Fizika-matematika fakulteti


Download 0.87 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/6
Sana31.05.2020
Hajmi0.87 Mb.
  1   2   3   4   5   6

O ’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O ’RTA MAXSUS

TA’LIM VAZIRLIGI



FA R G ’ONA  DAVLAT UNIVERSITETI

FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI

“MATEMATIKA O’QITISH METODIKASI” 

TA’LIM YO’NALISHI

K U R S  I SH I

Mavzu:  “Umumiy tenglamasi bilan  berilgan  ikkinchi

tartibli chiziq”

BAJARDI:  M O’M  17.03- guruh 

talabasi  Mamalatipova Dildora



Farg’ona-2020

Birinchi  Prezidentimiz  Islom Karimov tashabbusi  bilan 2010  yil 

“Barkamol  avlod  yili”  deb  e'lon  qilingan  edi.  Mamlakatimizning 

barcha  jabhalarida  amalga  oshirilayotgan  keng  ko'lamli  islohotlar, 

huquqiy  demokratik  davlat  va  erkin  fuqorolik 

jamiyatini  qurish 

zamirida, 

avvalambor, 

inson 


manfaatlari, 

uning 


intelektual 

salohiyatini  yuzaga  chiqarish,  kasb  mahoratini  oshirish  uchun  zarur 

shart-sharoit  vazifalari  mujassam.  Bu  borada  barkamol  avlodni 

tarbiyalash,  um um talim   maktablari,  oliy  va  o'rta  maxsus  ta lim  

sohasida  yuqori  malakali  kadrlarni  tayyorlash,  ilm-fan,  ta lim   hamda 

ishlab  chiqarish o'rtasidagi o'zaro hamkorlikni yanada rivojlantirishga 

alohida e'tibor qaratilmoqda.

Davlat  ta'lim ini  rivojlantirish  davlat  umummilliy  dasturi 

doirasida  2005-2009  yillar  davomida  jami  8541  ta  umumta  lim 

maktabi  mebel,  o'quv  labaratoriya  asbob-uskunalari,  kompyuter 

mexakanikalari,  sport  anjomlari  va maxsus jihozlar  bilan ta'minlandi. 

Buning  uchun  Moliya vazirligi  huzuidagi  byudjetdan tashqari  maktab 

ta'lim i  jam g'arm asi  hisobidan  jami  463,  8  milliard;  (2005  yili  41,9 

milliard;  2006  yili  53,6  milliard;  2007  yili  101,3  millard;  2008  yili 

136,8 milliard; 2009 yili  130,2 milliard.)  so'm  mablag'  ajratildi.

O'quv  jarayonida  samaradorlikka  erishish  uchun  zamonaviy 

ilg'or  pedagogik  texnologiyalar,  noan'anaviy  dars  usullari  va  o'zaro 

faol  o'quv jarayonini  tadbiq  qilish  lozim.  O'zaro  faol  usullarni  o'quv 

jarayoniga  qo'llash  uchun  esa  o'tiladigan  mavzuni  talabalar, 

o'quvchilar  o'zlari  mustaqil  tayyorlab  kelishlari  talab  etiladi. 

Jarayonning samaradorligini oshirish maqsadida innovatsion usullarini

Kirish


qollashda  endi  biz  -   pedagoglar  “O quvchlarni  oqitm aym iz,  balki 

kitobni  o q ish g a  orgatam iz”  shiorini  amalga  oshiramiz.  Buning 

sabababi  shundaki,  agarda  talaba  va  oquvchilar  darsga  tayyor  holda 

kelmasalar,  hech  qanaqa  faol  usuldan  samarali  foydalanib  bolm aydi. 

Natijada oqituvchi  yana o z -o z id a n   ananaviy  shaklda dars  otishiga 

t o g r i  keladi.

Buning  uchun  talaba  yoshlarimiz  erkin  fikrlash  madaniyatiga 

ega bolishlari  zarur.  Bu  masalalar  tizimini  yaratish  talabalarda  erkin 

fikrlash  madaniyatini  tarbiyalashning  tamoyillarini Nizomiy  nimidagi 

Toshkent 

davlat 

pedagogika 



universiteti 

professori, 

p.f.n. 

R.Niyozmetova quyidagilarga ajratdi:



Tarixiylik  tamoyili  masalalarni  tarixiy  bilimlarda  foydalanib 

yechish  imkoniyatini  beradi.  Bu  esa  ilmiy  dunyoqarashning,  ijodiy 

fikrning  shakllanishi,  bitta dalilning o z i g a  nisbati turli nuqtai nazarlar 

mantig  ini  va  kurashini  hisobga  olish,  sabab-oqibat  bog  lanishlarini 

aniqlashga  imkon  beradi.  B a z i   tarixiy  dalillar  ta  lim  jarayoniga 

qiziqarlilik  elementini  olib  kirishi  mumkinligi,  bu  ham  erkin 

fikrlashning rivojlanishiga olib keladi;

Fanlar ichki  aloqalarini  amalgam  oshirish tamoyili bitta fanni 

o  rganishning  turli  bosqichlarida  masalani  yechishda  uning  turli 

bolim lari  orasidagi  zaruriy  aloqalarni  aniqlashdan  iborat.  Bunda,  bir 

tomondan,  talabalar  o  qitishning  ma  lum  bosqichida  yechiladigan 

masala  qachon  va  qayerda  foydalanilishini  hisobga  olishlari,  ikkinchi 

tomondan  esa  yangi  masalani  yechishda  ilgari  o  rganilgan  qaysi 

materialga tayanish mumkinligini bilishari zarur;

2


Fanlararo  aloqalarni  amalga  oshirish  tamoyilini  turli  o'quv 

fanlarida  bilish  faoliyati  aspektida 

qarash  va  shu  asosda  yaxlit 

masalalar  struktura  sini  yaratish  mumkin.  Bu  esa  pirovard  natijada, 

erkin 

fikrlashning 



rivojlanishiga  jiddiy 

ta'sir 


etadi. 

Kasbiy 


yo'nalganlik  tamoyilidan  erkin  fikrlashni  rivojlantirish  jarayonida 

foydalanishdan bosh  maqsad -  b o lajak  pedagog  faoliyatning  ma l u m 

sifatlarini  rivojlantirishga  yo'naltirishni  ko'zda  tutadi.  Talabalarda 

kasbga  yo'nalganlikni  rivojlantirish  -   bu  ularda  bo  lajak  kasbiga 

munosabat, 

qiziqish, 

unga 

bo'lgan 


maxsus 

qobilyatlarini 

mustahkamlash demakdik;

Mustaqil  o'qib  bilim  orttirish  tamoyili  shaxsning  o'zi 

tomonidan  boshqariladigan  maqsadga  yo'nalgan  bilim  faoliyatini 

ta'minlaydi.  Qo'yilgan  masalaning  o'z  yechimini  izlash  maqsadlarini 

aniqlash, 

mustaqil 

xulosalar 

qilishga 

intilish, 

fan, 

texnika, 



madaniyatning  turli  sohalarida  izchil  bilim  olish  shaxs  tomonidan 

erkin  fikrlash  madaniyati  rivojlanganligining  yuqori  darajasiga 

erishilganligi haqida guvohlik beradi.

Talaba  yoshlarimiz  ilmiy  va  ommabop  adabiyotlardan  mustaqil 

foydalanishni,  ya'ni  mustaqil  bilim  olish  madaniyatiga  ega  bo'lishi 

kerak.  Fanlardan  o'zlashtirishda  darslik  bilan  bir  qatorda  qo'shimcha 

adabiyotlardan foydalanish talab etiladi.

Geometriya  insoniyat  paydo  bo'lishi  tarixi  davomidagi  eng 

qadimiy  fanlardan  biri  hisoblanadi.  Fanning  tizimli  ravishda 

rivojlanishida  (abstraklashuvida)  eramizdan  avvalgi  III  asrda  yashab 

ijod  qilgan  grek  olimi  Yevklidning  “Negizlar”  nomli  asari  sabab 

bo'ldi.  Bu  asar  13  ta  kitobdan  iborat  bo'lib,  unda  Yevklid  dastlab



3

ta'riflar,  postulotlar  (Yevklid  bu  terminnni  geometrik  tushunchalar 

uchun  ishlatgan  bo'lsa,  aksoimalarni  algebraik  munosabatlar  uchun 

ishlatgan).

Insoniyat tarixida inson yaratgan kitoblar orasida eng ko'p marta 

qayta  nashrdan  chiqarilgan  ushbu  kitobda  Yevklid  geometriyasini 

aksiomatik qurilishini bayon etib,  nuqta, to 'g 'ri  chiziq va tekislik kabi 

asosiy  tushunchar  yordamida  keyingi  figuralar  ta'rifi,  ularni 

bog'lovchi  munosabatlat,  teoremalar va ularni  izchil  isbotlash  tarzida 

tizimga solindi.

1826  yil  Qozon  davlat  universiteti  professori  N.I.Lobachevskiy 

tomonidan  noyeyklid  geometriyaga  asos  solindi.  Bu  yerda  dastlabki 

to'tta aksiomani  o 'z  o'rnida qoldirib  (bu t o r t   aksioma o'rinli  bo'lgan 

geometriya  absolyut  geometriya  deb  yuritiladi)  beshinchi  parallellik 

aksiomasini almashtirish bilan yangi geometriya hosil qilindi.

Yevklidning  beshinchi  postulotining  ingliz  pedagogi  Pleyfer 

tomonidan yaratilgan ekvivalanti:



Tekislikda  to'gri  chiziqdan  tashqaridagi  nuqtadan  u  bilan 

kesishmaydiganyogona to'g'ri chiziq o'tadi.

Ushbu postulotni lobachevskiy quyidagi bilan almashtirdi:



Tekislikda  to'gri  chiziqdan  tashqaridagi  nuqtadan  u  bilan 

kesishmaydigan kamida ikkita  to'g'ri chiziq o'tadi.

Lobachevskiyning  deyarli  barcha zamondoshlari  uning  yaratgan 

geometriyasi xatolikkka ega deb hisoblashar edi.  Ular bu geometriyani 

biz  yashab  turgan  fazoda  qo'llab  bo'lmasligi  bilan  birga,  bu 

geometriya  qachonlardir  ichki  qarama-qarshilikka  uchraydi  deb 

hisoblashar edi.



4

Noyevklid  geometriya tarafdorlari  uchun bu  geometriyani  zidsiz 

ekanini  asoslash,  boshqalarni  bunga  o'rgatish  uchun  biror  usul  yoki 

yevklid  geometriyasi  doirasida  ushbu  geometriyani  tushuntira 

biladigan uning modellarini yaratish zarurati bor edi.

Bunday  modellardan  biri  Keli-Kleyn  modeli  bo'lib  hisoblanadi. 

Bu  model  doira  va  uning  oxirlari  hisobga  olinmagan  vatarlari 

yordamida tushuntiriladi.

Ikkinchi  model  fransuz  matematigi  Puankare  tomonidan 

Lobachevskiy  geometriyasi  uchun taklif qilingan  modeldir.  Bu  model 

doira  va  uning  ichki  nuqtalari  Lobachevskiy  tekisligi  deb  olinib, 

Lobachevskiy tekisligidagi nuqta doira ichidagi nuqtaga, t o g r i   chiziq 

esa  ushbu  doiraga  orthogonal  aylananing  doira  ichidagi  yoyi 

tushuniladi.

Bu  ikki  model  ham  Lobachevskiy  geometriyasining  keyingi 

rivojlanishga katta xizmat qilgan modellardir.

Referat  mavzusi  ana  shunday  muhim  masalani  o'rganishni  o'z 

oldiga  maqsad  qilib  qo'ygan.  Olingan  maqsadga  k o r a   referat  kirish, 

ikkita paragraf va xulosa shaklida bajarish rejalashtirildi.

Birinchi  paragrafda  noyevklid  geometriyalar  haqida  umumiy 

ma'lumot berildi.  Bu yerda noyevklid geometriyalarni  asoslash va uni 

barcha  uchun  tushunarli  tilda  bayon  etish  maqsadida  modellari 

yaratilishi  zarurati  bor  ekanligi  va  ularning  ushbu  geometrlarni 

o'rganishdagi ahamiyati haqida so'z yuritildi.

Ikkinchi  paragraf  Lobachevskiy  geometriyasining  Puankare 

modelini  izohlashga bag'ishlandi.  Ushbu  model  uchun  zarur  bo'lgan 

ortogonal  aylanalar  va  ularni  yasash,  inversiya  va  inversion



5

almashtirishlar  kabi  tushunchalar  bayon  etildi.  Shundan  so  ng 

“Puankarening  sehrli  dunyosi”  deb  ataluvchi  modeli  kiritildi.  Ushbu 

model  yordamida  cheksiz  uzoqlikdagi  nuqta  tushunchasi  o'z  aksini 

topdi.


Xulosa  qismida  olingan  natijalar  tahlil  qilingan.  Referatni 

bajarishda foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati keltirilgan.



6

I.Tekislikda 

ikkinchi  tartibli  egri  chiziqlar  haqida 

umumiy 

mulohazalar.



1.1  Ellips ta ’rifi,  tenglamasi,  direktrisalari ,ekssentrisiteti,  m arkazi,

diam etrlari  .

1.1.1Ellips 

ta’rifi. 

Har 

bir 


nuqtasidan 

berilgan 

ikki 

nuqtagacha 



masofalarining 

yig’indisi  o’zgarmas  miqdor  bo’lgan  geometrik  o’rin  ellips 

deyiladi.

Bu ta’rifga asoslanib,  ellipsning tenglamasini tuzish mumkin  .  Buning uchun 

berilgan  nuqtalarni 

F

  va  F ,  ularning  orasidagi  masofani  2



c

  va  o’zgarmas 

miqdorni  2

a

  faraz  qilamiz. 



F

  va 


F

  nuqtalardan  o’tgan to’g’ri  chiziqni  absissa  o’qi 

va  unga  perpendikulyar  bo’lib, F F n in g   o’rtasidan  o’tgan  to’g’ ri  chiziqni  ordinata 

o’qi  faraz qilamiz  (1.1.1-chizma).

(1.1 .l-chizma)

Ellipsga  qarashli nuqtalardan biri 



M

 (x,y).  Qilingan  shart bo’yicha  F F   — 2c  bo’lib, 

ordinata  o ’qi  , F F  ning  o’rtasidan  o’tgani  uchun,  u  nuqtalarning  koordinatalari 

F

(c,0)  va 



F

  (—c,0)  bo’ladi.  Ellips ta’rifiga muvofiq



M F + M F  — 2a

 .  (1.1.1)



M (

x , 


y )

  va 


F(c,0

) , 


M(x, y)

  va 


F

  (—c,0)  nuqtalar  orasidagi  masofalar  (ikki  nuqta 

orasidagi masofaning formulasi bo’yicha )  quyidagicha bo’ladi:

MF — J ( x  —

 c)2  + 


y 2, 

MF'  —J  (x +

 c)2  + 


y

2.} 


(1.1.2)

MF

  va 


MF'

  ifodalar (1.1.1)  ga qo’yilsa:



\j(x — c)2 + y 2

 

+ \j(x +

 c)2 

+ y 2

  — 


2a 

\j(x +

 c)2 


+ y 2

  — 


2a — \l(x —

 c)2  + 


y 2

bo’ladi.  Keyingi tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko’t arilsa  :



(x +

 c)2 + 


y 2

  — 4a


2

 — 4a^ 


(x

 — c)2  + 



y 2

  + 


(x

 — c)2  + 



y 2

  , 


a^j(x

 — c)  + 



y

  — 


a

  — 


cx

 

bo’ladi.  Endi bu tenglikni yana  bir marotaba kvadratga ko’taramiz:



a

  [(x — 


c

)  + 


y

  ] — 


a

  — 


2a  cx

 + 


c  x

  ,


6

yoki

2  2 ,  2 2 ,   2 2  

4 ,  2 2

a  x  + a  c  + a  y  — a  + c  x

2  2 

2  2 , 2   2 



2  2

a  x

  — 


c  x  + a  y

  — 


a

  — 


a  c

yoki


(a

2 — 


c

 2)x2 + 


a



y

2  — 

a

 2(a2 — 


c

2) 


(1.1.3) 

Shakldagi 



MFF'

  uchburchakda  :



M F + M F '> FF'

  ,


yoki 

M F + MF'  — 2a

  va 


FF'  — 2c

  bo’lgani uchun 



2a  > 2c

  yoki 


a > c

yoki 


a

2  > 


c

2  , 


yoki

a

2 — 


c

2  > 0  ;

Shuning uchun 

a

2 — 


c

2  ni biror 



b 2

  bilan ifoda qilish mumkin  :

a2 — c2  — 

b

2  (1.1.4)

Buni  (3)  ga qo’ysak:

b

2 x2 + a 2 y2  — a 2b2 (1.1.5)

Yoki buning ikkala tomonini 

a  2b

2  ga bo’linsa ,  ellips uchun bnday tenglama kelib 

chiqadi



2



x2 + 

y r  — 1

  (1.1.6) 



a  

b

Bu tenglamani yoki  (1.1.5) ni ellipsning eng  sodda tenglamasi yoki kanonik 

tenglamasi  deyiladi  .

Ellipsning  shaklini uning tenglamasi  bo’yicha tekshirish.

Ellipsning tenglamasini  chiqarishda  biz uning  shaklini ko’rmay,  faqat 

berilgan ta’rifga asoslangan  edik.  Endi  ellipsning shaklini va uning ba’zi bir 

xususiyatlarini uning tenglamasi yordami bilan tekshiramiz.  Buning uchun 

ellipsning

2 2





i

—T + ^ r — 1 

2 2  

a 2 


b2

tenglamasini 



y

  ga nisbatan yechamiz  :

7


y = ± — \ja

-  x2  (1.1.7)



a

Tenglamani  tekshirish  oldida  undagi 



x

  va 


y

  ning  ellipsdagi  ixtiyoriy  nuqtaning 

o’zgarnvchi  koordinatalari  ekanligini  yana  bir  marotaba  takidlab  o’tamiz  .(1) 

tenglikka  qaraganda 





x

  ning  funksiyasi  bo’ladi.  Shuning  uchun 



y

  ning 


qiymatlari 

x

 ga  berilgan  qiymatlariga  qarab  aniqlanadi.  Masalan,  absolyut  qiymati 



a

  dan kichik bo’lgan har bir 



x = OP

 ga 


y

  uchun ikki  qiymat to’g’ri keladi:  y   = 



PM

 

va  y



2

  = 


PM'

  .  Bularning  absolyut  qiymatlari  o’zaro  teng  va  ishoralari  bir-biriga 

teskari  (1.1.2-chizma)

1.1.2-chizma

Boshqacha  qilib  aytganda  absissa  o’qidagi  P  nuqtaga  ikkita  simmetrik 

M

  va  M  

nuqtalar  to’g’ri  keladi.  Bu  natija  umuman  ellipsning  absissa  o’qiga  nisbatan 

simmetrik ekanligini k o’rsatadi.



= ±a

  bo’lsa, 



y  =

 

0



  bo’lib,  u  ellipsning  eng  kichik  ordinatasi  bo’ladi  ;  shu  bilan 

birga ellipsning 



A(a,0)

  va 


A (-a ,0 )

  nuqtalari  aniqlanadi. 



x =

 0  bo’lsa, 



y  = ±b

  bo’ladi 

va  y  = 

b

  ellipsning  eng  katta  ordinatasi  bo’ladi.  Shu  bilan  birga  ellipsning  yana 



B(0, b)

  va 


B  (0,-b)

  nuqtalari aniqlanadi.

Lekin  x  ning  absolyut  qiymati 

a

  dan  katta  bo’lmasligi  shart,  chunki  x  > 



a

 

bo’lgan  choqda 



y

  mavhum bo’ladi  .Demak  ,  absissasining  absolyut  qiymati 



a

 dan 


katta bo’lgan hech bir nuqta bizning  ellipsga qarashli bo’la  olmaydi.  Shuning bilan 

ellips  ordinata  o’qiga parallel bo’lgan  x = 



a

  va  x = 



- a

  (NS  vaN’S ’) to’g ’ri  chiziqlar 

orasiga bo’ladi  .

Endi  ellipsning tenglamasini  x  ga nisbatan yechamiz.  Bu holda  :

x =± 

a

ь 2  -

 y 2 


(

1

.



1

.

8



)

Bu  tenglik  ustida  ham  (1.1.7)  tenglik  ustida  qilingan  muhokamalarni  qlish 

mumkin.  Haqiqatda  absolyut  qiymati 

b

  dan  kichik  bo’lgan  har  bir 



y  = OR

  ga  x


8

uchun  ikki  qiymat  to’gri  keladi  :  xt  = 

RK

  va  x


2

  = 


RK

  .  Bulaming  absolyut 

qiymatlari  o’zaro  teng  va  ishoralari  bir-biriga  teskari  .  Boshqacha  qilib  aytganda  , 

ordinata  o’qidagi 



R

  nuqtaga  ikkita  simmetrik 



K

  va 


K

  nuqtalar  to’g’ri  keladi.Bu 

natija  umuman  ellipsnin  ordinata  o’qiga  nisbatan  simmetrikekanligin  ko’rsatadi. 

Lekin  hammavaqt  y  < 



b

  bo’lishi  shart,  chunki  aks  holda  x  mavhum  bo’ladi.

Demak,  ordinatasining  absolyut  qiymati 

b

  dan  katta  bo’lgan  hech  bir  nuqta 

ellipsda bo’lmaydi.  Shuning uchun  ellips:  absissa  o’qiga parallel bo’lgan 

y  = +b

  va 


y  = - b

  to’g ’ri  chiziqlar (



SS'

  va 


NN'

)  orasida b o’ladi.

Tekshirishdan  chiqqan  natijalarga  qaraganda  ellipsning  cheksiz  uzoqlashgan 

nuqtalari  bo’lmay,  balki  u 



NN'  SS'

  to’g’ri  to’rtburchak  ichidagi  yopiq  shakldan 

iborat.

Ellipsning  simmetriya  o’qlari: 



AA  = 2a

  uning  katta  o ’qi  va 



B B   = 2b

  uning  kichik 

o’qi  deyiladi;  o’qlarining  ellips  bilan uchrashgan  A, 

A ,B

  va 


B

  nuqtalari  ellipsning 

boshlari  deyiladi. 

F

  va 


F'

  nuqtalar  ellipsning  fokuslari  deyiladi.  Ellipsning 

fokusidan  o’tgan  ordinatasi  ellipsning  parametri  deyiladi  va  u  ,  odatda 

p

  bilan 


belgilanadi.  Fokusning absissasi 

c

  bo’lgani uchun  :

Ellipsdagi  har  bir 

M  

(^ , y )  nuqtaga  koordinatalar  boshiga  nisbatan  simmetrik 

bo’lgan  M 2(-x t

, - y

)  nuqtaga  mos  keladi,  chunki  bu  nuqta  ham  ellipsning 

tenglamasini  qanoatlantiradi.  (1.1.3-chizma)

Bunga  qaraganda  ellipsning  koordinatalar  bohidan  o’tgan  har bir  M M   vatari  shu 

nuqtada teng ikkiga bo’linadi,  chunki

a

a

x

1.1.3-chizma.

xi + (-xi ^  

Q  


.^1

 + ( - .У

1



_



Q



2

9


Shuning  uchun  koordinatalar  boshi  ellipsning  simmetriya  markazi  yoki  qisqacha 

uning markazi  deyiladi.

Ellipsning ekssentrisiteti.

Ellips  fokuslari  orasidagi  masofaning  ellipsning  katta  o’qiga  nisbati  uning 

ekssentrisiteti  deyiladi va u odatda 

e

  harfi bilan belgilanadi,  ya’ni

e = —  = C 

.  (1.1.9)



2a 



a

 

с < a

bo’lgani uchun hammavaqt 

e < 1

  bo’ladi.

Ekssentrisitetning  geometrik ma’nosini tekshiramiz.  Buning uchun  (1)  ifodadagi 

a

 

ni  o’z  holicha qoldirib, 



b

 ning  qiymatini  orttirib boramiz.  Buning natijasida 



e

  ning 


qiymati  kamayib  boradi.Ikkinchi  tomondan 

b = OBx



OB2, OB3

,...,bo’lib,  o’sib

borganda  ellips  aylanaga  yaqinlashib  boradi  va 



b = a

  bo’lganda 



e =

 0  bo’lib,  u 

aylananing o’zi bo’ladi  (1.1.4-chizma).

1.1.4-chizma.

Aksincha  (1.1.9)  ifodadagi 

a

 ni  o’z  holicha  qoldirib, 



b

 ning  qiymati  kamaytirib 

borilsa,  bundan 

e

 ning  qiymati  o’sib  boradi.  Ikkinchi  tomondan 



b

 ning  qiymatlari 

...,

OB3,OB2, OB1

,...,  bo’lib  kamayib  borganda,  ellips  aylanadan  uzoqlashib,

o’tkirlashib  boradi  va 

b

  ning  limiti  0  bo’lganda 



e = 1

  bo’lib,  ellips 



AA

  orasidagi 

ikkilangan  kesmaga  aylanadi.  Shuning  bilan 

e

 ning  qiymati  ellipsning  shaklini 

ifoda qiladi.

Ellipsning o’qlarini uning  ekssentrisiteti 



e

  va parametri 



p

  yordami bilan ifoda 

qilish mumkin.  Haqiqatan

bo’lgani uchun, bundan 

demak,

b

Va2 



- b

2

p  =

 —   va 

e =

-----------



a

a

i  2 

2  2 

2

 

b  = ap

 , 

a  e  = a  -  ap

p

 

и 

p

b = ^ =

  (1.1.10).

1 -  

e

 

л/1 -  



e

Ellipsning radius-vektorlari.

Ellipsdagi  biror nuqta bilan uning  biror fokusigacha masofasi  u nuqtaning  radius- 

vektori  deyiladi.



a

10


Faraz  qilaylik,  ellipsdagi  biror 

M (x



y)

  nuqtaning  radius-vektorlari 

M F = r

  va 


MF'  =

 r   bo’lsin (1.1.5-chizma)  .

1.1.5-chizma.

M

( x , 


y )

  va 


F

(c,0), 


M (x

, y)  va  F '(-c,0)  nuqtalar  orasidagi  masofalar  (ikki  nuqta 

orasidagi masofaning formulasi bo’yicha )  quyidagicha bo’ladi:

r = M F = л l(x -

 c

)2



 + 

y

2,

Г  = M F

  = лД x + c

)2

 + 



y

2.

(1.1.11)



Bularning har biri kvadratga ko’tarilsa

2

 



2

 

^  



^  

r  = x  -  



2

cx + 


c  + y  ,

2

 



2

 

2



 



Г  = x

  + 

2

cx + 



c

  + 


y

Keyingi tenglamadan avvalgisi  ayirib  olinsa

r

x2

 -  



r

2

  = 4cx ,



yoki

(r  -  r)(r  + r) = 4cx

  (1.1.12) 

Ellipsning asosiy xossasiga muvofiq :

r   + r = 2a

  (1.1.13)

Bu (1.1.12)ga qo’yilsa

2a(r  -  r

) = 4cx


yoki

rl  -  r = 2 —x

  (1.1.14)



a

(1.1.13)  dan (1.1.14) ni ayirib  olsak





c

2r = 2a -

 2  x  yoki 



r = a

----x  .  (1.1.15)



a

a

11


(1.1.13) bilan (1.1.14)ni qo’shsak

С 

c

2r  = 


2a +

 2  x  yoki 



r  = a н

—  x . 


(1.1.16) 



a

с

Bizda 


= e  edi.  Shuning  uchun  (1.1.15)  va  (1.1.16)  tengliklami  quyidagicha

yozish mumkin  .



r = a  -  ex

Г  = a + ex

(1.1.17)


Bu formulalar bilan  ellipsdagi ixtiyoriy 

M (x



y)

  nuqtaning radius-vektorlari 

a

  va  e 


orqali  aniqlanadi.

Ushbu


radius-vektor formulasini

Ellipsning direktrisalari



r

 = 


a

 -  


ex

Г  = 


a + ex

a

r = e(— -

 x) 


e

a

Г  = e(— +

 x) 


1

e

ko’rinishida  yozib,  qavs  ichidagi  ifodalarga  diqqat  qilaylik.  Birinchi  qavsda  -   va



e

a

ikkinchi  qavsda  —   ,  ordinata  o’qiga  parallel  bo’lgan  to’g’ri  chiziqgacha  bo’lgan



e

masofani ko’rsatadi yoki  e = c   bo’lgani uchun:



a

x = +-

a

x

 — —


a

(1.1.18)


Bu  tenglamalar  ifoda  qilgan  parallel  to’g’ri  chiziqlardan  biri  koordinatalar 

boshidan o’ng tomonda va ikkinchisi chap tomonda bo’ladi  (1.1.6-chizma)



c

С

12


-JC

1

.



1

.

6



-chizma.

(1.1.18)  tenglama  bilan  ifoda  qilingan  to’g’ri  chiziqlar  ellipsning



a

 2

direktrisalari deyiladi. 



a > c

  bo’lgani uchun  —  > 



a

  bo’ladi.

c

Bu esa ikkala direktrisaning ellipsdan tashqarida ekanligini ko’rsatadi  (



DE

  va 


D E

 

to’g’ri chiziqlar ).



Endi  ellipsdagi biror 

M ( x ,  y )

  nuqtada  absissa  o ’qiga parallel  qilib  M K to’g’ri 

chiziqni  o’tkazamiz.  So’ngra 

M

  nuqta  bilan 



F

 va 


F

 

fokuslarni  o’zaro 



tutashtiramiz.  M (

x , y )

  nuqta  ellipsda  bo’lgani  uchun  radius-vektor  formulasi 

bo’yicha  :



a  -  cx

 

MF  = a -  ex = a -  — x =

---------

a

a

shakliga muvofiq



MK = OD -  OP = —  -  x =  a  -  cx



c

c

yoki


M F



MK =





2 

a  -  cx  a  -  cx

a

MF : MK = с : a = e

Shu  yo’l  bilan  davom  etganda  ikkinchi  direktrisa  uchun  ham  xuddi  shu  natijaning 

o’zi kelib  chiqadi,  ya’ni

MF  : MK  = с : a = e

.

Demak,  ellipsdagi  biror  nuqtadan  uning  biror  fokusigacha  masofasining  u  nuqta 



bilan  u  fokusga  qarashli  direktrisasi  orasidagi  masofaga  nisbati  o’zgarmas 

miqdorga (e  ga ) tengdir.



c

13


Ellipsning  diam etrlari.

Berilgan yo’nalishga parallel bo’lgan vatarlarning o’rta nuqtalaridan  iborat bo’lgan 

geometrik  o’rin egri chiziqning diametri  deyiladi.

Ellipsning  diametrini  aniqlash  maqsadida  bir  necha 



AB



CD



C D C "D "

 

parallel  vatarlarni  o’tkazamiz.  Bu  vatarlar  o’zaro  parallel  bo’lgani  uchun  ularning 



absissa  o’qi  bilan  tashkil  qilgan  burchaklari  o’zaro  teng  bo’lib,  faqat  ularning 

ordinata  o’qidan  kesgan  boshlang’ich  ordinatalari  bir-biriga  teng  bo’lmaydi. 

Shuning  uhun 

k

  ni  o’zgarmas  va 



l

  ni  o’zgaruvchi  parametr  faraz  qilganda  u 

vatarlarning hammasini

tenglama bilan  ifoda qilish mumkin.

Vatarlardan birining,  masalan, 

CD

  ning,  ellips  bilan  kesishgan nuqtalarining 

koordinatalarini 

С (x

x, 


y

1)  va  D( x2, y2)  faraz  qilamiz  (1.1.7-chizma).

1.1.7-chizma.

Bularni aniqlash uchun ellipsning tenglamasi bilan yuqoridagi tenglamani 

birlashtirib yechishga,  ya’ni ushbu

Sistemani yechishga to’g’ri keladi.

Bu  sistemani  yechish  uchun  ikkinchi  tenglamadan 

y

  ning  ifodasini  birinchiga 

qo’yamiz:

y = kx + 1

b

2 x2 + 


a



(kx + 1

 )2  = 

a



b

2,

yoki


b

2x2 + 


a

2

k

2x2 + 2a

2klx + a 2l

2 -  


a 2b

2  = 0  ,

yoki

14


(b2

 + 


a 2k 2)x2

  + 


2 a 2klx + a 2(l2  - b 2) =

 

0



yoki



2 a



kl 

a 2(l

2 -  


b

2)  л


 

r r x  + ^ ---- ^ ^  = 0  .



b

2 + 


a



к



b

2 + 


a 2k

2

Bu tenglama ikkinchi darajali bo’lgani uchun, uning umuman ikki ildizi bo’ladi. 



Ulardan biri  x   va ikkinchisi  x2  faraz qilinsa, kvadrat tenglamaning asosiy 

xossasiga muvofiq



x,

  + x


0

  — — -


2a  kl

1

 



2

 



2

 

2  i

 

2

 



5

b  + a  к

 

yoki



xi ^ 

x2

  _ _ 



a  kl

 

/1



 

1

 



2

Q4)


~ 2

 



b

2

 + 



a 2k

2

  . 



(  .  . 

)

Ikkinchi tomondan 



CD

  vatarning o’rtasini 



M

(x,


y)

  faraz qilsak,

demak,  (2)  ga asosan,

x = xi


± x2

 

(1.1.21)



x = -

7

/



^

  (1.1.22)



b

  + 


a  k

M

(x,


y)

  nuqta 


CD

  da  bo’lgani  uchun  uning  absissasini 



y = k x

+

1

 

tenglamaga 



qo’yish mumkin.  Bu holda

yoki


2 a 2k 2l

y = -

 —т-----т



—T ^ l

b

2 + 


a



k

2

b

 2l


у 

= U b ± ^

 

(1.1.23)



b  + a  k

(1.1.23) ni  (1.1.22)  ga hadlab bo’lsak,

У _ 

b b



a  k

yoki


15

b

2

У 



= - b^ x

.  (1.1.24)



a  к

Izlangan  diametming  tenglamasi  shundan  iborat,  chunki  u 



M (x



y)

  nuqtaning 

koordinatalari  orasidagi  munosabatni  ifoda  qiladi.  Bu  tenglama  birinchi  darajali 

bo’lgani uchun to’g’ri  chiziqni  ifoda  qiladi.  Ikkinchi  tomondan uning boshlang’ich 

ordinatasi  nolga  teng.  Shuning  uchun  bu  tenglama  koordinatalar  boshidan,  ya’ni 

ellipsning markazidan o’tgan to’g’ri  chiziqni ifoda qiladi.

y = kx + 1

  to’g’ri chiziqning absissa o’qi bilan tashkil qilgan burchagi 



a

  faraz 


qilinsa,

tg a = к

  (1.1.25)

bo’ladi.  Bu  yo’nalishga  tegishli 

CD

  diametrning  absissa  o’qi  bilan  tashkil  qilgan 

burchagi 

а э

  faraz qilinsa,  (1.1.24) bo’yicha



b

2

t g a = - b

- ,  (1.1.26) 

a  к

(1.1.25) bilan (1.1.26) hadlab ko’paytirilsa,



b

2

t g a ■ tga  =

— - .   (1.1.27)

a

Ellipsning 



CD

  diametriga  parallel  bo’lgan  vatarlarining  ham  absissa  o’qi  bilan 

tashkil qilgan burchagi 

а э

  bo’ladi  (1.1.8-chizma).

1.1.8-chizma.

Agar  bu  vatarlarga  tegishli 



C 3D3

  diametrning  absissa  o’qi  bilan  tashkil  qilgan 

burchagi 

[

  faraz qilinsa,  (1.1.27)  ga asosan



b

2

%&■ tg a  

= — г  .  (10)

a

(9) va (10) tengliklar o’zaro  solishtirib  qaraganda

16


Yoki

tg a = tgP

  ,


Bu  esa  birinchi  vatarlar  sistemasi  ikkinchi  diametrga  parallel  ekanligini  ko’rsatadi 

(AB \ \D C

 ) .  Demak,  birinchi 



CD

  diametr  bilan  teng  ikkiga  bo’lingan  vatarlar 

ikkinchisi 

C D'

  diametrga paralleldir.

Bu  xususiyatga  ega  bo’lgan  diametrlar  qo’shma  diametrlar  deyiladi.  Ellipsning 

o’qlari  ham  bu  xossaga  ega  bo’lgani  uchun  ular  ellipsning  bosh  diametrlari 

deyiladi.

M isollar.

Misol  1.  Katta o’qi  6  ga kichik o’qi 4 bo’lgan  ellips tenglamasi tuzilsin.

Berigan  misolda 



2a = 6

  va  2b = 4 ,demak: 



a = 3

  va 


b  = 2

.  Bular  ellipsning  umumiy 

tenglamasiga qo’yilsa ,  izlangan tenglama kelib  chiqadi:







л

 

—  + —  = 1.



9 4

Misol  2.  Fokuslari  orasidagi  masofa  6  ga,  ikkinchi  o’qi  8  ga  teng  bo’lgan 

ellipsning tenglamasi tuzilsin.

Bu misolda  2c = 6,  demak 



с  = 3

;  2b = 8,  demak, 



b  = 4

.  Bularning yordami bilan 



a

 ni 


topish mumkin.

a

2 -  c2  = 



b

2

bo’lgani uchun bundan:



a

2  = 


b

2 + 


c

2  yoki 


a

 = л/b2  + 



c

bo’ladi.  Shuning uchun  : 



a = -J

42  + 32  = 5.



a

  va 


b

 ning qiymatlari  ellipsning umumiy tenglamasiga qo’yilsa, izlangan 

tenglamaning ko’rinishi  quyidagicha bo’ladi:

2 2  


x

 2 


y

 2 


—  + —  = 1.

25 


16

Misol 3.  Ellipsning tenglamasi berilgan:

2 2  

x

 2 


y

 2 


—  + —  = 1.

36 


9

tg a  • tg a   = tgP • tg a '

,

17



Buning katta va kichik o’qlari,  fokuslarining koordinatalari va parametri topilsin. 

Berilgan tenglama ellipsning umumiy tenglamasi bilan  solishtirib  qaralganda :



a

2  = 36, 



b

2  = 9  ,  demak, 



a =

 6, 


b =

 3  .


Shuning uchun  ellipsning o’qlari 

2a = 12

  va 


2

b = 


6

  bo’ladi; bularning yordami bilan 

fokuslar orasidagi  с  masofani topamiz:

C = л/a2  -  



b

2  = л/36 -  9  = л/27  = 3Л/3  va  2c = 6Л/3  .

Ellipsning parametri  :

b

9  1  _



p  = -  = -  =

1,5. 


a

 

6



Misol 4.  Ellipsning tenglamasi  3x2 + 5

y

2 -1 6  = 0.  Buning katta va kichik o’qlari va 

fokuslarining koordinatalari topilsin.

Ellipsning  tenglamasini  eng  avval  odatdagi  shaklga  keltiramiz.  Buning  uchun 

uning  ma’lum  hadi  16  ni  o’ng  tomonga  o’tkazib,  so’ngra  ikkala  tomonni  16ga 

bo’lamiz:

yoki

3x2 + 5 


y

2  = 16.


16 

16





У 



л

- + — = 1

16 

16



5

Bu tenglamani  ellips tenglamasi bilan  solishtirib  qaraganda

16  i 


(16 


4  r­

a  =

 — , bundan 



a =  .

  — =  л/3  ,

v  3 


3

b

2

  = 16,  bundan 



b =

  — = 4  л/5 



\

  5 


5

16  16 


32

c = л/a2  -  


Download 0.87 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling