Метрик ва дискриминант тензорлар. Леви- чивита тензори. Шар тензори ва девиатор

Маъруза №5

МЕТРИК ВА ДИСКРИМИНАНТ ТЕНЗОРЛАР. Леви- Чивита тензори. Шар тензори ва девиатор.

Метрик тензор.
Ушбу
(10.1)
Тенгликни сосий квадратик форма деб атаган эдик. Бунда
(10.2)

Қуйидаги формула билан берилган

(10.3)

объектни метрик тензор деб аталади.

G ҳақиқатан тензор эканлигини аниқлаш учун


(10.4)

муносабат ёки (5.7) алмаштириш формулалари ўринли эканлигини кўрсатиш керак. Буни (4.11) формула билан аниқланган нинг ва координата системаларидаги

кўринишларидан фойдаланиб, осонлик билан кўрсатиш мумкин.
(n=2) ни асосий квадратик форма

нинг коэффициентлари - 9 та сон координата системасида бирор G объектни аниқлайди десак, мазкур объект иккинчи ранг тензор эканлигини тензорларни бўлиш теоремаси ёрдамида кўрсатиш мумкин.

Ҳақиқатан, ва дифференциаллар ихтиёрий бўлгани учун уларнинг индефинит кўпайтмаси (m=2) ихтиёрий 2-ранг Т тензорнинг компоненталари бўлади. Шунинг учун тенгликнинг ўнг томонини TG кўпайтманинг иккала индекси бўйича йиғиштириш натижаси деб қараш мумкин. Иккинчи томонидан бу ерда ҳамда тенгликнинг чап томони скаляр миқдор(n-m=0). Демак, мазкур теореманинг шартлари бажарилади ва G 2-ранг тензор эканлиги келиб чиқади ва демак уни ушбу


(10.2₁)

кўринишларда ёзиш мумкин.

Метрик тензорнинг хоссалари

1. 
   G - симметрик тензор. Бу хусусият (10.2)дан келиб чиқади.
   
2. 
   Метрик тензорнинг аралаш компонентлари ихтиёрий координата системасида Кронекер дельталарини беради. Ҳақиқатан
   

(10.2₂)

3. 
   Ихтиёрий Р тензор билан G нинг скаляр кўпайтмаси яна Р тензорни беради:
   

(10.2₃)

яъни, метрик тензор скаляр кўпайтириш амалида бирлик тензор ролини бажаради. Масалан, Р 3-ранг тензор бўлса, скаляр кўпайтириш формуласи (8.10)га биноан олинган

(10.2₄)

муносабат (10.4) ўринли эканлигини кўрсатади. Бу хусусиятдан G нинг ихтиёрий даражаси G га тенг эканлиги келиб чиқади.

Дискриминант тензор. Леви-Чивита тензори.

Базис векторларнинг вектор кўпайтмаси контравариант ёки ковариант базис векторларнинг ёйилмаси (4.30) кўринишда ифодаланишини кўрган эдик:

(10.5)

Бу тенгликлардан биринчисининг иккала томонини , иккинчисини , учинчисини эса ва векторларга скаляр кўпайтирсак, ушбу

(10.6)
муносабатларни оламиз. Демак, (10.5) ёйилмаларнинг коэф-фициентларини алмаштириш қоидасини аниқлаш учун базис векторларнинг аралаш кўпайтмасини текшириш кифоя. Ҳақиқатан (5.5) формулалардан фойдаланиб, координата системасида аралаш кўпайтмаларнинг, масалан, биринчисини ёзсак, ушбу

муносабатларни оламиз. Демак, координата системасида берилган та сонларнинг алмаштириш қоидаси ушбу формула билан аниқланади:

(10.7)

Бундан тензорнинг иккинчи таърифига кўра, 3-ранг тензорнинг ковариант компоненталари эканлиги келиб чиқади. Индекслари бошқача жойлашган ва ҳоказо сонлар ҳам 3-ранг тензорнинг компоненталари эканлиги шунга ўхшаш кўрсатилади. Индексларни кўтариш ва тушириш амали ёрдамида эса базис векторларнинг турли хил аралаш кўпайтмалари ҳосил қиладиган барча миқдорлар бир тензорнинг турли хил компоненталари эканлиги осон исбот қилинади. Мазкур тензорни

(10.8)

шаклида белгиланади ва дискриминант тензор деб аталади.

Базис векторларнинг аралаш кўпайтмасини аниқловчи (4.9), (4.16), (4.17) формулалардан ва дискриминант тензор компоненталарининг улар орқали ифодаси (10.6)дан


(10.9)

муносабатлар ўринли эканлиги келиб чиқади. Демак, дискриминант тензор уччала индекси бўйича антисимметрик бўлиб, унинг иккита индекси бир хил бўлган компоненталари нолга тенг, яъни фақат барча индекслари турли бўлган компоненталаригина нолдан фарқли бўлади.

Иккинчи томондан, (4.9) ва (4.13)га кўра,

тенглик ўринли. Агар

(10.10)

деб қабул қилинса ва Е нинг (10.9) антисимметриклик хусусиятлари эътиборга олинса, дискриминант тензор компоненталари ушбу қоида билан аниқланади:

, агар сонли индекслар 1, 2, 3
дан жуфт ўрин алмаштириш нати-
жасида ҳосил қилинган бўлса;


, агар сонли индекслар 1, 2, 3
дан тоқ ўрин алмаштириш нати-
жасида ҳосил қилинган бўлса: (10.11)


, бошқа ҳолларда, яъни икки ёки
уччала индекси бир хил қиймат
қабул қилса.

Шунга ўхшаш, (4.20)га биноан,

деб қабул қилсак ва Е нинг (10.9) антисимметрик хусусиятларини эътиборга олсак, дискриминант тензорнинг контравариант компоненталари

қоида билан аниқланиши келиб чиқади:

, агар сонли индекслар 1, 2, 3
дан жуфт ўрин алмаштириш нати-
жасида ҳосил қилинган бўлса;
, агар сонли индекслар 1, 2, 3
дан тоқ ўрин алмаштириш нати- (10.12)
жасида ҳосил қилинган бўлса;


, бошқа ҳолларда, яъни икки ёки
уччала индекси бир хил қиймат қабул қилса.
қабул қилса.
Дискриминант тензорлар вектор кўпайтмани ва аралаш кўпайтмани (учинчи тартибли детерминантни) индексли ёзишда кўлланилади. Детерминантларни индексли белгилашда нормаланган дискриминант тензорлардан фойдаланиш қулай бўлгани учун, ушбу


(10.17)

формулалар билан аниқланадиган ва Леви-Чивита тензори деб аталувчи тензорлар киритилади. Леви-Чивита тензори индекслар 1, 2,3 дан жуфт ўрин алмаштириш натижасида ҳосил қилинган бўлса +1, тоқ ўрин алмаштириш натижасида ҳосил қилинган бўлса -1 ва икки ёки уччала индекси бир хил қиймат қабул қилса нолга тенг.

Шар тензори ва девиатор.

1. 
   2-ранг тензор метрик тензордан скаляр кўпайтма билангина фарқ қилса, у шар тензори деб аталади;
   

(12.9)

Демак, шар тензорнинг биринчи инварианти

(12.10)
бўлади.
2. 2-ранг симметрик D тензорнинг биринчи инварианти нолга тенг бўлса, D тензор девиатор деб аталади. Ихтиёрий 2-ранг симметрик тензор S га қуйидаги формула асосида девиаторни мос келтириш мумкин:
(12.11)
Бу ерда D девиатор эканлигини исботлаш учун эканлигини кўрсатиш лозим. Ҳақиқатан,



Демак, 2-ранг симметрик тензор S ни


(12.12)

кўринишда, яъни шар тензор ва девиаторнинг йиғиндиси кўринишда ёзиш мумкин. Ихтиёрий Т тензорни симметрик (S) ва антисимметрик (A) тензорларнинг йиғиндиси шаклида ёзиш мумкин:

(12.13)
(12.12) ва (12.13) га асосан ихтиёрий 2-ранг тензор Т ни ушбу





йиғинди кўринишида ёзиш мумкин. Бу ерда (12.9) ва (12.11) га асосан шар тензорини формула билан ифодалаш мумкин. Бу ерда тензорнинг биринчи инварианти.