

2

sin

3

2











 

 

Ечиш: Бу функцияни логарифмлаймиз: 

 

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

sin

ln

3

)

3

ln(

)

2

ln(

ln

3

2

ln

sin

3

2

ln

ln

2

3

2

3

2

































 

 

Тенгликни иккала қисмини х бўйича дифференциаллаймиз 

 









































































ctgx

x

x

x

x

x

x

x

x

y

ctgx

x

x

x

x

y

y

x

x

x

x

x

x

y

y

3

3

2

2

1

3

2

sin

3

2

'

3

3

2

2

1

3

2

'

sin

cos

3

3

2

2

1

1

3

2

'

2

3

2

3

2

2

2

 

 

 

15-ДАРС ТОПШИРИҒИ 

 

1.Ҳосила таърифидан 

 

1

3

2

)

4

5

2

3

)

2

2













x

x

y

b

x

x

y

а

 

 

2. Функцияларнинг ҳосиласини топинг 

 

2

3

2

8

)

3

)

1

(

)

x

y

b

x

x

y

a











 

 

Эгри  чизиқларга  х

0

=2  нуқтада  ўтказилган  уринма  ва  нормалнинг 

тенгламасини тузинг. 

 

3. Қуйидаги функцияларнинг ҳосилаларини  дифференциаллаш қоидалари ва 

формулаларини қўллаб топинг. 

 





x

ctg

x

y

x

x

y

x

y

x

x

y

x

arctg

y

x

tgx

x

tg

y

x

ctg

x

y

x

x

y

y

x

x

y

x

x

y

x

x

y

x

x

3

1

.

12

2

sin

ln

.

6

)

2

(sin

.

11

2

sin

2

sin

.

5

1

.

10

3

3

.

4

)

3

(

.

9

1

.

3

3

.

8

cos

sin

.

2

sin

.

7

1

4

.

1

2

2

5

5

4

4

co s

2

2

3

3

4

3

2

2

2

co s

4

4

3

3

3

2

2















































