Funksianing qavariqligi va botiqligi

Aim.uz

Funksianing qavariqligi va botiqligi.

Aytaylik f(x) funksiya x=x₀ nuqtada f’(x₀) hosilaga ega, ya’ni funksiya grafigining M(x₀,f(x₀)) nuqtasidan novertikal urinma o‘tkazish mumkin bo‘lsin.

Ta’rif. Agar x=x₀ nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, y=f(x) egri chiziqning bu atrofdagi nuqtalarga mos bo‘lgan bo‘lagi shu egri chiziqqa M(x₀,f(x₀)) nuqtasidan o‘tkazilgan urinmadan pastda (yuqorida) joylashsa, u holda f(x) funksiya x=x₀ nuqtada qavariq (botiq) deyiladi.

Agar egri chiziq biror intervalning barcha nuqtalarida qavariq (botiq) bo‘lsa, u holda bu chiziq shu intervalda qavariq (botiq) deyiladi.

29-chizma 30-chizma 31-chizma

29-chizmada qavariq va 30-chizmada botiq egri chiziqlar chizilgan.

Egri chiziq nuqtasining ordinatasini y bilan, shu egri chiziqqa M(x₀,f(x₀)) nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning x ga mos ordinatasini Y bilan belgilaylik. Ravshanki, agar x₀ nuqtaning biror atrofidan olingan barcha x lar uchun y-Y  0 (y-Y 0) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda egri chiziq x=x₀ nuqtada qavariq (botiq) bo‘ladi. (31-, 32-chizmalar)
32-chizma

1-teorema. Faraz qilaylik, f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va x₀X nuqtada ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo‘lsin. Agar f’’(x₀)>0 bo‘lsa, u holda funksiya grafigi x₀ nuqtada botiq; agar f’’(x₀)<0 bo‘lsa, u holda funksiya grafigi x₀ nuqtada qavariq bo‘ladi.

Isboti. Faraz qilaylik f’’(x₀)>0 bo‘lsin. Quyidagicha yordamchi funksiya kiritamiz: F(x)=y-Y, ya’ni F(x)=f(x)-f(x₀)-f’(x₀)(x-x₀). Ravshanki F(x₀)=0, F’(x)=f’(x)-f’(x₀), F’’(x)=f’’(x) bo‘ladi. Bundan F’(x₀)=f’(x₀)-f’(x₀)=0 va F’’(x₀)=f’’(x₀)>0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, (ekstremum mavjudligining yetarli shartiga ko‘ra) x₀ nuqta F(x) funksiyaning minimum nuqtasi bo‘ladi, ya’ni x₀ nuqtaning biror atrofida F(x)F(x₀)=0 bo‘ladi. F(x)=y-Y bo‘lganligidan yY tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa x₀ nuqtaning aytilgan atrofida funksiya grafigi urinmadan yuqorida joylashishini, ya’ni funksiya grafigi x₀ nuqtada botiq bo‘ladi. Teoremaning ikkinchi qismi shunga o‘xshash isbotlanadi.

Agar biror intervalda f’’(x)>0 ( f’’(x)<0 ) bo‘lsa, u holda y=f(x) egri chiziq shu intervalda botiq (qavariq) bo‘ladi.

Misol. Ushbu y=x⁵ funksiya grafigining botiqlik, qavariqlik oraliqlarini aniqlang.

Yechilishi. Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz: y’’=20x³. Bundan, agar x>0 bo‘lsa, y’’>0, agar x<0 bo‘lsa y’’<0 bo‘ladi. Demak, (-;0) oraliqda egri chiziq qavariq, (0;+) oraliqda esa botiq bo‘ladi.
Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash

Funksiyaning xossalarini tekshirish va uning grafigini yasashda quyidagilarni bajarish maqsadga muvofiq:

1. 
   Funksiyaning aniqlanish sohasi va uzilish nuqtalari topiladi; funksiyaning chegaraviy nuqtalaridagi qiymatlari (yoki unga mos limitlari) hisoblanadi.
   
2. 
   Funksiyaning toq-juftligi, davriyligi tekshiriladi.
   
3. 
   Funksiyaning nollari va ishora turg‘unlik oraliqlari aniqlanadi.
   
4. 
   Asimptotalar topiladi.
   
5. 
   Funksiya ekstremumga tekshiriladi, uning monotonlik oraliqlari aniqlaniladi.
   
6. 
   Funksiya grafigining burilish nuqtalari, qavariqlik va botiqlik oraliqlari topiladi.
   

Misollar

1. y=x(x²-1) funksiyani tekshiring va grafigini chizing.

Yechilishi. 1) aniqlanish sohasi - haqiqiy sonlar to‘plami. Uzilish nuqtalari yo‘q. Funksiyaning chegaraviy qiymatlari: x(x²-1)=+; x(x²-1)=-;

2) funksiya davriy emas, toq funksiya

3) funksiyaning uchta noli bor: x=0; x=-1; x=1. Ushbu x(x²-1)>0 tengsizlikni yechamiz, uning yechimi (-1,0)(1,+) to‘plamdan iborat.

Demak, funksiya (-1,0)(1,+) to‘plamda musbat va (-,-1)(0,1) to‘plamda manfiy qiymatlar qabul qiladi.

4) og‘ma asimptotaning burchak koeffitsientini topamiz: k== =(x²-1)=. Demak, og‘ma asimptota mavjud emas. Vertikal asimtotalar ham mavjud emas (chunki, uzilish nuqtalari yo‘q).

5) Funksiya hosilasini topamiz: y’=3x²-1.Hosilani nolga tenglashtirib statsionar nuqtalarini topamiz: y’=0 yoki 3x²-1=0, bundan x=-1/, x=1/. Ushbu (39-a-chizma) sxemani chizamiz, va intervallar metodidan foydalanib funksiya hosilasining ishoralarini aniыlaymiz. Bundan funksiya(-,-1/) va (1/,+) intervallarda monoton o‘suvchi, (-1/,1/) intervalda monoton kamayuvchi; x=-1/ nuqtada maksimumga, x=1/nuqtada minimumga ega ekanligi kelib chiqadi. Ekstremum nuqtalarida funksiya qiymatlarini hisoblaymiz: agar x_max=-1/ bo‘lsa, u holda y_max=2/(3); agar x_min=1/ bo‘lsa, u holda y_min=-2/(3) bo‘ladi.

6) Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’=6x. Ikkinchi tartibli hosilani nolga tenglashtirib y’’=6x=0, x=0 ekanligini topamiz. Sxemani (39-b-chizma) chizamiz va hosil bo‘lgan intervallarda ikkinchi tartibli hosila ishoralarini aniqlaymiz. Bundan x=0 nuqtada burilish mavjud, (-;0) da funksiya grafigi qavariq, (0;+) da botiq ekanligini topamiz. Burilish nuqtasi ordinatasini topamiz: u(0)=0. Funksiya grafigi 39–c-chizmada keltirilgan.

2. y= funksiyani tekshiring va grafigini chizing.