Samarqand davlat arxitektura qurilish instituti «oliy matematika va fizika»

 

 

O’ZBEKISTON  RESPUBLIKASI  OLIY  VA O’RTA MAXSUS  TA’LIM  

VAZIRLIGI 

 

SAMARQAND DAVLAT ARXITEKTURA – QURILISH INSTITUTI 

 

 

 

«OLIY  MATEMATIKA VA  FIZIKA » 

kafedrasi 

 

 

 

 

Mavzu: « Yuqori  tartibli  differensial  tenglamalar. Tartibini  pasaytirish  

mumkin  bo’lgan  ba’zi  bir  ikkinchi  tartibli  differensial tenglamalar » 

 

 

Bajardi: Axatov G’. 

Tekshirdi: Zikiryayev Sh. 

 

 

 

 

 

Samarqand 2017 y.

 

MAVZU:YUQORI  TARTIBLI  DIFFERENSIAL  TENGLAMALAR. 

TARTIBINI  PASAYTIRISH  MUMKIN  BO’LGAN  BA’ZI  BIR  IKKINCHI  

TARTIBLI  DIFFERENSIAL TENGLAMALAR 

 

 Mavzu rejasi: 

1.  Yuqori tartibli differensial tenglamalar.Umumiy tushunchalar va ta’riflar. 

2.  Tartibini  pasaytirish  mumkin  bo’lgan  ba’zi  bir  yuqori  tartibli  differensial 

tenglamalar. 

3.  Differensial tenglamada 

y

 oshkor ishtirok etmagan yuqori tartibli tenglamalar. 

4. 

x

 oshkor ishtirok etmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar.  

5.  Bir jinsli chiziqli tenglamalar. Asosiy tushunchalar va xossalar. 

 

1.Yuqori tartibli differensial tenglamalar.Umumiy tushunchalar va ta’riflar 

 

      1-Ta’rif:  Erkli  o’zgaruvchi 

x

,  noma’lum  funksiya 

)

(x

y

y 

  va  uning  hosilalari 

qatnashgan quyidagi ko’rinishdagi 

0

)

...,

,

,

,

,

(

)

(







n

y

y

y

y

x

F

                                      (1) 

yoki 

)

...,

,

,

,

,

(

)

1

(

)

(









n

n

y

y

y

y

x

f

y

  tenglamaga 

n

-tartibli  oddiy    differensial  tenglama 

deyiladi.  Bu  yerda  asosiy  masala  (1)  tenglamaning  yechimini  topishdir.  Buning  uchun 

(1)  tenglamani  yechimi  mavjudligi  va  yagonaligi  haqidagi  teoremani  keltiramiz  va  uni 

isboti ustida to’xtalmaymiz.  

      Teorema:  Agar 

)

...,

,

,

,

(

)

1

(

)

(







n

n

y

y

y

x

f

y

  tenglamada 

)

...,

,

,

,

(

)

1

( 



n

y

y

y

x

f

  funksiya  va 

uning 

)

1

(

...,

,

,





n

y

y

y

argumentlari  bo’yicha  olingan  xususiy 

,

,

0

0

y

y

x

x





 

...,

,

0

y

y







 

)

1

(

0

)

1

(







n

n

y

y

  hosilalari  qiymatlarini  o’z  ichiga  biror  sohadagi  uzluksiz  funksiyalaridan 

iborat bo’lsa, bu holda tenglamaning  

)

1

(

0

)

1

(

0

0

0

0

0

...,

,

,



















n

x

x

n

x

x

x

x

y

y

y

y

y

y

      (2) 

shartlarni  qanoatlantiruvchi 

)

(x

y

y 

  yechimi  mavjud  va  yagonadir.  Teoremadagi  (2) 

shartlar boshlang’ich shartlar deyiladi.  

 

 

      2-Ta’rif:  Berilgan  (1)  tenglamani  ayniyatga  aylantiruvchi 

)

...,

,

,

,

(

2

1

n

C

C

C

x

y





 

funksiya 

n

-tartibli  differensial  tenglama  (1)  ning  umumiy  yechimi  deyiladi.  Bu  yerda 

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

lar  ixtiyoriy  o’zgarmas  sonlar  bo’lib,  ularning  har  qanday  qiymatlarida 

tenglamani  qanoatlantiradi.  Agar  (2)  boshlang’ich  shartlar  bo’lsa,  u  holda 

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

larni shunday tanlash mumkinki, yechim (2) shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimga 

ega bo’ladi. Shuningdek (1) tenglamani ayniyatga aylantiruvchi  

0

)

...,

,

,

,

(

1



n

C

C

y

x

Ф

 

funksiya  umumiy  integral deyiladi  va boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi  yechim 

xususiy integral

 deyiladi. 

 

2.Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan ba’zi bir yuqori tartibli  

differensial tenglamalar 

 

     Yuqori tirtibli differensial tenglamaning eng sodda ko’rinishi  

                                            

)

(

)

(

x

f

y

n



                                                                   (3) 

shaklda  bo’ladi.  Bu  tenglama  umumiy  yechimini  topish  uchun  uni 

0

x

  va 

x

  oralig’ida 

integrallaymiz, u holda 









 )

1

(

)

(

n

x

y

y

 ekanligidan  

                                            









x

x

n

C

dx

x

f

y

0

1

)

1

(

)

(

                                                  (4) 

ifodaga ega bo’lamiz, bunda 

1

C

 integrallash o’zgarmasi. (4) ni bir marta integrallab  





2

0

1

)

1

(

0

0

)

(

C

x

x

C

dx

dx

x

f

y

x

x

x

x

n

























 



 

integrallashni shunday davom ettirib,  nihoyat  (

n

-marta  integrallashdan keyin)  umumiy 

integralining  

           









n

n

n

x

x

x

x

C

n

x

x

C

n

x

x

C

dx

dx

x

f

y























 

...

!

2

)

(

!

1

)

(

...

)

(

...

2

0

2

1

0

1

0

0

                   (5) 

ifodani hosil qilamiz. Oxirgi (5) ifoda (3) tenglamani umumiy yechimi bo’ladi. Agar (2) 

boshlang’ich  shartlar  berilgan  bo’lsa,  ularga  mos 

n

C

C

C

...,

,

,

2

1

larni  aniqlab  differensial 

tenglamani xususiy yechimini topamiz.  

 

 

     1-misol: 

x

y

2







  tenglamani 

3

,

1

,

1

1

1

1

0

0

0

















x

x

x

y

y

y

ni  qanoatlantiruvchi  xususiy 

yechimi topilsin.  

     Yechish: Berilgan tenglamani ketma-ket uch marta integrallaymiz, u holda  

1

1

1

1

ln

2

ln

2

2

0

C

x

C

x

C

dx

x

y

x

x

x

















, 































x

x

C

x

C

xdx

C

dx

C

x

y

1

1

2

1

2

1

1

ln

2

ln

2

 













































2

1

1

1

1

ln

2

,

,

ln

C

x

C

dx

x

x

x

v

x

dx

du

dx

dv

x

u

x

x





2

1

1

1

ln

2

C

x

C

x

x

x











. 

































x

C

x

C

x

C

dx

x

x

x

y

1

3

2

2

1

2

1

1

ln

2



























x

C

x

C

x

C

x

x

xdx

x

1

3

2

2

1

2

1

2

1

2

ln

2

 



































x

x

xdx

x

x

x

v

x

dx

du

xdx

dv

x

u

1

1

2

2

2

1

ln

2

2

2

,

,

ln























3

2

1

2

1

2

1

2

C

x

C

x

C

x

x

 









3

2

2

1

2

2

1

2

1

2

3

ln

C

x

C

x

C

x

x

x

x

















. 

     Endi 

boshlang’ich 

shartlardan 

foydalanamiz 

3

;

ln

2

0

1











x

y

C

x

y

 

dan 

3

,

ln

2

3

1

1







C

C

x

. 





1

;

1

1

ln

2

0

2

1



















x

y

C

x

C

x

x

x

y

 dan  





2

1

1

1

1

1

1

ln

1

2

1

C

C

















, 

bundan 

1

2



C

. 









,

1

2

1

2

3

ln

3

2

1

2

2

C

x

x

C

x

x

x

x

y

















 

1

1

0





x

y

 dan  

2

3

3



C

. 

      Demak xususiy yechim  



























2

3

1

1

2

3

2

3

ln

2

2

2

x

x

x

x

x

x

y

2

ln

2





x

x

x

. 

 

 

3.Differensial tenglamada 

y

 oshkor ishtirok etmagan yuqori tartibli tenglamalar 

 

     Agar differensial tenglamada 

y

 

oshkor ishtirok etmasin

, ya’ni  

                                        

)

,

(

y

x

f

y







                                                          (6) 

bo’lsin.  Uni  yechish  uchun 

)

(x

p

y 



  belgilash  kiritamiz,  u  holda  (6)  tenglamani  

)

,

(

p

x

f

p 



  shaklda  yozamiz.  Bu  esa 

p

parametrga  nisbatan  birinchi  tartibli  tenglama 

 

 

bo’ladi.  Demak, 

)

,

(

p

x

f

dx

dp



  tenglamani  integralini  hisoblab 

)

,

( C

x

p

p 

yechimni 

topamiz. 

p

y 



 ekanligini hisobga olib, 

2

1

)

,

(

C

dx

C

x

p

y







 umumiy  yechimni topamiz.  

     2-misol: 

x

e

x

y

y

x

2









differensial 

tenglamaning 

0

,

1

0

0













x

x

y

y

shartlarni 

qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.  

     Yechish: 

p

y

p

y











,

 bo’lsa, u holda 

x

xe

p

x

p







1

 chiziqli tenglamani hosil qilamiz, 

uni   

,

uv

p 

   













v

u

v

u

p

   

x

xe

uv

x

v

u

v

u











1

 

x

xe

v

x

v

u

v

u























1

    shaklda  keltirib, 









0

1

v

x

v

 







0

x

dx

v

dv

 

x

y

C

Cx

y

C

x

v













1

,

,

ln

ln

ln

,  

   







x

xe

x

u







x

e

u

1

C

e

u

x





, 









2

2

1

C

x

C

dx

xe

y

x

 umumiy yechimni topamiz.  

Boshlang’ich  shartlarga  asosan   

0

0

0

1







C

,   

0

1



C

;       





2

0

1

0

1

C

e









,   

0

2



C

 

ekanligidan xususiy yechim 

x

e

x

y

)

1

( 



 ko’rinishda bo’ladi.  

 

4.

x

 oshkor ishtirok etmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar 

 

      Ushbu ko’rinishdagi   

)

,

(

y

x

f

y







     (7) differensial tenglamada 

x

 argument oshklo 

bo’lmagan hol. Bu tenglamani yechimini topish uchun avvalgidek 

)

( y

p

y 



 almashtirib 

olamiz,  lekin 

p

ni 

x

  ning  emas 

y

ni  funksiyasi  deb  qaraymiz,  u  holda 

dy

dp

p

dx

dy

dy

dp

dx

dp

y









    bo’lganligidek  tenglama  quyidagi  ko’rinishda  bo’ladi. 

)

,

(

p

y

f

dy

dp

p



  va  uni  integrallab 

)

,

(

C

y

p

p 

ni  topamiz.  Bundan 

)

,

(

1

C

y

p

dx

dy



yoki 

dx

C

y

p

dy



)

,

(

1

  ekanligi  kelib  chiqadi.  Uni  yana  bir  marta  integrallab  (7)  tenglamani 

umumiy integrali 

0

)

,

,

,

(

2

1



C

C

y

x

Ô

ni topamiz.  

       3-misol: 

 

 

0

3

2













y

y

y

y

tenglamani 

1

,

1

0

0











x

x

y

y

  shartlarni  qanoatlantiruvchi 

xususiy yechimini toping.  

      Yechish: 

dy

dp

p

y

p

y









,

 dan  









0

3

2

p

p

dy

dp

yp

 





















0

2

p

p

dy

dp

y

p

 

 

 

,

,

0

,

C

y

y

o

p























2

2

0

p

p

dy

dp

y

p

p

dy

dp

y









y

dy

p

p

dp

2

 











y

dy

p

dp

p

dp

1













1

ln

ln

ln

1

ln

C

y

p

p

 







y

C

p

p

1

1



















1

1

1

y

C

p

 



















dx

dy

y

C

1

1

 

2

1

ln

C

x

y

C

y







  umumiy  integrali  bo’ladi.  Boshlang’ich  shartlarga 

asosan yozamiz 

,

1

0

1

ln

1

2

2

1











C

C

C

    













1

1

1

1

C

0

1



C

.  Demak xususiy yechim 

1



 x

y

 bo’ladi.  

 

5.Bir jinsli chiziqli tenglamalar. Asosiy tushunchalar va xossalar 

 

     1-ta’rif:  Noma’lum 

y

  funksiya  va  uning 

)

(

...,

,

,

n

y

y

y





hosilalariga  nisbatan  birinchi 

darajali bo’lgan  

                                    

)

(

...

)

1

(

1

)

(

0

x

f

y

a

y

a

y

a

n

n

n











                                               (8) 

differensial tenglamaga 

n

-tartibli chiziqli tenglama

 deyiladi.  

     Bu  yerda 

)

(

,

...,

,

,

1

0

x

f

a

a

a

n

lar 

x

ning  funksiyasi  yoki  o’zgarmas  sonlardir. 

)

( x

f

 

funksiya (8) tenglamaning o’ng tomoni deyiladi. Agar 

0

)

(



x

f

bo’lsa, (8) tenglamani bir 

jinsli bo’lmagan, agar 

0

)

(



x

f

bo’lsa,  

                                    

0

...

)

1

(

1

)

(

0











y

a

y

a

y

a

n

n

n

                                                     (9) 

tenglamaga 

bir  jinsli  chiziqli  differensial  tenglama

  deyiladi.  Bu  yerda 

0

0



a

,  shuning 

uchun  hamma  vaqt 

0

0



a

,  deb  olish  mumkin,  umumiy  qonuniyatga  zid  bo’lmagan 

holda.  Avval,  bir  jinsli  chiziqli  differensial  tenglamani  ba’zi  xossalarini  ko’rib 

chiqamiz.  Soddalik  uchun  bu  xossalarni  ikkinchi  tartibli  bir  jinsli  chiziqli  tenglama 

uchun keltiramiz.  

     1-xossa: Agar 

1

y

va 

2

y

lar 2-tartibli bir jinsli chiziqli  

                                             

0

2

1











y

a

y

a

y

                                                              (10) 

tenglamaning  ikkita  xususiy  yechimi  bo’lsa,  u  holda 

2

1

y

y 

ham  tenglamaning  yechimi 

bo’ladi.  Haqiqatan, 

1

y

  va 

2

y

dar  (10)ni  yechimi,  ya’ni   

0

1

2

1

1

1











y

a

y

a

y

,       

0

2

2

2

1

2











y

a

y

a

y

 

bo’lganidan  

















)

(

)

(

)

(

2

1

2

2

1

1

2

1

y

y

a

y

y

a

y

y

 

0

)

(

)

(

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1























y

a

y

a

y

y

a

y

a

y

 

 

 

ekanligi kelib chiqadi.  

     2-xossa:  Agar 

1

y

  (10)  tenglamaning  yechimi  bo’lsa,  u  holda 

1

Cy

y 

ham  shu 

tenglamani yechimi bo’ladi. Bu yerda 

const

C 

.  Haqiqatan ham, xuddi yuqoridagi kabi 

yozamiz:  

0

0

)

(

)

(

)

(

)

(

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

























C

y

a

y

a

y

C

Cy

a

Cy

a

Cy

 bo’lsa. 

     2-ta’rif: Agar 

1

y

va 

2

y

yechimlar biror 





b

a,

kesmada bo’lsa, u holda yechimlar 

o’zaro 

chiziqli  bog’liq

  deyiladi,  aks  holda  ,  ya’ni 

2

1

y

y





bo’lsa,  o’zaro  chiziqli  bog’liq 

bo’lmagan yechimlar deyiladi. Bu yerda 

const





.  

     Masalan, 

0







y

y

  tenglamaning  yechimlari 

x

e

y 

1

, 

x

e

y





2

, 

x

e

y

3

3



bo’lsin.  Bu 

yerda 

1

y

, 

2

y

lar chiziqli bog’liq emas, 

1

y

, 

3

y

chiziqli bog’liq yechimlardir.  

    3-ta’rif: Agar 

)

(

),

(

2

1

x

y

x

y

va ularning hosilalari 

)

(

),

(

2

1

x

y

x

y





lar berilgan bo’lsa, u holda  

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)

,

(

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

W















 determinant- 

Voronskiy determinanti

, deyiladi.  

     3-xossa:  Agar  biror 





b

a,

kesmada 

1

y

, 

2

y

  chiziqli  bog’liq  bo’lsa,  u  holda  Voronskiy 

determinanti  shu  kesmada  aynan  nolga  teng  bo’ladi.  Haqiqatan  ham, 

1

2

y

y





bo’lgani 

uchun 

1

2

y

y









  va  determinantning  xossasiga  asosan   

0

)

,

(

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1















y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

W





 

bo’ladi. 

     4-xossa: Agar 





b

a,

kesmada berilgan 

1

y

, 

2

y

 lar (10) tenglamaning yechimlari bo’lsa, 

kesmaning  biror  nuqtasida  Voronskiy  determinanti  nolga  teng  bo’lmasa,  u  holda 

determinant hyech bir nuqtasida nolga aylanmaydi.  

     Isbot: 

1

y

, 

2

y

  lar  (10)  tenglamani  yechimlari  bo’lgani  uchun 



























0

0

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

y

a

y

a

y

y

a

y

a

y

   

bo’ladi. 

Birinchi 

tenglikni 

1

y

ga, 

ikkinchisini 

2

y

ga 

ko’paytirib, 

ayirsak 

0

)

(

)

(

2

1

2

1

1

2

1

2

1

















y

y

y

y

a

y

y

y

y

. 

Bundan 

0

1







W

a

W

 

(11) 

ko’rinishda 

yozib, 

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

)

,

(

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

W

x





















bo’ladi  va 

0

0

W

W

x

x





  boshlang’ich  shart  asosida  (11) 

tenglamani  yechimini  topamiz. 

dx

a

W

dW

1





  integrallab 









x

x

C

dx

a

W

0

ln

ln

1

  yoki 







x

x

dx

a

Ce

W

0

1

    (12)ni  topamiz.  (12)  formula 

Liuvill  formulasi

  deyiladi.  Boshlang’ich 

 

 

shartga  asosan   

C

e

C

W

x

x

dx

a









0

1

1

0

    ekanligidan, 

0

W

  esa 

0

x

x 

nuqtada  nolga  teng  emas, 

bundan   







x

x

dx

a

e

W

W

0

1

0

  ham  nolga  teng  emasligi  kelib  chiqadi.  Shunday  qilib,  agar  (10) 

tenglamaning  yechimlari  kesmada  chiziqli  bog’liq  bo’lmasa,  bu  yechimlardan  tuzilgan 

Voronskiy determinanti kesmaning hyech bir nuqtasida nolga aylanmaydi.  

     5-xossa: Agar 

1

y

, 

2

y

lar (10) tenglamaning chiziqli bog’liq yechimlari bo’lsa, u holda  

                            

2

2

1

1

y

C

y

C

y





                                                          (13) 

(10) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.  

      Isbot:  Yuqoridagi  1-2  xossalarga  asosan 

2

2

1

1

y

C

y

C



tenglamaning  yechimi  ekanligi 

kelib  chiqadi. 

0

0

0

0

,

y

y

y

y

x

x

x

x













  boshlang’ich  shartlar  berilgan  bo’lsa,  uni  (13)  ga 

qo’yib, 

                             





















20

2

10

1

0

20

2

10

1

0

y

C

y

C

y

y

C

y

C

y

                                                    (14) 

sistemani  hosil  qilamiz.  Bu  yerda 

20

2

10

1

0

0

,

y

y

y

y

x

x

x

x









,   

20

2

10

1

0

0

,

y

y

y

y

x

x

x

x

















  (14) 

sistemasining asosiy determinanti Voronskiy determinanti bo’lib, u nolga teng emas 

20

10

20

10

20

10

20

10

y

y

y

y

y

y

y

y

W















,  chunki, 

1

y

,

2

y

lar  chiziqli  bog’liq  bo’lmagan  yechimlar.  Bu 

sistemadan  berilgan  boshlang’ich  shartlarda 

2

1

, C

C

larni  aniqlash  mumkin  bo’ladi, 

natijada  tenglamaning  xususiy  yechimini  topamiz.  (13)  yechim  esa  tenglamaning 

umumiy yechimini, ya’ni yechimlar oilasini tashkil qiladi. Yuqorida keltirilgan xossalar 

ikkinchi  tartibli  chiziqli  tenglamalar  uchun  keltirildi.  Tenglamalar  tartibi 

n

-darajali 

bo’lganda ham yuqoridagi xossalar o’z kuchini saqlaydi. 

 

 

Foydalanilgan adabiyotlar 

1.  Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 1-қисм. –Тошкент: Ўқитувчи, 

1985.  

2.  Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 2-қисм. –Тошкент: Ўқитувчи, 

1986.  

 

 

3.  Соатов Ё.У.  Олий математика. 1-жилд. – T.:  Ўқитувчи,  1994. 

4.  Соатов Ё.У.  Олий математика. 2-жилд. – T.:  Ўқитувчи,  1995. 

5.  Соатов Ё.У.  Олий математика. 3 -жилд. – T.:  Ўқитувчи, 1996. 

6.  Соатов Ё.У.  Олий математика. 4 -жилд. – T.:  Ўқитувчи, 1998 

7.  Соатов Ё.У.  Олий математика. 5 -жилд. – T.:  Ўқитувчи, 2000. 

8.  Danko  P.E.,  Popov  A.G.,  Kojevnikova  T.E.  Oliy  matematika  mashqlar  va 

masasalarda. 1-qism.–   Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y. 

9.  Danko  P.E.,  Popov  A.G.,  Kojevnikova  T.E.  Oliy  matematika  mashqlar  va 

masasalarda. 2-qism.–   Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y. 

10. 

Минорский  В.П.  Олий  математикадан  масалалар  тўплами.  –  T.:  Ўқитувчи, 

1982.