Funksiya limiti ta’riflari. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari

I bob Funksiya limiti
1.1 Funksiya limiti ta’riflari. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
1.2 Funksiya limitining mavjudligi haqida teoremalar. Muhim limitlar.
1.3 Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar. Funksiyalarni taqqoslash.
II bob Funksiyaning uzluksizligi.
2.1 Funksiya uzluksizligi ta’riflari. Uzluksiz funksiyalar ustida amallar. Murakkab funksiyaning uzluksizligi. Elementar funksiyalarning uzluksizligi. Uzluksiz funksiyalarning lokal xossalari. Funksiyaning uzilishi, uzilish turlari. Uzluksiz funksiyalarning global xossalari. Monoton funksiyaning uzluksizligi va uzilishi. Teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi. Funksiyaning tekis uzluksizligi. Kantor teoremasi.


1.1 Funksiya limiti ta’riflari. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Farazqilaylik,  funksiya  to‘plamda berilgan bo‘lib,  nuqta  to‘plam-ning limit nuqtasi bo‘lsin.  nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy  :
ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat  :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.
3-ta’rif. (Geyne). Agar  da  bo‘ladigan ixtiyoriy  ketma-ketlik uchun  da  bo‘lsa,  ga  funksiyaning  nuqtadagi limiti deyiladi va  da  yoki

kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar  da
va 
bo‘ladigan turli  ,  ketma-ketliklar uchun  da  , bo‘lib,  bo‘lsa  funksiya  da limitga ega emas deyiladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning  nuqtadagi limiti topilsin.
Quyidagi  :

ketma-ketlikni olaylik. Unda

bo‘lib,  da  bo‘ladi. Demak,

4-ta’rif. (Koshi). ([1], p. 221, Def. 9.3.6) Agar  son olinganda ham shunday  topilsaki,  uchun

tengsizlik bajarilsa,  soni  funksiyaning  nuqtadagi limiti deyiladi:
.
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
,  ,  : 
bo‘lsa,  .